广东省深圳市2026届高三上学期第一次模拟联测数学试卷（含答案）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A B D B A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BD A ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
12． ； 13． 693 ； 14． ；
14．【参考答案】设 关于直线 对称，则 ，令 ，得 ①，
因为 为定义在 上的可导函数，对 两边求导得 ，
令 ，得 ②，
由①和②得 ，或 ， ，
经检验 不符合题意， ， 符合题意．
【法 1】 ，则 ，
，
则 的最小值为 ，故 的最小值也为 ．
【法 2】 ， ，
令 得 ， ，
— 0 + 0 — 0 +
↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值及 的对称中心；
（2）若将 的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
得到 的图象，求 的单调递增区间．
【参考答案】
（1） ， 2 分
因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，
则 ， ， 4 分
令 ，求得 ， ，
故 的对称中心为 ； 6 分
（2）函数 向左平移 个单位可得 ， 8 分
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）可得 ， 10 分
令 ， ，
解得 的单调递增区间为 ． 13 分
16．（15 分）已知函数 （ 且 ）为奇函数．
（1）求 的值；
（2）若方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．
【参考答案】
解：（1）因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，则 ， 4 分
当 时， ， ，满足 ，
此时 为奇函数，满足题意． 7 分
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（2）方程 有两个不同的实数解，
即方程 有两个不同的实数解， 8 分
设 ，
则方程 有两个正解，分别设为 ， ， 10 分
满足 ， ， ， 13 分
解得 ，
所以 的取值范围为 ． 15 分
17．（15 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论 在 上的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
【参考答案】
解：（1）当 时， ， ， 1 分
所以 ， ， 2 分
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ； 3 分
（2） ， ，
令 得 ，
①若 ，当 时， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减； 5 分
②若 ， 在 上恒成立， 在 上单调递增； 6 分
③若 ，当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增； 8 分
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所以当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增；
（3）①若 ，当 时， ，而 ，故此情况不符合题意； 10 分
②若 ， 在 上单调递增，
由 得 ，故 满足题意； 12 分
③若 ， 在 上的最小值为 ，
由 得 ，
故 满足题意； 14 分
综上所述， 的取值范围为 ． 15 分
18．（17 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2） 为 上一点， ．
（i）若 ，求 的值；
（ii）若 ，求 面积的最大值．
【参考答案】
解：（1）由正弦定理得 ， 1 分
因为 ，所以
则 ， 2 分
，
因为 ，所以 ，
故 ，即 ， 3 分
又因为 ，所以 ； 4 分
（2）（i）若 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ①， 6 分
在 中，由正弦定理得 ②， 8 分
因为 ，所以 ，
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①与②相比得 ； 10 分
（ii）因为 ，则 ，即 ， 11 分
所以 ， 13 分
即 ，
所以 ，当且仅当 即 ， 时，等号成立， 15 分
故 ，
即 面积的最大值为 ． 17 分
19．（17 分）已知函数 ， ．
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 有两个极值点 ， （ ）．
（i）证明： 有三个不同的零点；
（ii）证明： ．
【参考答案】
解：（1）当 时， ， ，
则 ， 1 分
当 时， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ； 3 分
（2） ， ， 4 分
记 的导函数为 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
所以 的最大值为 ， 5 分
当 时， ，当 时， ，
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因为 有两个极值点，即 有两个变号零点 ， （ ），
所以 ，且 ，
所以 的取值范围为 ． 6 分
当 时， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
因为 ，所以 ， ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 和 内各有一个零点，
又 ，即证得 有三个不同的零点； 9 分
（3）设 ， ， 10 分
则 ，
记 的导函数为 ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，即 ， 12 分
所以 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ，
因为 ，
所以 ， ， 14 分
因为 ，所以 ，
又因为 ， ， 在 上单调递减，所以 ， 15 分
因为 ， 在 上单调递增，所以 ， 16 分
即证得 ． 17 分
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