2026襄阳四中高一下学期三月学情质量检测数学试题含答案

这是一份2026襄阳四中高一下学期三月学情质量检测数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知 ， ，则与 方向相同的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 为共线向量，且 ， ，则 （ ）
A． B． C．40 D．
3．如图所示，已知在 中， 是线段 上的靠近 A 的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 等于（ ）
A．3 B． C．21 D．
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，圆 O 内接边长为 1 的正方形 是弧 （包括端点）上一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．向量 ，若 与 的夹角不超过 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求）
9．已知 ， 为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 与 方向相同 B．若 ，则 与 方向相反
C．若 ，则 与 模相等 D．若 ，则 与 方向相同
10．已知向量 ， ， ，则（ ）
A． ， B． ，使得
C． ，使得 D． ，使得
11．如图，在 中， ，BM 交 CN 于点 E，且 ，则（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，该平面内 ， ，则 _______.
13． 已 知 是 内 一 点 ， 且 ， 点 在 内 （ 含 边 界 ）， 若
，则 的最小值是__________.
14．已知点 A 是半径为 4 的圆 O 内一点，OA=2，B，C 为圆 O 上任意两点，当 取得最大值时，
=______.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分）
15．（13 分）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
16．（15 分）已知 ，记 在 方向上的投影向量为 ．
（1）求 的值；
（2）若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
17．（15 分）在 中， ，且 .
（1）求角 的值.
（2）求 的最大值.
18．（17 分）如图，在平行四边形 中 为 的中点 分别为 的一个三等分点，
点 靠近点 点 靠近点 记 .
（1）把平行四边形 放到平面直角坐标系 中，若 求点 的坐标；
（2）用 表示 ；
（3）若 求 .
19．（17 分）如图 1，已知四边形 为菱形， ， ， 为 的外心．
（1）求 的值；
（2）点 P 在以 为圆心，1 为半径的圆上运动，
①已知点 是点 B 关于点 的对称点，求 的取值范围；
②已知点 为线段 的中点，且存在实数 x，y，z，使得 ，求出当 最大时
的值．
襄阳四中 2025 级高一下学期三月学情质量检测
数学试题评分细则
CABDD ACA ABD BD ABD 2
6．A 【详解】由题设 ，可得 ．故选：
A．
7．C 【详解】方法一：
如图 1，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立平面直角坐标系，则 ，
．设 ，则 ．因为 ，所以 ．
由题意知，圆 的半径 ．因为点 在弧 上，所以 ，所以 ．
方法二：如图 2，连接 ， ．易知 ，设 ， ，则 ．
由已知可得 ， ， ，
所以 ，
所以
．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
8．A 【详解】由题意设 ，得 ，且 ，因为 ，在单位圆上取 ，因
为 与 的夹角不超过 ，所以 ，所以
，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 的范围是 ，故选：A
10．BD
【详解】对于 A，因为 ， ，若 ，则 ，无解，故 A 错误，
对于 B，因为 ， ，若 ，则 ，即 ，故 B 正确，
对于 C，因为 ，若 ，则 ，解得
，不合题意，故 C 错误，
对于 D，因为 ，所以 ，
由 ，整理得 ，解得 ，故 D 正确，故选：BD．
11．ABD
【详解】取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，所以 ，且
，
所以 ，所以 ， ，即 ，
对于 A， ，故 A 选项正确；
对于 B， ，故 B 选项正确：
由 ，可得 ，
即 ，即 ，
所 以 ， 当 且 仅 当 ， 即
时， 取得最小值为 ，故 C 选项错误，D 选项正确．
12．
13． 【详解】因为 是 内一点，且 所以 O 为 的重心 在
内 （ 含 边 界 ） ， 且 当 与 重 合 时 ， 最 小 ， 此 时
所以 ， ，即
当 与 或 重合时， 最大，此时 所以 ， ，即
14．2【详解】如图，设 的中点为 ，连接 ， ， ，则 ．设 为 和 的夹
角，
，
且 ，当且仅当 与 反向时取“ ”由
，当 时， 有最大值，即 三点共线。
此时 共线， ，故答案为：2
15．（1） （2） 【详解】（1） ， ，
．
（2） ， ，
16．（1） （2） 且
【 详 解 】（ 1） ， ， 与 的 夹 角 为 ， 在 方 向 上 的 投 影 向 量
．
.
（2） 与 的夹角是锐角，
，且 与 不能同向共线， 即 ，
当 与 同向共线时，设 ， ，得 ． 且
．
17．（1） （2）2
【详解】（1）由 ， ，且 ，
得 ，整理得 ，
则 ，在 中， ，则 ，即 ，而 ，所以
．
（2）依题意， ，
由 ，得 ，则 ，则当 ，即 时， 有最大值 2．
18．（1） （2） ， （3）
【详解】（1）设 ，由题意得 ， ， ，
所以 ，解得 ，即点 的坐标为 ．
（2）由题意得 ， ， ，
所以 ， ．
（3）由题意得 ， ，
所以 ．
，所以
， 所 以 ，
19．（1）16 （2）① ；②
【详解】（1）解：方法一、已知四边形 为菱形，且 ，可得 为等边三角形，
因为 为 的外心，即 为 的中心，
又因为 ，可得 ，且 ，因为 ，所以 ，
所以 ．
方法二、以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
因为四边形 为菱形，且 ， ，可得 为等边三角形，
则 ， ， ， ， ；
（2）解：①以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，可得 ，
因为点 在以 为圆心，1 为半秪的圆上运动，故设 ，
则 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，则 ，所以
；
②以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，可得 ，
由 ， ，又由 ，
所以
，
因为 ，则 ，且
，
所以 ，代入 ，可得
，
整理得 ，
显然 ，两边同时除以 ，可得 ，
令 ， ，可得 ，
即 ，（☆）
所以 ，即 ，
解得 ，所以 （即 ）的最大值为 ．
此时 ，式子（☆）有两个相等的根，所以 ，
所以 ．