2026浙江名校协作体G12联盟高三下学期二模试题数学含解析

这是一份2026浙江名校协作体G12联盟高三下学期二模试题数学含解析试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．2C．D．4
2．已知，则（ ）
A．32B．16C．8D．4
3．体积为的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，若，则（ ）
A．B．2C．D．6
5．已知双曲线的左焦点为为虚轴端点，直线与渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．3
6．已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．若曲线族（具有某种共同性质的所有曲线的集合）满足条件：存在直线，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的”是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（）
A．的估值为，的估值为B．的估值为，的估值为
C．可化为D．可化为
10．在正三棱柱中，，点满足，，则（）
A．当时，B．当时，与异面
C．若平面，则D．若点在平面内，则
11．已知集合，其中，且，定义的和集，则（）
A．若是等差数列，则的元素个数为
B．若是等比数列，则的元素个数为
C．若的元素个数为，则是等差数列
D．若的元素个数为，则是等比数列
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为___________．
13．已知，，则的值为___________．
14．某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）．
四、解答题
15．已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求证：．
16．已知锐角中，角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，求．
①面积为；
②边上的中线长为；
③，，成等差数列．
17．如图，在三棱锥中，是棱的中点，，是边长为2的正三角形，平面平面．
(1)证明：；
(2)点满足，且平面，
（i）求的值；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知椭圆，动点在抛物线上，过点作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点．
(1)求椭圆的焦距；
(2)若切线与椭圆的切点恰好是的中点，求直线的方程；
(3)证明：直线经过定点，并写出定点坐标．
19．已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数．
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)若对任意的，均有极小值点，且，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个根，，当取最小值时，求的值．
发病
未发病
合计
使用药物
5
45
50
未使用药物
25
25
50
合计
30
70
100
参考答案
1．D
【详解】，则，
．
2．A
【详解】二项式展开的通项公式为：
对于，要求的系数，取代入公式：
因此，
3．C
【详解】设该球半径为，则，解得，
则该球的表面积为.
4．C
【详解】因为，所以，
得.
5．B
【详解】不妨设，又，则直线的方程为，
联立，得，即，
因为，所以，
则，得，
则该双曲线的离心率是.
6．A
【详解】
因为在区间上单调递增，所以
解得
由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间
可以覆盖该区间，因此，解得
又，所以
7．D
【详解】当时： 原式变为 ，整理得：
当时： 原式变为 ，已知，且由得，
代入得： 化简得 ，解得 ，
把代入式(1)，得 ，解得
时：原式变为 ，由得前两项和为 ，
代入得： 化简得 ，解得
故 ，D对
8．C
【详解】对A：该方程表示圆心为，半径为的圆族，
假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为，
则圆心到直线的距离需小于等于半径，
即，整理得，
左边最高次为、右边最高次为，
当时，左边远大于右边，不存在无数多个，使得不等式成立；
若直线斜率不存在，设为，
则，解得，
当时，必须随无限增大，与为固定常数不符；
故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故A错误；
对B：该方程表示圆心为，半径为的圆族，
假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为，
则圆心到直线的距离需小于等于半径，
即，整理得，
左边最高次为、右边最高次为，
当时，左边远大于右边，不存在无数多个，使得不等式成立；
若直线斜率不存在，设为，
则，解得，
当时，必须随无限增大，与为固定常数不符；
故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故B错误；
对C：该方程表示圆心为，半径为的圆族，
取直线，代入该方程，即有，
整理得，
，
由，故，
故直线与该圆族中的每一个圆都有两个不同交点，
故该曲线族中存在无数个点在直线上，故曲线族是“完美的”，故C正确；
对D：该方程表示圆心为，半径为的圆族，
假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为，
则圆心到直线的距离需小于等于半径，
即，整理得，
左边最高次为、右边最高次为，
当时，左边远大于右边，不存在无数多个，使得不等式成立；
若直线斜率不存在，设为，
则，解得，
当时，必须随无限增大，与为固定常数不符；
故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故D错误.
9．AC
【详解】对AB，根据表格和频率估计概率：事件为动物发病，总样本数为，发病共只，
因此，。由定义
事件为此动物使用药物，发生条件下，用药共只，其中发病只，
因此，。由定义.因此选项A正确，选项B错误.
对CD，利用贝叶斯公式展开推导：根据条件概率公式：，
代入得：
又，因此：，选项C正确，选项D错误
10．ACD
【详解】正三棱柱中，以为原点建系如图所示，
由于，设，，，，，，
由，得点坐标为，，
对于A，当时，代入得，
则：，因此A正确
对于B，当时，取特殊值：，满足，
此时即点，，与相交于，不是异面直线，因此B错误
对于C，若平面，先计算得，
平面中，已有，只需：
整理得，因此C正确
对于D，若点在平面内，
则，
又，
所以，整理得，所以，因此D正确.
11．ABC
【详解】对A，设等差数列的公差为，则
，的取值范围为从0到，且能取遍所有整数，共个不同值，
因此，的元素个数为，A对；
对B，设等比数列公比，则，若，不妨设，两边除以：
，若，则最大幂指数：，代入得矛盾，，
同理，所以若，则， ，
即的元素个数为，B对；
对C，，，
已有项互不相同，，，
，此时必为等差数列，C对；
对D，取，则，
元素个数为，但该数列不是等比数列，故D错.
12．
【详解】对求导得
依题意，可得
故所求切线方程为 ，即.
13．/
【详解】根据正切差角公式 ，，
原等式可化为： 设 ，由 得 ，
整理方程： 解得正根 （负根舍去）。
利用公式 ，
分子分母同除以 得：
代入 ：
14．38
【详解】用表示三道函数题且难度从易到难，
用表示两道几何题且难度从易到难，
用表示两道概率统计题且难度从易到难，
先排几何题与概率统计题，则有①或、②或、
③或这三类不同情况，
针对情况①：之间与之间必须插入一道函数题，
则剩余的道函数题有个位置可选，共有种情况；
针对情况②：再插入三道函数题，共有种情况；
针对情况③：则之间或之间必须插入一道函数题，共有种情况；
综上，共有种不同情况.
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设数列的通项公式为，，
由，故；
又，，成等比数列，故，解得，
因为，故.
代入可得，，.
故.
（2），
故.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由，故，
由于是锐角三角形，则，故，
由正弦定理，故，
由，故；
（2）由余弦定理，得到；
选择①面积为：则，即，
又由于，则，故，
，故，则；
选择②边上的中线长为：设为边上的中线，
则，即有，
即，又由于，
则，，则，故，
，故，则；
选择③成等差数列：则，，
又由于，则，，
则，故，则.
17．(1)证明见解析
(2)（i）（ii）
【详解】（1）证明：∵在正三角形中，是棱的中点，
∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴
∵，∴
又∵，∴，
∴；
（2）（i）法1．综合法
∵，∴共面，
延长交于点，连接，
∵平面，平面平面，平面，
∴，，
又是棱的中点，，
∴，
∴，
∴为中点，
∴，即．
法2．坐标法
由（1）可知平面，
平面，，
在中，，
，
，，
，即，
则两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
，，，
，
∴，
，
设平面的一个法向量为，
，不妨取，则
∵平面，
∴，
∴．
（ii）由（i）可得平面的法向量，
又，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
18．(1)
(2)或
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，椭圆的长短半轴长分别为，则，
所以椭圆的焦距.
（2）设直线，切点为，
由，得，
由，得，则，
由，得，则，因此，
解得或，
所以直线的方程为或.
（3）设，由，得直线斜率，
直线的方程为，整理得，
同理得直线的方程为，由，
得，
因此，
整理得，同理，
则是关于的方程的两个根，，
因此直线的方程为，所以直线经过定点.
19．(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，则，
当时，，故单调递增；
当时，令，即，解得，
所以当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增．
综上，当时，单调递增；当时，在单调递减，在单调递增．
（2）当时，
当时，，故单调递减，故不可能有极小值点；
当时，令，即，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
因此均有极小值点，且，
，
令，故对任意的，．
，当时，，当，，
故在上单调递增，在单调递减，
，，且时，；时，；的图像如图，
故恒成立，故．
（3）方程有两个根，，
由（2）可知，否则单调，不可能有两个根，
方程有两个根，等价于有两个根，，
令，由；当；
当，故可知．
记，上式等价于有两个根，
两式相减可得，记，
故上式可写成，故，
又代入（）得，
令，
故，令，故，
故是单调递增，要求最小值，即求的最小值，就是求的最小值.
下面考虑的最小值．
，令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
（的图像如图所示）
故存在使得，即，
所以时，，单调递减；时，，单调递增；
故，即时，取最小值．
故．