2025-2026学年广东省广州市玉岩中学高二（下）月考数学试卷（一）-自定义类型

这是一份2025-2026学年广东省广州市玉岩中学高二（下）月考数学试卷（一）-自定义类型，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下求导正确的是（ ）
A. B. （csx）′=sinx
C. D. （3x）′=x⋅3x-1
2.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极小值点有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
3.若函数f（x）=ax3+3x2+x+b（a＞0，b∈R）恰好有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. （0，3）∪（3，+∞）B. [3，+∞）
C. （0，3]D. （0，3）
4.设函数的导函数为f′（x），且f′（2）=0，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A. B. C. （2，+∞）D.
5.已知函数若直线y=kx与y=f（x）有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.设f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）＝0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A. （-∞，-1）∪（0，1）B. （-1，0）∪（1，＋∞）
C. （-∞，-1）∪（-1，0）D. （0，1）∪（1，＋∞）
7.若函数f（x）=xex-lnx-x-a存在零点，则a的取值范围为（ ）
A. （0，1）B. [1，+∞）C. D.
8.函数f（x）=sin3x+6sinx,的最大值为（ ）
A. 4B. C. D. 5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.曲线y=x2-1与曲线y=lnx（ ）
A. 在点（1，0）处相交B. 在点（1，0）处相切
C. 存在相互平行的切线D. 有两个交点
10.已知函数，则（ ）
A. x=e是函数f（x）的极小值点
B. 对∀k≥3，方程f（x）-k=0恒有两个不同的实数解
C. πln2＞2lnπ
D. 存在k∈R，使得直线y=k（x-1）与曲线y=f（x）相切
11.已知函数且为常数，xn是函数fn（x）大于0的零点，其构成数列{xn}，下列说法正确的有（ ）
A. 函数f3（x）有且只有一个零点
B. 若函数fn（x）在区间（0，2）内均存在零点，则a∈（-2，0）
C. 若a∈（-2，0），则数列{xn}为递增数列
D. 存在实数a,使得数列{xn}为常数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=xlnx-x2，则= .
13.若曲线y=ex在点P（x1，y1）处的切线与曲线y=x2在点Q（x2，y2）的切线重合，则lg2（2x1-x2）= .
14.若任意两个不等正实数x1，x2∈（m,+∞），满足，则m的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+2x2+x+2，x∈[-]．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3-3x2+3x+1.
（1）求证：曲线y=f（x）的对称中心是（1，2）；
（2）若过点P（2，m）可作曲线y=f（x）的三条不同的切线，求实数m的取值范围.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3-（a+1）x2+ax
（1）a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，x≥0，若f（x）＞-a恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=a（ex+a）-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=-2xlnx,.
（1）求f（x）的极值；
（2）证明：当x＞1时，f（x）+g（x）＞0.（参考数据：ln2≈0.69）
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】1
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x3+2x2+x+2，则f′（x）=3x2+4x+1=3（x+）（x+1）．
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-，由f′（x）＜0，得-1＜x＜-．
因此，函数f（x）在[-，1]上的单调递增区间为[-，-1]，[-，1]，单调递减区间为[-1，-]．
（1），根据题意，由（1）的结论，f（x）在x=-1处取得极大值为f（-1）=2；
f（x）在x=-处取得极小值为f（-）=．
又由f（-）=，f（1）=6，且＞，
则f（x）在[-，1]上的最大值为f（1）=6，最小值为f（-）=．
16.【答案】证明：根据题意可得f（x）=（x-1）3+2，
所以f（1-x）+f（1+x）=（-x）3+2+x3+2=4，
所以y=f（x）的对称中心是（1，2） （2，3）
17.【答案】解：（1）a=-1时，f（x）=x3-x，
∴f′（x）=（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，1）递减；
（2）设a＞0，x≥0，若f（x）＞-a恒成立，
只需f（x）+a＞0即可，
令g（x）=f（x）+a=x3-（a+1）x2+ax+a，
∴g′（x）=（x-a）（x-1），
①0＜a＜1时，g（x）在（0，a），（1，+∞）递增，在（a，1）递减，
∴g（x）最小值=g（x）极小值=g（1）=-（a+1）+a+a＞0，
解得：＜a＜1，
②a=1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）最小值=g（0）=a＞0，
③a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）递增，在（1，a）递减，
∴只需g（x）最小值=g（x）极小值=g（a）=a3-（a+1）a2+a2+a＞0，
解得：1＜a＜4，
综合①②③得：a的取值范围是（，4）．
18.【答案】解：（1）,
当时，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，令，，时，，单调递减.
时，单调递增，
故当时在单调递减，
当时，在区间单调递减，在区间单调递增.
（2）由（1）知当时，在区间单调递减，在区间单调递增.故，
令，
，令，因为，故，在区间单调递减，在区间单调递增，,即恒成立，即，即当时，.

19.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=-2（1+lnx），
当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故f（x）在处取得极大值，
所以f（x）的极大值为，无极小值；
（2）证明：设，
则F′（x）=x-2lnx-1，
令h（x）=x-2lnx-1（x＞1），，
当1＜x＜2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
又h（2）=1-ln4＜0，h（1）=0，h（4）=3-2ln4＞0，
所以存在x0∈（2，4），使得h（x0）=0，即x0-2lnx0-1=0．
当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x＞x0时，h（x）＞0，即F′（x）＞0，F（x）单调递增，
所以当x＞1时，F（x）在x=x0处取得极小值，即为最小值，
故，
设，因为x0∈（2，4），
由二次函数的性质得函数在（2，4）上单调递减，
故p（x0）＞p（4）=0，
所以当x＞1时，F（x）＞0，即f（x）+g（x）＞0．