河北省邯郸市2024-2025学年高二下学期期末调研试卷 数学（含解析）

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1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4、本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，
所以.
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】原式.
故选：A.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. 3B. -3C. 4D. -4
【答案】B
【详解】因为，所以，
因为，所以，
即，解得.
故选：B
4. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为图象过点，所以，
为函数递减区间上的零点，可得，即，
因为，所以.
故选：A.
5. 已知，函数则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】当时，，在上为减函数，
所以.
当时，，
因，所以在上为增函数，
所以.
综上得，的值域为.
故选：C.
6. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点于点.若，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
如图，在半平面内作于点，且，连接，
则四边形为矩形，且为二面角的平面角，即，
所以，，，
所以直线与所成的角为直线与所成的角，且是正三角形，故.
因为平面，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以，故，
所以，即直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
7. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【详解】
由题意得，，双曲线的渐近线方程为，
如图，不妨设点在直线上，
即点在直线上，则，
在直角中，，
所以，故，
在中，，
所以，
所以，故椭圆的离心率.
故选：C.
8. 已知某农户家里养了3只兔子和4只鸡，将它们关在同一个笼子里，若兔子和鸡随机逐一向外走，则恰有2只兔子相继走出笼子的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意，兔子和鸡随机走出笼子，共有种不同的情况，
其中恰有2只兔子相邻走出笼子的情况共有种，
故恰有2只兔子相邻走出笼子的概率为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是定义在上的奇函数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以①，且，故A正确；
因为，故得②，则，故C正确；
由①②可得，则，可得 ，
即是以4为一个周期的函数，，故D正确；
对于，没有相关条件求出其值，故B错误.
故选：ACD.
10. 为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的样本均值，已知该新品种玉米的亩产量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（若随机变量服从正态分布，则
A. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多B. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【详解】因为新品种玉米的亩产量的样本均值为500，方差越大，数据越分散.
当的值越大时，亩产量不少于490千克且低于510千克的样本越少，不低于510千克的样本越多，A正确，B错误.
因为，
，
所以C，D正确.
故选：ACD.
11. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的1，4，9，称为正方形数，第三行的称为五边形数，第四行的称为六边形数，以此类推.设第一行、第二行、第三行、第四行、第行的数分别构成数列，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 第十行的第4个数为64
【答案】ACD
【详解】由图可得，，
累加可得，A正确.
1，
累加可得.
，
累加可得.
1，
累加可得错误.
以此类推可得，C正确.
若，则，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_____________.
【答案】
【详解】因为，所以,
则.
故答案为：.
13. 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_____________.
【答案】3
【详解】由题意，抛物线的焦点为，
由抛物线的定义知，点到直线的距离等于点到点的距离，
因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，
即为点到直线的距离，即为.
故答案为：3.
14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】由，可得，即，
构造函数，函数定义域为，
因在上恒成立，故在上单调递增，
由可得，即（*），
令函数，则，
若，则当时，，在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，故由（*）可得；
若，则当时，，在上单调递增，
故，满足，所以符合条件；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平面四边形ABCD中，,,,.
（1）求；
（2）若，求BC.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，所以是锐角，则，.
在中，由余弦定理得，.
又由正弦定理，可得，即，
因为，所以，则，故.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
则，.
在中，由余弦定理得
，解得.
16. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
（1）求的方程；
（2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意可得解得
故的方程为.
【小问2详解】
联立，得
，解得.
设，则，
，
解得，即的值为.
17. 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
证明：连接交于点，记的中点分别为，连接.
在中，是的中点，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
在矩形中，.因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
，同理得，所以，即.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
作，垂足为.以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，.
所以.
设是平面的法向量，
则即可取.
设是平面的法向量，
则即可取.
，
.
故二面角正弦值为.
18. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程.
（2）证明：在上单调递增.
（3）若，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】
当时，，，
则，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
的定义域为，则，
令函数，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
【小问3详解】
（证法一）由（2）得，在上单调递增，
因为，由，，
可知存在唯一实数，使得，
即，可得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以的极小值为
，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
所以.
（证法二）当时，等价于，
即，
令，则有，
先证当时，，
令函数，则，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，即当时，得证；
再证，
令函数，则，
当时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即得证；
综上，，即当时，得证.
19. 有个人（包括甲在内）一起做传球训练，第1次由甲将球传出，经过）次传球后，记球回到甲手中的传球方式有种，球不回到甲手中的传球方式有种.
（1）求；
（2）求；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1），
（2）
（3）3
【小问1详解】
由分步乘法计数原理得，
，
.
【小问2详解】
要使得第次传球后，球回到甲手中，则第次传球后，球不在甲手中，且第次传球只能传给甲，
所以，即.①
因为经过次传球，每次传球都有种选择，所以.②
由①②得，.
设，
展开整理得，则，
所以.
又，所以是以为首项，-1为公比的等比数列，
所以，
即.
【小问3详解】
由（2）得.
因为，所以，
.
若为偶数，则；
若为奇数，则.
综上，，
所以的最大值为3.