2026佛山顺德区高三下学期二模试题数学含解析

这是一份2026佛山顺德区高三下学期二模试题数学含解析，共15页。试卷主要包含了03， 设 ，则， 复数 满足 ，则， 设直线 与圆 交于 两点，则等内容，欢迎下载使用。
共 4 页，19 小题，满分 150 分，用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用 2B 铅笔将
试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不
按以上要求作答无效．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】依题意， ，而 ，
所以 .
2. 复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，得 ，
所以 .
3. 等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 ，则 （ ）
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A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】等差数列 中，由 ，得 ，
则 ，即 ，所以公差 .
4. 已知平面上两点 ，若 ，则 坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设点 的坐标，再应用向量的坐标运算求解.
【详解】设 的坐标为
且平面上两点 ，又 ，
则 ，且 ，
所以 ，即得
则 的坐标为 .
5. 设直线 与圆 交于 两点，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【详解】由圆 ，即 ，则圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
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所以 .
6. 函数 的图象向右平移 得到曲线 ， 的图象向左平移
得到曲线 ，若曲线 与 正好关于 轴对称，且都经过原点，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】由题意， ，
，
因为曲线 与 都经过原点，
所以 ， ，
则 ，且 ，
又因为曲线 与 正好关于 轴对称，
所以 ，
则 ，即 ，
联立 ，则 ，即 ，
则 .
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7. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶函数的定义确定函数 的奇偶性，再变形不等式，借助指数函数单调性求解.
【详解】当 时， ， ；当 时， ， ；
，则当 时， ，即函数 是 R 上的偶函数，
不等式 ，
整理得 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .
8. 设 为两个相互独立的随机事件，且 ．已知在 至少一个发生的条件下， 恰
有一个发生的概率是 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设 ，
由题意，在 至少一个发生的条件下， 恰有一个发生的概率是 ，
则 ，
即 ，解得 ，即 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区 2025 年 2 月至 10 月地方一般公共预
算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年 1 月到当月的数据
总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（ ）
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A. 该地区 2025 年每月的地方一般公共预算收入一直递增
B. 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入超过 30 亿元
C. 2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入比 2024 年 9 月高
D. 2024 年前 10 个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于 22 亿
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的
正误，判断结果.
【详解】由图表可知，3 月 地方一般公共预算收入为 （亿元），4 月的地方一般公
共预算收入为 （亿元），可知选项 A 错误；
9 月该地区的地方一般公共预算收入为 （亿元），所以选项 B 正确；
2025 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 ，所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共
预算收入累计为 （亿元），
2025 年 8 月该地区 地方一般公共预算收入累计同比增长 ，所以 2024 年 8 月该地区的地方一般公
共预算收入累计为 （亿元），
所以 2024 年 9 月该地区的地方一般公共预算收入为 （亿元），所以 C 正确；
2025 年 10 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长 ，所以 2024 年 10 月该地区的地方一般公
共预算收入累计为 （亿元），所以 2024 年前 10 个月，该地区地方一般公共
预算收入平均数为 ，所以 D 正确；
故选：BCD.
10. 定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 函 数 ， 满 足 ，
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， 为偶函数且 ，则（ ）
A. B.
C. 为偶函数 D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【详解】令 ，则 ，化简得 ，又
， ，故 A 正确，
令 ， ，化简得 ，又 ，
，故 B 正确，
令 ，则 ，化简得 ，故 为奇函
数，故 C 错误.
令 ，则 ，化简得 ，
又 ， ，
再令 ，则 ，
又 为偶函数， ，又 为奇函数， ，
故化简得 ，
，解得 ，故 D 正确.
11. 已知 为坐标原点，双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在 上，直线
为 的内角平分线，过 作 于点 ，则（ ）
A. 当 轴时，点 在直线 上 B. 当 轴时，点 在 轴上
C. 点 在圆 上 D. 直线 与双曲线 的公共点只有 1 个
【答案】BCD
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【解析】
【分析】由双曲线的光学性质可知，点 处的切线平分 ，对 A、B，写出直线 方程代入求解即可；
对 C，求出 是 的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对 D，利用双曲线的几何性质判断即
可
【详解】由双曲线的光学性质可知，点 处的切线平分 ，因此直线 即为双曲线在点 处的切线
对 A，当 轴时，不妨设 点坐标为
双曲线在 点的切线（即角平分线 ）方程为： ，
将原点 代入方程得 ，因此 点不在直线 l 上，故 A 错误
对 B，求得 的方程为 ， ， ， 的方程为 ，
联立得交点 ，横坐标为 0，故 在 轴上，B 正确
对 C，延长 交 于 ，因为 是角平分线且 ，
所以 是等腰三角形， ， 是 中点，
又 是 中点， 是 的中位线，
因此： 即 ，
故 在圆 上，C 正确
对 D，因为直线 即为双曲线在点 处的切线，所以直线 与双曲线 的公共点只有 1 个，D 正确
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，且 是第一象限角，则 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【详解】由 ，得 ，又 是第一象限角，解得 ，
所以 .
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13. 已知 为坐标原点，椭圆 与抛物线 有共同的焦点 ，
且在第一象限相交于点 ，若 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】联立曲线方程，求得 ，然后将 代入得出 ，化简整理即可求解.
【详解】设椭圆的右焦点为 ，依题意可得 ，
因为 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
14. 在平面四边形 中， ．将 沿 翻折到
，若三棱锥 的外接球半径是 2，则二面角 的正弦值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用球面的性质及二面角的定义求解.
【详解】在三棱锥 中，取 中点 ， 为 的外心，
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由 ，得 ， 在线段 上，且 ，
由 ，得 是 的外心，令三棱锥 的外接球球心为 ，
则 平面 ， 平面 ，而 ，则 ，
显然 平面 ，则 平面 ，
令平面 平面 ，则 是二面角 的平面角，
且 ，而 ，则 ，
所以二面角 的正弦值是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的图象经过 ．
（1）求函数 的表达式；
（2）在 中，角 所对的边为 ．已知 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入点计算求解参数，得出解析式即可；
（2）应用三角函数值得出 ，再结合两角和正弦公式及正弦定理得出 ，最后应用特殊角三
角函数值计算求解.
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【小问 1 详解】
函数 的图象经过 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，
即得 ；
【小问 2 详解】
在 中， ，所以 ，
且 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，即得 ，
由正弦定理 ，所以 ，
所以 ，即得 ，
所以 ，
即得 ， ，
所以 ，
所以 .
16. 现有一枚质地均匀的骰子，6 个面中有 3 个面的点数是 1，有 2 个面的点数是 2，还有 1 个面的点数是 4
．掷骰子 次，且每次掷骰子相互独立．
（1）记第一次朝上的点数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
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（2）记 4 次朝上的点数之积为 ，求 ．
【答案】（1）
1 2 4
；
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
依题意， 的可能取值为 ， ，
所以 的分布列为
1 2 4
数学期望 .
【小问 2 详解】
依题意， 的事件是以下 3 个互斥事件的和，4 次正面朝上的点数都是 2 的事件 ；
4 次正面朝上 点数中 1 次为 1，2 次为 2，1 次为 4 的事件 ；
4 次正面朝上的点数中 2 次为 1，2 次为 4 的事件 ，
，
所以
17. 如图， 是圆柱 的母线，四边形 是底面内接正方形．点 是棱 上的动点
（ 不与端点重合），且 ．
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（1）证明： 平面 ；
（2）已知圆柱 的体积为 ， ，点 到直线 的距离是 1．
（i）求 的长度；
（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证.
（2）（i）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出 ；（ii）求出平面
的法向量，再利用线面角的向量法求解.
【小问 1 详解】
在正方形 中，由 ，得 ， ，
则 ， ，因此 ，
由 是圆柱 的母线，得 平面 ，而 平面 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
（i）设圆柱 的底面圆半径为 ，圆柱 的体积为 ， ，得 ，
解得 ，则 ，显然直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
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则 ，设 ，则 ，
，由点 到直线 的距离是 1，
得 ，则 ，而 ，解得 ，
所以 .
（ii） ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知椭圆 的左顶点 ，上顶点 ．
（1）求椭圆 的方程和直线 的方程；
（2）过椭圆 上异于 的点 作 轴的垂线交直线 于 点，延长 至点 ，使 ，直
线 交椭圆 于点 ．
（i）求证：直线 的斜率之和为定值；
（ii）求 面积的最大值．
【答案】（1） ， ；
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（2）（i）证明见解析；（ii） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程.
（2）（i）设出直线 方程，与椭圆方程联立求出点 的坐标，进而求出点 的坐标，再利用斜率坐
标公式计算得证；（ii）由（i）求出点 坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最大
值.
【小问 1 详解】
由椭圆 的左顶点 ，上顶点 ，得 ，
所以椭圆 的方程为 ，直线 的方程为 .
【小问 2 详解】
（i）直线 斜率存在，设其方程 ，点
由 ，得 ，则 ，
解得 ，即点 ，
直线 交直线 于点 ，
由点 是线段 的中点，得点 ，
因此直线 的斜率 ，即 ，
所以直线 的斜率之和为定值.
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（ii）由（i）同理得 ， ，
点 到直线 的距离 ，
则 的面积 ，
显然 ， ，令 ，
，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，函数 在 上递增，在 上递减，
当 时， ，所以 面积的最大值为 .
19. 已知函数 ，
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 ，记 为 在区间 ， 上的零点．
（i）证明：数列 为等比数列；
（ii）对任意 ，比较 与 的大小．
【答案】（1）在 上单调递减，在 上单调递增
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
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【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性；
（ 2）（ i） 求 导 ， 结 合 题 设 可 得 ， 结 合 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 可 得
，易得 ，进而得到 ，即可求
证；
（ ii） 结 合 （ i） 可 得 ， 进 而 构 造 函 数
， ，利用导数分析其单调性，进而求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，
由于 ，则 时， ，即 ，
时， ，即 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
（i）由 ， ， ，
则 ，
令 ，得 ，
即 ，
则 ，其中 ， ，
又 ，则 ， ，
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所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
（ii）由（i）知， ， ，
则 ，
因此 ，而 ，
设 ， ，
则 ，所以函数 在 上单调递减，
则 ，即 ，
则 ，
即 ，
由 ，则 ，即 ，
则 ，即 .
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