2026太原高三上学期期末考试数学含解析

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是递减的等比数列，是其前项和，且，，则数列的公比（ ）
A．B．
C．或D．
5．已知直线与圆相交于，两个不同点，直线与轴与轴分别相交于，两点，若，则（ ）
A．2B．C．6D．
6．某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，，点满足，则（ ）
A．B．C．12D．18
8．如图，函数的图象是以坐标原点为对称中心，以轴和直线为两条渐近线的双曲线，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知棱长为的正方体中，点为棱的中点，动点为四边形内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹的长度为
B．若，则的最小值为
C．若，则的最大值为
D．若点到点的距离等于它到直线的距离，则的最大值为
11．在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．双曲线的焦点坐标为 .
13．已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是 .
14．已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．在中，，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)在（2）的条件下，求的角平分线的长.
16．随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.
(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
(2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，点是的中点，，.
(1)证明：；
(2)棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；否则，请说明理由.
18．已知抛物线关于轴对称，其焦点是，直线与相交于，两个不同点，且.点，动点满足.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求点的轨迹方程；
(3)设，是过作抛物线的两条切线的切点，求面积的最大值.
19．已知函数（）.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数零点个数；
(3)若，（）是函数的两个零点，证明：.
参考答案
1．C
【详解】解不等式得，即，
又因为，所以
故选：C
2．C
【详解】
故选：C.
3．A
【详解】因为，，
所以，
所以
故选：A
4．B
【详解】因为，，所以，即，
所以，即，解得或，
因为是递减的等比数列，所以舍去，
所以.
故选：B
5．C
【详解】对于，令，解得，则，
令，解得，则，由两点间距离公式得，
因为，所以，
将化为标准方程，
可得，则圆心为，半径为，
得到，解得，
设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，
由弦长公式得，解得，故C正确.
故选：C
6．B
【详解】记校名选手分别为甲、乙，
记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示：
事件为：校选手的两边为甲和乙，
则满足题意的排法种数为
种.
故选：B.
7．C
【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，
设，由得：，即
解得，故，
所以，
故选：C
8．D
【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，
因为双曲线以轴和直线为两条渐近线，
所以双曲线的两条渐近线的夹角为，
所以双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为
所以，
所以离心率为.
故选：D
9．BCD
【详解】在等差数列中，，解得，则公差，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，因此，D正确.
故选：BCD
10．BC
【详解】设，则，在正方体中，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设点，其中，，
，，
因为，则，
整理可得，
此时点的轨迹是以点为圆心，且半径为的半圆，
故点的轨迹的长度为，A错；
对于B选项，因为，
化简可得，其中，，
由可得，可得，
又因为，则，可得，
所以
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B对；
对于C选项，因为，
化简得，其中，，
所以
，当且仅当或时，等号成立，故的最大值为，C对；
对于D选项，，，
点到直线的距离为，
，由题意可得，
所以，整理可得，
因为，则，从而，
所以，又因为，故，故，
则的最大值为，D错.
故选：BC.
11．ABD
【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得，
因为，，所以，即
所以，由余弦定理可知，，故，
若，则，注意到，
所以（两者同负会有两个钝角，不成立），即，
因为，都是锐角，
所以，
于是，这和相矛盾，
故不成立，所以.
所以，，
所以，A选项正确；
，即，
所以或，即或，
当时，，；
当时，，，故B选项正确；
因为的面积为，
所以，当，时，，，，
解得，，；
当，时，，，，
解得，，；
所以C选项错误，D选项正确.
故选：ABD
12．，
【详解】由双曲线方程得双曲线焦点在轴上，且，
所以双曲线的焦点坐标为，
故答案为：，
13．
【详解】如图，作出符合题意的图形，
取中点中点，连接，因为，所以
又四边形是正方形，所以因为平面平面，
所以为二面角的平面角，所以，
取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线，
过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心，
因为，
所以，
则在中，，
所以三角形的外接圆半径满足 ，
因为，所以四点共圆，且圆的直径为，
所以，所以四棱锥的外接球半径满足，
所以外接球表面积为.
故答案为： .
14．
【详解】因为，所以，
所以，即
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，
所以
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即的最大值为
所以，即实数的取值范围为
故答案为：
15．(1)3
(2)
(3)
【详解】（1），，，
由得，.
（2）由（1）得，，
，或（舍去），
的面积.
（3）设，
则，，
，
.
16．(1)
(2)或
【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件，
“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件，
由题意可得，，，，
.
所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8.
（2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8，
则，，
令，
则，
令，则；令，则；令，则；
所以或时，取最大值.
17．(1)证明见解析
(2)存在，点是的中点
【详解】（1）证明：底面为平行四边形，，，
在中，，，
，
，，，即，
，，平面，
平面，∵平面，，
四边形为平行四边形，.
（2）解：由（1）得，，，平面
平面，∵平面，，
，，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
假设存在点，设（），
，
设是平面的一个法向量，
则，即
令，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，
或（舍去），
，即点是的中点.
棱的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可设抛物线的标准方程为（），
，抛物线经过点，，，
抛物线的标准方程为.
（2）设，由（1）得，
因为动点满足，点，
则，
化简得，即.
所以点的轨迹方程为.
（3）
设，，，
由得，，
抛物线在点处的切线方程为，即，
点在该切线上，，
同理可得，
直线的方程为，
由得，，，
，
点到直线的距离，
面积，
由（2）点满足方程，
则，，，
∴
面积，
当时，面积取得最大值.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，则，
，，，
在点处的切线方程为，
即，即.
（2）令，因为，所以，，
令，，则，
令，则；令，则或；
的递增区间为，递减区间为和；
是的极小值，是的极大值，
当时，；当时，且，
则的零点个数即为与的交点个数，
当时，与无交点，即函数无零点；
当或时，与有且仅有个交点，即函数有1个零点；
当时，与有个交点，即函数有2个零点；
当时，与有个交点，即函数有3个零点.
综上可得，当时，函数无零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
（3）由题意得，，
，，是方程的两个正实数根，
由（2）可知，在上单调递增，
在单调递减，且，要证，
需证，只需证，
，只需证，即需证，
两边取对数，整理得，
令，，则，
在上单调递增，，