重庆市第一中学校2025届高三下学期2月开学考试数学试卷+答案

这是一份重庆市第一中学校2025届高三下学期2月开学考试数学试卷+答案，共27页。
本试卷共 4 页， 共 19 题．满分 150 分， 考试用时 120 分钟．
注意事项：
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置．
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 为了得到曲线的图象，可以将曲线上所有的点（ ）
A. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
5. 在中，是直线上一点且，则（ ）
A. -2B. C. D. 0
6. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，数列恒单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 四面体 中， ，点 在三角形 内部 (包含边界) 且 ，则三棱锥 的体积最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数 满足，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16
B. 若一组样本数据频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C. 已知随机变量 ，若 ，则
D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次．
10. 若函数在上恒成立，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. B. 的最大值为
C. 若最小值为D. 的最大值为
11. 设 为非负整数， 为正整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为A ． 若 是素数， 为不能被 整除的正整数，则 ，这个定理称之为费马小定理． 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为素数，存在无数个正整数D. 已知实数 ，则方程 的解只有 10 个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有_____
13 _____． (请用最简数值作答)
14. 已知双曲线的离心率为 ，若双曲线上不存在以点为中点的弦，则的取值范围为_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）若方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
16. 已知内角，，的对边分别是 ，，，已知 ．
（1）求角;
（2）若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值．
17. 已知定义域为的函数满足，且，记.
（1）求数列通项公式；
（2），求数列的前项和 ；
（3），记数列的前项和为，求证：．
18. 继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是局胜制，例如一场比赛有5局， 率先胜3局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是局胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜， 本场比赛结束．
（1）若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了场比赛，试自行绘制列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响;
（2）设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件： “甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件： “两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：;
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行局，赢得局数大于 局的俱乐部获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由．
附：，其中 ．
19. 在直角坐标系中，为椭圆的左、右焦点．直线交椭圆于两点，交轴于点． 其中点在轴上方，的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）将平面沿轴翻折，使轴正半轴和轴所确定的半平面与轴负半轴和轴所确定的半平面所成二面角的平面角为，且，
① 在取得最大值的情况下，若，求翻折后异面直线与所成角的正弦值;
②若在平面上存在点满足，，且，求锐二面角的余弦值的最小值．0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5024
6.635