2026太原大学附中高二下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2026太原大学附中高二下学期3月月考数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：孟洋
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程.
【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且，
所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得，
所以椭圆方程是．
故选：B．
2. 设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设前三项为，则由等差数列的性质，可得，所以，
解得，由题意得，解得或，因为是递增的等差数列，所以
，故选B．
考点：等差数列的性质．
3. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解.
【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为，
当或时，，所以的单调增区间为，
故选：B.
4. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可；
解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可.
【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，，
则公比，否则，，，不符题意；
所以，解得，
所以．
所以．
解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，
则，即，
求得，故，所以．
5. 已知数列满足，设，则数列的前2026项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解.
【详解】因为①，
当时， ②，
由①-②得到，得到，
又时，，满足，
所以，则，
所以 ，
则数列的前2026项和为.
故选：C.
6. 已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为
因为是椭圆的左､右焦点，所以
抛物线准线为：直线，所以
因为是底角为的等腰三角形，则
则
则 ，整理得：
所以离心率.
故答案为：A.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据离心率得出及，从而得到渐近线方程；再设过右焦点且与渐近线平行直线，并与双曲线方程联立解得交点的坐标；接着利用两点距离公式求出，结合双曲线定义得到，最终计算出两线段长度的比值.
【详解】已知双曲线离心率，所以：，
又，代入得：，
故渐近线方程为，
取右焦点，并作平行于渐近线的直线：，
联立直线与双曲线方程得：，
化简：，，
分子：，
所以，
，
代入直线方程求：，
因此，点位于双曲线右支，
故，
由双曲线定义，得：，
故
故选：C
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取对数得，设，利用导数判断出函数的单调性可得答案.
【详解】因为，，，
则，
设，
则，
设，
则，
当时，，所以在上单调递减，
则，所以，即在上单调递增，
因为，所以，即，
即，所以.
故选：D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 已知函数，若，则
C. 若，则
D. 曲线上点P处切线的倾斜角的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数公式求导判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项．
【详解】对于A，易得，故A错误；
对于B，，令，解得，故B正确；
对于C，，则，解得，故C正确；
对于D，，即，而，则，故D错误.
故选：BC
10. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ）
A. 若，则的最小值为3
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为
D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断B，利用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断C，设，切点，，的斜率为，得到，再得到切点弦直线方程，进而得到直线过定点，即可判断D．
【详解】
由可得：，焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为，
则，故A正确；
设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得：
，故B错误；
设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，圆心,
则，即，
从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，设，
则，
即，故C正确；

设，切点，，的斜率为，
由题意知切线斜率存在，设为，
联立得，
，即，
，
原方程为，
，
所以切线方程为：，即，
同理切线方程为：，
由于切线与切线相交于点，
所以有：与成立，
由于切点满足直线方程，
即直线方程为：，因为，
则，即，
所以直线恒过定点，
故到直线距离的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
11. 如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 数列的通项公式B. 数列的通项公式
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形，
则直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得，则，即，则，
设，则，，
则，
可得，即，
由，可得，故得，
所以数列是以2为首项，以2为公差等差数列，
则，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，因为是等腰直角三角形，其面积，
则
由平方和公式，
可得，故C错误；
对于D，因为，，
当时，，
则，故D正确．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合椭圆方程的标准形式列式求解即可.
【详解】因为方程表示椭圆，
则，解得且，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
13. 已知直线与函数的图象相切，则实数_____．
【答案】##
【解析】
【分析】设函数在点处的切线为，根据导数的几何意义列式计算可求得.
【详解】设函数在点处的切线为，
函数的定义域为.
由，得，所以，
所以，解得（舍去）或.
又，所以切点为，
又切点在直线上，所以，解得.
故答案为：.
14. 抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可求得点，设直线的方程为，联立方程组，可求得，从而可求.
【详解】令，得，即.

由抛物线光学性质可知直线经过焦点，设直线的方程为，
代入，消去得，则，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列的前n项和为，，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）;
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造基本数列求通项公式；
（2）利用分组求和法求出.
【小问1详解】
（1）解：由，
得，得，
则，
因，，所以，满足上式，
所以，
又，所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列．
所以，．
【小问2详解】
（2）由（1）得
所以
即．
16. 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，得出关于的方程组求解.
（2）设出直线的方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，得，则，
由点在，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，，
由消去得，，
，则的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为1.
17. 已知函数，．
（1）求函数的单调性；
（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究的区间单调性，即可解得；
（2）将问题化为在上恒成立，再应用导数求右侧的最值求参数范围.
【小问1详解】
由已知，，，
当时，，
令的图象开口向下，且，
所以时，，即，则在上单调递增，
时，，即，则在上单调递减；
当时，，则，
所以时，，则在上单调递增，
时，，则在上单调递减；
当时，的图象开口向上，且，
或时，，即，
则在，上单调递增，
时，，即，
则在上单调递减．
当时，的图象开口向上，且且不恒为0，
此时，即，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增；
【小问2详解】
在上单调递减，
时，恒成立，即恒成立，
，而，
，，
，
，故a的取值范围是．
18. 已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，记数列的前项和，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将取倒数，判断数列是等差数列，根据等差数列的通项公式可求数列的通项公式.
（2）利用“裂项求和法”求数列的前项和.
（3）利用“错位相减法”求数列的前项和，再进行比较判断.
【小问1详解】
由题设，
又，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
可得，故.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
则.
【小问3详解】
由（2）得，
则，
所以，
两式相减得：，
即，
所以，
因为，所以.
19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：．
（1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围．
（2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线．
（i）求曲线的方程；
（ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可；
（2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可；
（ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
表示点到原点的距离，表示点到直线的距离．
若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为；
若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为．
【小问2详解】
（i）因为曲线的离心率为，所以，即，
即曲线的方程为，
曲线向右平移个单位长度得到曲线，
故曲线的方程为，化简可得．
（ii）设，，．
因为，所以，
解得，，则，
若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上，
所以不可能在双曲线上，舍去．
设直线的方程为，由得，
则且，即，
又，，
所以，故，
代入双曲线的方程得，
化简得，又，所以，
点到直线的距离，
．
故的面积．