重庆市第一中学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题（含答案）

这是一份重庆市第一中学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共 4 页， 共 19 题．满分 150 分， 考试用时 120 分钟．
注意事项：
1
2
． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置．
． 回答选择题时，选出每小题答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
2
ꢀ푩
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3
． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要 求的．
x +1
A ={x |
³ 0}, B ={x | lg2 x ³ -1}
-
x
(ðR A)  B =
2
1
. 已知集合
，则
（
）
[1
,2)
[ ,2]
1
[2,+¥)
C.
(2,+¥)
A.
B.
D.
D.
2
2
z
z1-i= 3- 2i i
z
2
. 复数 满足
( 为虚数单位)，则复数 的虚部为（
）
1
2
1
2
1
1
-
i
i
A.
B.
C.
2
2
3
. 下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（
）
x
3
f (x) = x3 +1
B. f (x) xsinx
=
C. f (x)
=
D. f (x)
=
-
x
A.
e|x|
x
æ
è
2π ö
3 ø
æ
è
π ö
4 ø
æ
è
π ö
4 ø
C : f x = 2cs2 x +
 
+ 2sin x + cs x +
-1的 图 象 ， 可 以 将 曲 线
4
. 为 了 得 到 曲 线
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
æ
è
π ö
4 ø

 =
-
上所有的点（
）
C : g x cs x
ç
÷
2
π
A. 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度
2
4
π
B. 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度
6
π
1
C. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度
2
24
π
1
D. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度
2
48
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
π
1
1
4
5
. 在VABC 中，
BC = 2AB = 2,ÐB =
, AN = NC, P
是直线
BN
上一点且
AP = mAB + AC
，则
3
2
第 1 页/共 5 页

-

AP×CB = （
）
3
2
1
2
-
-
A. -2
B.
C.
D. 0
. 已知等差数列 的公差
d < 0,a a = 35,a + a =12
Sn + ln
恒
a
n
，记该数列的前 项和为 ，数列
S
6
n
5
7
4
8
n
单调递减，则实数l 的取值范围是（
21
）
(-¥,- 1]
2
(-¥,-
)
(-¥,-10]
(-¥,-10)
D.
A.
B.
C.
2
2
1
7
7
7
. 四面体 ABCD 中， AB = CD =
，AD = BC = ，BD = AC = 2 ，点 P 在三角形 BCD 内部
4
4
(包含边界) 且 AP BD ，则三棱锥
^
B - ADP
的体积最大值为（
）
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
8
16
24
36
x，y
+
-
+ -
(x-y-2)
- -
³
x - 2y
8
. 已知实数
满足
lne(2x 3y 6) 5 e
x 4y 0
，则
的值为（
）
7
8
21
6
A.
B.
C.
D. 3
5
5
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部 选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分．
9
. 下列说法正确的是（
）
A. 若样本数据3x + 2, 3x + 2,L,3x + 2
的样本方差为 9，则数据
4x -1, 4x -1,L,4x -1
的方差为
20
1
2
20
1
2
1
6
B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C. 已知随机变量x ~ N(0,s ) ，若 P(-2 £ x £ 2) = 0.7 ，则 P(x > 2) = 0.15
2
D. 运动员每次射击击中目标的概率为 0.7 ，则在 11 次射击中，最有可能击中的次数是 8 次．
=
x+a2
-
e)(
x b2 ) 0
-
³
xÎR
a 0,b 0
³
³
1
0. 若函数 f (x) (e
在
上恒成立，且 ，则下列结论中正确的有（
）
A. a2 + b2 =1
B.
a + 2b 的最大值为 5
3
2
b - 3
a +1
3
cÎR,a + 2b + c2 - 2bc - a2 的最小值为
-1
的最大值为 -
C. 若
D.
2
3
1. 设 a，b 为非负整数，
m
为正整数，若
a
和
b
被
m
除得的余数相同，则称
a
和
b
对模
m
同
1
º b md m

 ． 若
p
n
p
n
p-1
º1 md p
，这个
余，记为 A
是素数，
为不能被
）
整除的正整数，则
定理称之为费马小定理． 下列结论正确的是（
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

303030 º 6 md 217
B.
4
66
+ 2 º103 md17
A.
C.
p
n 3n - n º 0 md p
0 < x
>
e
C
4. 已知双曲线 C :
为中点的弦，
a
b
e
则 的取值范围为_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
x -1
x
f (x) = ln | a +
| + + b
为奇函数．
1
5. 已知函数
4
a,b
（
（
1）求
的值；
f (x) = m x (1,+¥)
在
Î
2）若方程
上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．
2ac + 4c2 csB = a2 -b2 - c2
6. 已知VABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别是 ，b ， ，已知
a
c
1
．
（
（
1）求角 B ;
2）若 D 为VABC 外一点，在四边形 ABCD 中，边长 BC = 2,ÐDCB = ÐB,ÐCAD = 30 ， 求边
CD 的最小值．
f (xy)
f (x) f (y) +1
1
2
(0,+¥)的 函 数 f (x)
满 足
f (xy +1)
=
=
， 记
f (2)
， 且
1
7. 已 知 定 义 域 为
1
an =
(nÎ N )
.
+
f (n)
1）求数列 通项公式；
a
（
n
第 3 页/共 5 页

-

=
a1C1
+
a2C2
+
a3C3
+L+ a Cn 1 anCn
，求数列
n-1 n
-
+
b 
n
的前 项和
S
n
（
（
2）b
；
n
n
n
n
n
n
1
3）
，记数列
 
的前 项和为T
，求证：T
0 时，
y = , y = -x
f (x) 在 (0,+¥)上单调递减，
都递减，则函数
x
f (x) 在 (0,1]上值域为[0,+¥) ，在[1,+¥)
上值域为
(-¥,0]，因此函数 f (x) 在 (0,+¥)上的值域是
函数
R，
f (x) 在 (-¥,0)上的值域是 R，D 是.
同理函数
故选：D
æ
è
2π ö
3 ø
æ
è
π ö
4 ø
æ
è
π ö
4 ø
C : f x = 2cs2 x +
 
+ 2sin x + cs x +
-1的 图 象 ， 可 以 将 曲 线
4
. 为 了 得 到 曲 线
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
æ
è
π ö
4 ø

 =
-
上所有的点（
）
C : g x cs x
ç
÷
2
π
A. 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度
2
4
π
B. 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度
6
第 2 页/共 20 页

π
1
C. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度
个单位长度
2
24
π
1
D. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
2
48
【
【
答案】C
解析】
【
【
分析】根据三角恒等变换公式化简  解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可.
f x
æ
2π ö
æ
π ö
æ
π ö
f x = 2cs2 x +
详解】因为  
+ 2sin x + cs x +
-1
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
3 ø
è
4 ø
è
4 ø
æ
è
2π ö
3 ø
æ
è
π ö
4 ø
æ
è
4π ö
3 ø
æ
è
π ö
2 ø
=
cs2 x +
+ sin2 x +
= cs 2x +
+ sin 2x +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
æ
è
π ö
3 ø
=
=
=
-cs 2x +
+ cs2x
ç
÷
π
π
-cs2xcs + sin 2xsin + cs2x
3
3
π
π
æ
è
π ö
sin 2xsin + cs2xcs = cs 2x -
ç
÷ ，
3 ø
3
3
æ
è
π ö
4 ø
æ
è
π ö
C : g x = cs x -
 
1
y cs 2x
=
-
所以将曲线
ç
÷ 的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变得到
ç
÷，
4 ø
2
2
æ
è
π ö
4 ø
π
é æ
ë è
π ö πù
24 ø 4û
æ
è
π ö
3 ø
y = cs 2x -
y = cs 2 x -
-
= cs 2x -
= f x
再将
ç
÷向右平移
个单位长度得到
ê ç
÷
ú
ç
÷
.
24
故选：C
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
π
1
1
. 在VABC 中，
BC = 2AB = 2,ÐB =
, AN = NC, P
是直线
BN
AP = mAB + AC
上一点且 ，则
5
3
2
4
AP×CB = （
）
3
2
1
2
-
-
A. -2
B.
C.
D. 0
【
【
【
答案】B
解析】
分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求出m ，再利用数量积的运算律及定义计算得解.
uuur
uuur uuur
，
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1
2
1
4
3
AN = NC AP = mAB + AC
AP = mAB + AN
B, P, N
共线，
【
详解】由
，得
，由
4
第 3 页/共 20 页

uuur
AP =
3
1
4
AB + AC 2AB + BC
2π
3
m + =1，解得 m =
BC = 2AB = 2,ÐB =
=
得
，则
，
，
4
4
4
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
1
1
1
1
3
2
AP×CB = - (2AB + BC)× BC = - (2AB× BC + BC ) = - (2´1´2´ + 22 ) = -
所以
.
4
4
4
2
2
故选：B
. 已知等差数列 的公差
d < 0,a a = 35,a + a =12
Sn + ln
恒
a
n
，记该数列的前 项和为 ，数列
S
6
n
5
7
4
8
n
单调递减，则实数l 的取值范围是（
）
(-¥,- 1]
2
21
(-¥,-
)
(-¥,-10]
(-¥,-10)
D.
A.
B.
C.
2
2
【
【
答案】D
解析】
a
n
【
【
分析】根据给定条件，求出等差数列 的前 项和，再利用递减数列列式求得范围.
n
详解】在等差数列 中，
a + a = a + a =12 a a = 35
，
，由公差
d < 0
a > a
，得 ，
7
a
n
5
7
4
8
5
7
5
a7 - a
5
a = 7,a = 5 d =
= -1， a = a + (n -5)d = -n +12
解得
，
，
5
7
-5
n
5
7
1
1+ (-n +12)
1
23
2
1
23
Sn =
×n = - n2
+
n
S + ln = - n2 + (l + )n
，
，
n
2
2
2
2
1
23
1
23
由数列
S + ln
恒单调递减，得
恒成立，
- (n +1)2 + (l + )(n +1) < - n2 + (l + )n
n
2
2
2
2
整理得
l < n -11恒成立，而 (n -11)min = -10
，因此
l < -10，
(-¥,-10) .
所以实数l
的取值范围是
故选：D
1
7
7
7
. 四面体 ABCD 中， AB = CD =
，AD = BC = ，BD = AC = 2 ，点 P 在三角形 BCD 内部
4
4
(包含边界) 且 AP BD ，则三棱锥
^
B - ADP
的体积最大值为（
）
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
8
16
24
36
【
答案】D
第 4 页/共 20 页

【
【
解析】
分析】通过构建 BD 平面
^
AEF
EF
F
得到点 P 为
上的点，然后结合图形得到点 P 在点 处时，三棱锥
B - ADP 的体积最大，然后利用余弦定理、三角形面积公式和棱锥的体积公式计算即可.
【
详解】
过点 A 作 AE BD 于点 ，过点
^
E
E
作
EF ^ BD 交 BC
于点
F
，
Ç
=
AE, EF Ì
AEF
BD ^
平面 AEF
因为 AE EF E ，
平面
，所以
，
因为点 P 在三角形 BCD内部，所以点 P 为 EF 上的点，
由图可知当点 P 在点 F 处时，点 P 到平面 ABD 的距离最大，
又V
=VP-ABD
，所以点 P 在点 处时，三棱锥 的体积最大，
F
B - ADP
B-ADP
1
7
6
49
+
4 -
AB2 + BD2 - AD2
2
1
16
13
在△ABD 中，
csÐABD =
=
=
，sin ABD
Ð
=
，
2
× AB× BD
17
4
17
1
7
2
´
´2
1
17 1
13
4
BE = AB×csÐABD =
AE =
-
=
则
，
，
2
16 4
4
9 17
4
+
-
BD2 + BC -CD2
2
6
1
6 16
在△BCD 中，
csÐDBC =
=
=
，
2×
BD× BC
7
7
2
´2´
4
BE
7
49
1
13
BF =
=
EF =
-
=
则
，
，
csÐDBC 12
144 4 12
设点 P 到平面 ABD 的距离为 d ，
因为 BD 平面
Ì
ABD
，所以平面
ABD ^
平面
AEF ，
因为平面 ABD 平面
Ç
AEF = AE
，所以点 P 到平面
ABD
的距离为点 P 到 AE 的距离，
在VABC 和△ABF 中，
1
7
49
17 49
+
- 4
+
- AF
2
AB2 + BC
2
- AC
2
AB2 + BF
2
- AF
2
1
6 16
16 144
17
csÐABC =
=
=
=
，
2
× AB× BC
2× AB× BF
17 7
7
2
´
´
2´
´
4
4
4
12
7
AF =
解得
，
6
第 5 页/共 20 页

AF
2
+ EF
2
- AE2
23
6 3
在△AEF 中
csÐAFE =
=
，则sin ÐAFE =
，
2
× AF × EF
7 13
7 13
1
1
1 7
´ ´
13 6 3
1
13
4
×
AF × EF sin ÐAFE = × AE ×d
´
= ´
，
即
d ，
2
2
2 6 12 7 13
2
1
3
d =
解得
，
9
1
1
17
13
1
3
所以VP-ABD = ´ ´
´2´
´
=
.
3
2
4
17
39 36
故选：D.
x，y
+
-
+ -
(x-y-2)
- x - 4y 0
³
x - 2y
8
. 已知实数
满足
lne(2x 3y 6) 5 e
，则
的值为（
D. 3
）
7
8
21
6
A.
B.
C.
5
5
【
【
答案】A
解析】
f (m) ³ h(n),
【
得
【
分析】构造函数
f (m) = lnm - m 和 hn= en - n - 2,
即可求导，得函数的最值，进而根据
m =1， n = 0
求解.
详解】由题意可得 
ln 2x 3y 6 ex-y-2 ³ x + 4y 6
+
-

-
-
，
设
m = 2x + 3y - 6,n = x - y - 2, 则 m - n = x + 4y - 4
，
故ln m - en ³ m - n - 2 ，即 ln m m en n 2，
-
³
- -
1
f (m) = lnm - m
f ¢m
，则
=
-1,
令
m
¢
>
>
¢

n < 0,h¢(n) < 0，故 hn在-¥,0单调递减，在-0,+¥
单调递增，
n 0,h (n) 0,
故
当
故  
= h0= -1,\hn³ -1
，
h n
min
由题意可知
f (m) ³ h(n), 故 m =1， n = 0
，
第 6 页/共 20 页

x + 3y - 6 =1且 x - y - 2 = 0,解得 x = 3, y =
1
3
5
7
5
，
2
x - 2y =
，故
此时
故选：A
点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
5
【
(2)构造新的函数  ；
h x
(3)利用导数研究  的单调性或最值；
h x
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部 选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分．
9
. 下列说法正确的是（
）
A. 若样本数据3x + 2, 3x + 2,L,3x + 2
的样本方差为 9，则数据
4x -1, 4x -1,L,4x -1
的方差为
20
1
2
20
1
2
1
6
B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C. 已知随机变量x ~ N(0,s ) ，若 P(-2 £ x £ 2) = 0.7 ，则 P(x > 2) = 0.15
2
D. 运动员每次射击击中目标的概率为 0.7 ，则在 11 次射击中，最有可能击中的次数是 8 次．
【
【
【
答案】ACD
解析】
分析】利用方差的性质计算判断 A；利用平均数、中位数的意义判断 B；利用正态分布的对称性计算判断
C；利用二项分布的概率最大求解判断 D.
x , x ,L, x
20
，则9D = 9
D =1，
【
详解】对于 A，设样本数据
为
D
，解得
x -1, 4x -1,L,4x -1的方差为16D =16
，A 正确；
20
1
2
4
数据
1
2
对于 B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位
数，B 错误；
1
- 0.7
对于 C，随机变量x ~ N(0,s
2
) ，由 P(-2 £ x £ 2) = 0.7 ，得 P(x > 2) =
= 0.15 ，C 正确；
2
对于 D，依题意，运动员击中次数h : B(0.7,11)
，击中 k 次的概率为
k
´0.7k ´0.311-k
，
C
1
1
第 7 页/共 20 页

ì
k
11
´0.7k ´0.3
11 k
-
³
k+1 ´0.7k+1 ´0.310-k
C
11
C
í
7.4 £ k £ 8.4
，解得 ，因此最有可能击中的次数是 8，D
由
正
C
k
11
´0.7k ´0.311-k Ck-1 ´0.7k-1 ´0.312-k
³
î
11
确.
故选：ACD
=
x+a2
-
e)(
x b2 ) 0
-
³
xÎR
a 0,b 0
³
³
1
0. 若函数 f (x) (e
在
上恒成立，且 ，则下列结论中正确的有（
）
A. a2 + b2 =1
B.
a + 2b 的最大值为 5
3
2
b - 3
a +1
3
cÎR,a + 2b + c2 - 2bc - a2 的最小值为
-1D.
的最大值为 -
C. 若
2
3
【
【
答案】ABD
解析】
分析】由给定的不等式恒成立可得 a2
+
b
2
=1，利用三角代换求解判断 BC；利用目标函数的几何意义求
【
解判断 D.
ì
ex+a2
ìïex+a2 - e £ 0
ïx -b2 £ 0
î
ï
- e ³ 0
=
x+a2
-
e)(
x b2 ) 0 ，得
-
³
í
í
【
详解】由 f (x) (e
或
，
ïx -b2 ³ 0
î
ì ³ -
x 1 a2
ì £ -
2
x 1 a
í
í
解得
或
，
x ³ b2
x £ b2
î
î
当1 a2 b2 时，则有
-
³
x £ b2 或 x ³1- a2 ；当1- a2 < b2
时，则有 x £1- a 或 x ³ b2
2
，
-
2
=
b2 ，即 a2 b2 =1，A 正确；
+
而
f (x) ³ 0对"xÎR
恒成立，因此1 a
π
a = csq,b = sinq,0 £q £
a + 2b = csq + 2 sinq = 5 sin(q +j)
对于 B，令
，则
，
2
π
π
1
其中锐角j
由 tanj =
确定，j £q +j £ +j ，因此q = -j
时，
(a + 2b)max = 5
，B 正确；
2
2
2
对于 C，
a + 2b + c2 - 2bc - a2 = a + 2b + (c -b)2 -1³ a + 2b -1，当且仅当 c = b时取等号，
π
由选项 B 知，当q =
0 时，
a + 2b =1，当q =
时，
a + 2b = 2
(a + 2b)min =1，
，即
2
因此
cÎR,a + 2b + c2 - 2bc - a2 的最小值为 0，C 错误；
x, y
轴正方向间的圆弧，
2
+ b2 =1,a ³ 0,b ³ 0 的点 (a, b) 的轨迹是单位圆夹在
对于 D，满足
b - 3
a
(a, b)
P(-1, 3)
B(1, 0) ，过点 P 作圆弧的切线，切点为T
确定的直线的斜率，
表示点
与定点
，
a +1
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π
6
2π
3
OP,OT ，| OP |= 2,| OT |=1，则 ÐOPT =
连接
，直线
OP
的倾斜角为
，因此切线
PT 的倾斜角为
5
π
，
6
5
π
3
过点 P 的直线与圆弧有公共点时，直线斜率最大值为切线 PT 的斜率 tan
=
-
，D 正确.
6
3
故选：ABD
1. 设 a，b 为非负整数，
m
为正整数，若
a
和
b
被
m
除得的余数相同，则称
a
和
b
对模
m
同
1
º b md m

 ． 若
p
n
p
n
p-1
º1 md p
，这个
余，记为 A
是素数，
为不能被
）
整除的正整数，则
定理称之为费马小定理． 下列结论正确的是（


303030 º 6 md 217
B.
4
66
+ 2 º103 md17
A.
C.
p
n 3n - n º 0 md p
0 < x
>
e
C
1
4. 已知双曲线 C :
为中点的弦，
a
b
e
则 的取值范围为_____．
1
0
11]
【
答案】[
,
3
3
【
【
解析】
(b,3b)
(b,3b)
为中点的弦，根据点差法可得弦
分析】由题意知点
必在双曲线外部或在双曲线上.若存在以
a
2
a
2
a
的斜率为
，要使弦不存在，则弦与双曲线至多一个交点，弦的斜率
小于等于渐近线斜率 ，如此
b
3
b
2
3b2
b
即可得到 的取值范围，进而求出离心率的范围﹒
a
第 11 页/共 20 页

(3b)2
b
b
2
2
b
a
2
2
2
9
(b,3b)
-
£1，得
£
【
详解】依题意，点
在双曲线外部或在双曲线上，则
，
a
2
(b,3b)
A(x , y ), B( x , y )
，
假设存在以
为中点的弦，设弦与双曲线交于点
1
1
2
2
x1 +x
2
y1 + y
2
=b,
=3b
则
，
2
2
ì
2
1
2
2
1
2
y
x
-
-
=1
ï
ï
(y + y )(y - y ) (x + x )(x - x )
a
b
x
b
1
2
1
2
=
1
2
1
2
í
则
，两式作差得
，
ï y2
2
2
2
a
2
b
2
2
=1
ï
îa2
y1 - y
2
a
2
(x + x )
1
2
a
2
×2b
a
2
k
=
=
=
=
直线 AB 的斜率
.
AB
x1 x2 b (y + y2 )
-
2
b2
×6b 3b2
1
a
2
a
b
a
1
3
1
9
b
2
2
2
9
由不存在该中点弦，得直线 AB 与双曲线至多一个交点，则
£
，
³
，
£
£
，
3
b
2
b
a
b
a
2
2
10 11
10 11].
=
1+
Î[
,
]，所以 的取值范围为[
e
,
因此 e
3
3
3
3
1
0
11]
故答案为：[
,
3
3
(b,3b)
在双曲线外部或在双曲线上，在这个前提下确定
【
点睛】关键点点睛：本题解题关键在于分析出点
当直线与双曲线至多一个交点时直线斜率与渐近线斜率的关系即可得到结果.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
x -1
x
f (x) = ln | a +
| + + b
为奇函数．
1
5. 已知函数
4
a,b
（
（
【
1）求
的值；
f (x) = m x (1,+¥)
Î
2）若方程
在
上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．
1
a = ，b = ln 2
答案】（1）
；
2
3
4
m > ln 2 +
（
【
【
2）
解析】
分析】（1）分析奇函数的定义域求出 ，由
.
a
f (0) = 0
求出b ，再根据奇函数的定义验证得解.
f (x) 在(1,+¥)
（
【
2）利用导数求出函数
上的最小值即可得解.
小问 1 详解】
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1
x -1
x
f (x) = ln | a +
| + + b x =1处无意义，且函数 f (x)
在 是奇函数，
由
4
1
1-1
1
f (x) 在 x = -1处也无意义，于是 a +
= 0
a =
，解得
，
则
-
2
又奇函数
f (x) 在 x = 0
处有意义，
1
1
1
x -1
x
x +1
x -1
x
f (0) = ln + b = 0 ，解得b = ln 2 f (x) = ln | +
，
| + + ln 2 = ln |
| +
则
，
2
2
4
4
x +1
x -1
x
-x +1 -x
其定义域为{xÎR | x ¹ ±1}， f (x) + f (-x) = ln |
| + + ln |
| +
= 0
，
4
-x -1
4
1
f (x)
a = ，b = ln 2
因此函数
是奇函数，所以
.
2
【
小问 2 详解】
x
x >1时， f (x) ln(x +1) - ln(x -1) +
=
，
由（1）知，当
4
1
1
1
x
2
-9
f ¢(x)
=
-
+
=
求导得
，
x +1 x -1 4 4(x2 -1)
¢

当1< x < 3
时，
f (x) 0
，当
x > 3时， f (x) 0
，
3
f (x) 在 (1, 3)
上单调递减，在
(3,+¥)
上单调递增，
f (x)min = ln 2 +
，
函数
4
3
®1+ 时，
f (x) ® +¥
x ® +¥
f (x) ® +¥
m > ln 2 +
，则
而当 x
；当
时，
，
4
3
所以实数m 的取值范围是
m > ln 2 +
.
4
2ac + 4c2 csB = a2 -b2 - c2
6. 已知VABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别是 ，b ， ，已知
a
c
．
1
（
（
1）求角 B ;
2）若 D 为VABC 外一点，在四边形 ABCD 中，边长 BC = 2,ÐDCB = ÐB,ÐCAD = 30 ， 求边
CD 的最小值．
2
π
【
答案】（1）
3
（
【
2） 3
解析】
【分析】（1）由余弦定理得到2ac + 4c2 csB = -2bccs A
，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦
第 13 页/共 20 页

cs B
公式及诱导公式求出
，即可得解；
0，所以1+ 2 cs B = 0

cs B = -
又
，即
，
2
2
π
BÎ 0,π

，所以
B =
又
【
；
3
小问 2 详解】
CD
AC
BC
AC
在VACD 和VABC 中，由正弦定理可得
=
，
=
，
sin 30 sin ÐADC sin ÐCAB sin120
ÐACB =q
， 0