2025年上海市虹口区5月中考模拟数学试卷（含答案）

这是一份2025年上海市虹口区5月中考模拟数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题；， 已知二次函数， 分解因式， 方程的解是_____．， 一组数据等内容，欢迎下载使用。
2025.5
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.除第一、二大题外，其余各题无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列计算中，正确的是（ ）
A. a2•a4＝a8B. （a3）4＝a7C. （ab）4＝ab4D. a6÷a3＝a3
【答案】D
2. 单项式的系数和次数分别是（ ）
A. 和2B. 2和2C. 和3D. 2和3
【答案】C
3. 下列关于x的方程一定有实数解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
4. 如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交
C. 相离或相切D. 相切或相交
【答案】D
6. 已知二次函数（为常数）命题①：该函数的图像经过点；命题②：该函数的图像经过点；命题③：该函数的图像与轴的交点位于轴的下方；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（ ）
A. 命题①B. 命题②C. 命题③D. 命题④
【答案】A
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 分解因式：______．
【答案】
8. 函数中自变量的取值范围是______．
【答案】
9. 方程的解是_____．
【答案】
10. 一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是_____．
【答案】
11. 布袋中有五个大小一样的球，分别写有，，，，这五个实数，从布袋中任意摸出一个球，那么摸出写有无理数的球的概率为_______．
【答案】
12. 已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为__________．
【答案】
13. 如果抛物线（为常数）不经过第二象限，那么的取值范围是________．
【答案】
14. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为______．
【答案】1：1.5
15. 某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中m的值为________．
【答案】0.140
16. 如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是__．
【答案】﹣+
17. 如图，点M是正方形边上一点，连接，作于点E，于点F，连接．已知，四边形的面积为24，则的正弦值为__________．
【答案】
18. 如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为______．
【答案】
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、分数指数幂、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式、分数指数幂、绝对值、零指数幂的性质化简，再合并即可．
【详解】解：
．
20. 解方程：
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
当时，，
∴不是原方程的解．
21. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．

（1）求B、C两点的坐标；
（2）设点D在直线y＝﹣x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D的坐标．
【答案】（1）B（0，4），C（0，﹣1）；（2）D（4，﹣3）
【详解】解：（1）将代入，解得，
，
令，则，即，
将代入，解得，
，
令，则，即 ，
（2）如图，过作于，
当的面积为15时，，
即，
，
，
中，令，则，
．

22. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
【答案】（1）②④ （2）①．理由见解析；②
（3）或
【小问1详解】
解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
【小问2详解】
解：①，理由：
延长至点E，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图，连接，过N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
当时，连接，过N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
综上，的长为或．
23. 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F．
（1）求证：AD2＝DG•AF；
（2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）AF＝
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴，
∴AD2＝DG•AF；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵BG⊥AE，AB＝6，AD＝9，
∴BA＝BE＝6，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴，
即AG＝GE＝EF，
∵AD2＝DG•AF，
∴AF2＝81，
∴AF＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多解决本题的关键是注意掌握几何涂星星性质的运用．
24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标；
（3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【详解】（1）∵点、在抛物线上
∴，解得
∴抛物线的解析式为，
∴顶点B的坐标是；
（2）如图，
∵，
∴直线AB解析式为：y=x-8，
∵
∴直线OP解析式为：y=x，
设点，
∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，
∴k＞0
∵OP平行于AB，QA不平行于OB
∴四边形OQAB为梯形
又∵∠QAB=∠OBA
∴四边形OQAB为等腰梯形
∴QA=OB
∴（6-3k）2+（4k）2=25
∴或（舍去）
∴
（3）由（1）知
设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为
∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）
∴0＜m＜3，-4＜c＜0，
如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F
∴且
∴∽
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴或者（舍去）
∴
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键．
25. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP= x，PC= y．
（1）求证：PE∥DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围．
【答案】（1）见解析;（2）；（3）
【详解】证明：（1）∵梯形ABCD，AB=CD，
∴∠B=∠DCB．
∵PB=PE，
∴∠B=∠PEB，
∴∠DCB=∠PEB，
∴PE∥CD．
（2）分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G.
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC，
∴四边形ADGF是矩形，PH∥AF．
∵AD=2，BC=DC=6，
∴BF=FG=GC=2．
在Rt△ABF中，
﹒
∵PH∥AF，
∴，即．
∴，．
∴．
在Rt△PHC中，，
∴，即．
（3）作EM∥PD交DC于M．
∵PE∥DC，
∴四边形PDME是平行四边形．
∴PE=DM=x，即 MC=x．
PD=ME，∠PDC=∠EMC，
又∵∠PDC=∠B，∠B=∠DCB，
∴∠DCB =∠EMC=∠PBE =∠PEB．
∴△PBE∽△ECM．
∴，即．整理方程，解得：．
即BE．∴PD=EC=．
当两圆外切时，PD=，即（舍去）；
当两圆内切时，PD=，即（舍去），；
即两圆相交时，．