高中物理人教版 (2019)必修 第二册万有引力理论的成就同步训练题

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1.在太阳系之外,科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星,假设该类地行星、地球绕恒星均做匀速圆周运动,类地行星运行的周期为地球运行周期的p倍,轨道半径是地球运行半径的q倍,则恒星的质量为太阳的( )
A.q2p3倍B.q3p2倍
C.p2q3倍D.p3q2倍
答案:B
解析:根据万有引力提供向心力有Gm'mR2=m2πT2R,可得m'=4π2GT2R3,故m恒'm太'=R恒R太3T太T恒2=q3p2,选项B正确。
2.火星有两颗天然卫星,火卫一和火卫二。其中火卫一的轨道离火星地面高度为h,绕火星运行的周期为T,火星半径为R。引力常量为G,忽略火星自转影响,则火星的质量为( )
A.4π2(R+ℎ)3GT2
B.4π2R3GT2
C.4π2(R+ℎ)2GT2
D.4π2R2GT2
答案:A
解析:设“火卫1”的质量为m,根据万有引力提供向心力有Gm火m(R+ℎ)2=m·2πT2·(R+h),解得火星的质量为m火=4π2(R+ℎ)3GT2,选项A正确。
3.为了估测太阳的密度,某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳,如图甲所示,调整圆环的位置,当太阳刚好和圆环的内圈重叠时,测出观测点到圆环的距离为L,如图乙所示,已知圆环内圈的半径为r(r≪L),地球绕太阳公转的周期为T,引力常量为G,球的体积公式V=43πR3,则太阳的密度可近似的表示为( )
A.3πGT2B.GT23π
C.3πL3GT2r3D.3πr3GT2L3
答案:C
解析:设太阳的半径为R,地球到太阳的距离为d,则rR=Ld,地球绕太阳做圆周运动,根据万有引力提供向心力有Gm太md2=m4π2T2d,太阳的密度ρ=m太43πR3,解得ρ=3πL3GT2r3,选项C正确。
4.洛希极限是19世纪法国天文学家洛希在研究卫星形状理论中提出的一个使卫星解体的极限数据,即当卫星与行星的距离小于洛希极限时,行星与卫星间的引力会使卫星解体分散。洛希极限的计算公式A=kρ'ρ13R,其中k为常数,ρ'、ρ分别为行星和卫星的密度,R为行星的半径。若一颗行星的半径为R0,该行星与近地卫星的周期之比为a,则行星与该卫星间的洛希极限为( )
A.ka-23R0B.ka23R0
C.ka32R0D.ka-32R0
答案:A
解析:对于质量为m的近地卫星,由万有引力提供向心力有Gm行mR2=m4π2T2R,由密度公式ρ=m行V=m行4πR33,联立解得ρ=3πGT2,再由A=kρ'ρ13R,解得A=ka-23R0,选项A正确。
5.(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为双星,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L,质量分别为m1和m2,可以想象如果不停地将m2星球上的资源源源不断运回m1星球,导致m2减少,m1增加。假设在一定时间内两星球的总质量不变,两星球的间距也不变。则下列说法正确的是( )
A.两星球间的万有引力不变
B.两星球圆周运动的周期不变
C.m2做匀速圆周运动的轨道半径变大
D.m1做匀速圆周运动的轨道半径变大
答案:BC
解析:两颗星球做匀速圆周运动的向心力大小相等,绕共同的圆心O做匀速圆周运动,周期相等,设m1的半径为r1,m2的半径为r2,根据万有引力提供向心力可得Gm1m2L2=m14π2T2r1,Gm1m2L2=m24π2T2r2,又r1+r2=L,联立可得r1=m2m1+m2L,r2=m1m1+m2L, T=2πL3G(m1+m2),由于m2减少,m1增加,m1m2乘积发生变化,两星球间的万有引力发生变化;两星球圆周运动的周期不变;m2做匀速圆周运动的轨道半径变大,m1做匀速圆周运动的轨道半径变小,故选项B、C正确。
6.假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上,其中两颗星体围绕中央的星体转动,假设两颗星体做圆周运动的半径为R,每颗星体的质量均为m,引力常量为G。忽略其他星体对该三颗星体的作用,则做圆周运动的星体的线速度大小为( )
A.Gm4RB.5GmR
C.5Gm4RD.GmR
答案:C
解析:直线三星系统中星体做圆周运动,万有引力提供向心力,根据星体受到另外两颗星体的引力作用,可得GmmR2+Gmm(2R)2=mv2R,星体做圆周运动的线速度大小为v=5Gm4R,故选项C正确。
7.由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0,在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法不正确的是( )
A.质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0
B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C.地球的半径为(g0-g)T24π2
D.地球的密度为3g0πGT2(g0-g)
答案:B
解析:地球表面两极处的重力加速度大小为g0,质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0,选项A正确;质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力的大小等于其在地球两极受到的万有引力,大小为mg0,选项B错误;设地球半径为R,在地球赤道上随地球自转物体的质量为m,由牛顿第二定律可得mg0-mg=m2πT2R,R=(g0-g)T24π2,选项C正确;设地球质量为m地,地球半径为R,质量为m的物体在地球表面两极处受到的地球引力等于其重力,可得Gm地mR2=mg0,m地=g0R2G,又V=43πR3,则有ρ=m地V=3g04πGR=3g0πGT2(g0-g),选项D正确。
8.某电影中航天员驾驶月球探测车飞跃鸿沟的场景让人印象深刻。假如鸿沟的高度差为h,宽度为x,已知地球半径是月球半径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍,地球表面重力加速度大小为g0,要保证飞跃成功,月球探测车的水平飞出的最小速度应该为( )
A.xg0P22ℎQB.xg0P2ℎQ2
C.x2g0QℎP2D.x2g0Q2ℎP
答案:A
解析:在地球表面,质量为m的物体所受重力满足mg0=Gm地mR2,可得地球表面的重力加速度满足g0=Gm地R2,同理月球表面的重力加速度g月=Gm月R月2,则g月g地=Gm月R月2Gm地R地2=m月m地×R地2R月2=P2Q,解得g月=P2Qg0,由h=12gt2,可得月球探测车从飞出到落到月球表面上的时间为t=2ℎQP2g0,故月球探测车水平飞出的最小速度应该为v=xt=xP2g02ℎQ,选项A正确。
9.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。则( )
A.每颗星体做圆周运动的线速度为GmR
B.每颗星体做圆周运动的角速度为3GmR
C.每颗星体做圆周运动的周期为2πR33Gm
D.每颗星体做圆周运动的加速度与它们的质量无关
答案:AC
解析:任意两颗星体之间的万有引力为F=Gm2R2,每一颗星体受到的合力为F1=2Fcs 30°=3F=3Gm2R2,由几何关系知,每颗星体做匀速圆周运动的半径为r=33R,根据牛顿第二定律可得3Gm2R2=mv2r,解得v=GmR,选项A正确;根据3Gm2R2=m4π2T2r,解得T=2πR33Gm,选项C正确;每颗星体做圆周运动的角速度为ω=2πT=3GmR3,选项B错误;根据3Gm2R2=ma,可得a=3GmR2,加速度与它们的质量有关,选项D错误。
10.1798年,卡文迪什改进了约翰米歇尔所设计的扭秤,对万有引力常量进行了精确测量,并通过测量的值算出了地球的质量,被称为“称量地球第一人”。已知地球半径为R,引力常量为G。
(1)若已知地球表面的重力加速度g,不考虑地球的自转,请推导地球的质量的表达式。
(2)若已知某近地卫星绕地球转动的周期为T,其圆轨道的半径可认为与地球半径相等,半径为r的球体的体积为43πr3,求地球的平均密度。
答案:(1)m地=gR2G (2)3πGT2
解析:(1)在地球表面可认为物体所受的重力等于地球对物体的引力,即mg=Gm地mR2,
可得m地=gR2G。
(2)近地卫星绕地球转动时,Gm地mR2=mR2πT2,
地球的平均密度ρ=m地V,
解得ρ=3πGT2。