苏科版（2024）九年级下册用二次函数解决问题单元测试课时作业

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A．y＝ax2+bx+cB．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝5x2D．y=2x2
2．（4分）抛物线y＝x2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣4）D．（﹣4，0）
3．（4分）已知二次函数y＝□x2+x+1的图象开口向下，则“□”可能是（ ）
A．﹣1B．0C．12D．2
4．（4分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴为直线x＝1
B．图象顶点的坐标为（﹣1，2）
C．图象与x轴有两个交点
D．图象与y轴交点坐标为（0，2）
5．（4分）二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点B．有2个交点C．无交点D．无法确定
6．（4分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有A（4，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y3＞y2B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
7．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣5B．y＝2（x﹣1）2+5
C．y＝2（x+1）2﹣5D．y＝2（x+1）2+5
8．（4分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（ ）
A．6元B．7元C．8元D．9元
9．（4分）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2﹣2x﹣n＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的解为x3，x4（x3＜x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x4＜x2＜x1＜x3
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于C（0，﹣4），点M，N分别为△ABC的外心和内心，下列结论：
①∠BMC＝90°，∠BNC＝112.5°；
②M点坐标是（﹣1，﹣1），AM=10；
③D在y轴正半轴上，且△ABD是直角三角形，则D点坐标为（0，2）；
④若P，Q是线段AC上的两点（P，Q不与AC重合），且∠POQ＝45°，则AP+CQ＝PQ．
其中正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣6）2﹣8的最大值为 ．
2．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+5的对称轴是直线 ．
3．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＜0），经过（﹣1，t），（3，t）两点．下列结论：①b＝﹣2a；②抛物线与x轴一定有两个交点；③不等式ax2+bx+c≥t的解集为﹣1≤x≤3；④若t＜﹣2a，则y＜﹣6a恒成立．其中正确的结论（序号）是 ．
4．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m），则b的值为 ．
5．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝2，E是边AD上的一个定点，且AE＜ED，作∠MEN＝90°，分别交边AB、BC于点M、N，连接MN．当MN取最大值5时，则AE的长为 ．
6．（4分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中若存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称5|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=−12x2+13x+3“开口大小”为 ．
7．（4分）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），则关于x的不等式ax2﹣bx+c＜﹣mx+n的解集为 ．
8．（4分）用16m长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积y（m2）与矩形的长x（m）之间的函数关系式．
解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为xm，所以宽为 m．
因为矩形的面积为ym2，
所以y与x之间的函数关系式为y＝ ，整理为y＝ ．
三．解答题（共5小题，满分48分）
1．（9分）根据下列条件求二次函数的解析式
（1）已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点．
（2）已知二次函数的顶点坐标是（3，2），且图象与x轴的两个交点间距离是4．
2．（9分）如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的解析式是 ，顶点坐标为 ；
（2）阴影部分的面积 ；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向 ，解析式为 ．
3．（10分）某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．
（I）分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
4．（10分）西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点C（抛物线的顶点）离地面OB的距离为7m，OA＝4m，OD＝3m，隧道左右两侧底部水平距离OB为7m，EB⊥OB．
（1）求点E距地面OB的高度；
（2）在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过6m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号）
5．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OC＝4，2b﹣c＝﹣1，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接PC，PB，当△PCB的面积最大时，求出此时点P的坐标和△PCB的最大面积．
（3）如图3，连接PB，使∠PBC＝∠CBO，点Q在x轴上且CQ∥PB，求点P坐标．
第5章 二次函数
一．选择题
1．【答案】C
【解答】解：A、当a＝0时，原函数化为：y＝bx+c，不是二次函数，故不符合题意；
B、y＝（x﹣1）2﹣x2＝x2﹣2x+1﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故不符合题意；
C、y＝5x2是二次函数，故符合题意；
D、y=2x2的自变量在分母上，不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
2．【答案】C
【解答】解：令x＝0，y＝0﹣4＝﹣4，
∴交点坐标为（0，﹣4）．
故选：C．
3．【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的开口方向由a决定，当a＜0时开口向下，
∴□＜0，
故选：A．
4．【答案】A
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
当x＝0时，y＝（0﹣1）2+2＝3，图象与y轴交点坐标为（0，3），
故选：A．
5．【答案】B
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c，
∵c＞0，
∴9+8c＞0，
∴Δ＞0，
∴二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
6．【答案】A
【解答】解：已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有A（4，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）三个点，
因为二次函数二次项系数a＝3，
所以二次函数图象的开口方向朝上，且距离对称轴越近函数值就越小，距离对称轴距离越远函数值就越大，
又因为二次函数y＝3（x﹣1）2+k，
所以二次函数对称轴是直线x＝1，
因为A（4，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）三个点到对称轴距离从小到大依次为点：B，C，A，
所以三个点的纵坐标的关系为：y1＞y3＞y2．
故选：A．
7．【答案】A
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移1个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为（1，﹣5），所以平移得到的抛物线的表达式为y＝2（x﹣1）2﹣5．
故选：A．
8．【答案】C
【解答】解：由题意，设日均毛利润为W元，销售价格定为每瓶x元，则利润为（x﹣4）元，由题意，得
W＝（x﹣4）[400﹣80（x﹣7）]，
＝﹣80x2+1280x﹣3840
＝﹣80（x﹣8）2+1280．
∴a＝﹣80＜0，
∴当x＝8时，W最大＝1280．
答：销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元．
故选：C．
9．【答案】A
【解答】解：如图所示，设直线y＝n与抛物线y＝x2﹣2x交于A、B两点，直线y＝m与抛物线交于C、D两点，
∵m＞n＞0，若关于方程的解为x1，x2（x1＜x2），
关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的解为x3，x4（x3＜x4），
∴x1，x2，x3，x4分别是A、B、C、D的横坐标，
∴x3＜x1＜x2＜x4，
故选：A．
10．【答案】B
【解答】解：（1）如图：
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝45°，
∵M为△ABC的外心，
∴∠BMC＝2∠BAC＝90°．
∵N为△ABC的内心，
∴∠ABN＝∠CBN，∠ACN＝∠BCN，
∴∠BNC＝180°﹣∠CBN﹣∠NCB＝180°−12∠ABC−12∠ACB＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝112.5°．
故①正确．
（2）过M作MD⊥x轴，
∵M为△ABC外心，
∴AD＝DB=12AB=52，
∴OD＝DB﹣OB=52−1=32，
故M横坐标32，
故②错误．
（3）如图：取AB中点H．
∴H（−32，0），
∴HD＝HB＝HA=52，
∴OD=HD2−HO2=(52)2−(32)2=2，
∴D（0，2），
故③正确．
（4）把△OCQ旋转90°至△OAM，连MP．
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5＝45°，OM＝OQ．
∵∠POQ＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠2+∠3＝45°．
由OM＝OQ，∠2+∠3＝∠POQ＝45°，OP＝OP，
得△OMP≌△OQP（SAS），
∴MP＝PQ，
∵∠4+∠6＝90°，
∴AP2+AM2＝PM2，
故④错误．
故选：B．
二．填空题
1．【答案】﹣8．
【解答】解：y＝﹣（x﹣6）2﹣8顶点坐标为：（6，﹣8），开口向下，
∴最大值为：﹣8；
故答案为：﹣8．
2．【答案】x＝3，
【解答】解：根据二次函数对称轴为直线x=−b2a可知：
二次函数y＝x2﹣6x+5的对称轴是直线x=−b2a=−−62×1=3．
故答案为：x＝3．
3．【答案】①③④．
【解答】解：①由题目得抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，t）和（3，t），将两点代入抛物线方程得方程组a−b+c=t9a+3b+c=t，两个方程相减推出b＝﹣2a，故①正确；
②Δ＝b2﹣4ac＝4a2﹣4ac，条件不足无法判断c的大小，因此无法判断抛物线与x轴的交点，故②错误；
③∵a＜0，
∴抛物线的开口朝下，
又∵抛物线与直线y＝t的交点为（﹣1，t）和（3，t），
∴当﹣1≤x≤3时，抛物线在直线y＝t的上方
即不等式ax2+bx+c≥t的解集为﹣1≤x≤3，故③正确；
④∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
又∵抛物线经过（﹣1，t）
∴a+2a+c＝t，c＝t﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax+t﹣3a，
∵a＜0，对称轴为直线x=−b2a=1，
∴当x＝1时，y为最大值，y＝t﹣4a，
当t＜﹣2a时，y＝t﹣4a＜﹣2a﹣4a，即y＜﹣6a，故④正确；
故答案为①③④．
4．【答案】2．
【解答】解：因为抛物线经过点（﹣3，m）和（5，m），
所以这两点关于抛物线的对称轴对称，
所以抛物线的对称轴为直线x=−3+52=1，
则−b2×(−1)=1，
解得b＝2．
故答案为：2．
5．【答案】1．
【解答】解：如图，
作NF⊥AD于F，
∴∠NFE＝∠NFD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDFN是矩形，
∴FN＝CD＝2，BN＝AF，
∵∠MEN＝90°，
∴∠AEM+∠FEN＝90°，
∴EN=FNsin∠FEN=2sin(90°−∠AEM)，
∴∠AEM越大，90°﹣∠AEM越小，EN越大，
∵∠ABC+∠MEN＝180°，
∴E、M、B、N共圆，
∴∠ENM＝∠ABE，
∴MN=ENcs∠ENM=ENcs∠ABE，
∴∠AEM越大，EN越大，MN越大，
∴当点M在B处时，MN最大，
如图2，
∵四边形四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠A＝∠BEN＝90°，
∴△ABE∽△ENB，
∴AEBE=BEMN，
∴BE2＝5AE，
∵BE2﹣AE2＝AB2得，
5AE﹣AE2＝4，
∴AE＝1，
故答案为：1．
6．【答案】10．
【解答】解：二次函数a=y−k(x−m)2，
根据抛物线的“开口大小”的定义可知y﹣k＝a（x﹣m）2中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则a=y′−k(x′−m)2=1x′−m，
y=−12x2+13x+3
=−12(x2−23x)+3
=−12(x2−23x+19−19)+3
=−12(x−13)2+118+3
=−12(x−13)2+5518，
∴y=−12x2+13x+3中存在一点P（x′，y′），有−12=1x′−m，
解得x′﹣m＝﹣2，则5|x′﹣m|＝5×|﹣2|＝5×2＝10，
∴“开口大小”为10，
故答案为：10．
7．【答案】﹣8＜x＜2．
【解答】解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象关于y轴对称，一次函数y2＝mx+n（m≠0）与一次函数y＝﹣mx+n（m≠0）的图象关于y轴对称，
∴二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）与一次函数y＝﹣mx+n（m≠0）的图象交点为（2，4），（﹣8，2），
观察函数图象知，当﹣8＜x＜2时，直线y＝﹣mx+n（m≠0）在抛物线y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的上方，即ax2﹣bx+c＜﹣mx+n，
故答案为：﹣8＜x＜2．
8．【答案】（8﹣x），x（8﹣x），﹣x2+8x．
【解答】解：∵用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，长方形的长x（m），
∴长方形的宽为：（8﹣x）m，
∴y与x之间的函数关系式为y＝x（8﹣x），
整理为y＝﹣x2+8x，
故答案为：（8﹣x），x（8﹣x），﹣x2+8x．
三．解答题
1．【答案】（1）y=32x2−32x+1；
（2）y=−12(x−3)2+2．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴c=14a+2b+c=49a+3b+c=10，
解得a=32b=−32c=1，
∴y=32x2−32x+1；
（2）设y＝a（x﹣3）2+2，
∵顶点为（3，2），且二次函数的图象与x轴的两交点间的距离为4，
∴图象与x轴交点的横坐标到对称轴直线x＝3的距离为2．
∴图象与x轴的交点分别为（1，0），（5，0），
将点（1，0）代入y＝a（x﹣3）2+2，得0＝a（1﹣3）2+2，
解得a=−12，
∴y=−12(x−3)2+2．
2．【答案】（1）y2=−(x−1)2+2，（1，2）；
（2）2；
（3）向上，y3=(x+1)2−2．
【解答】解：（1）∵抛物线y1=−x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，
∴抛物线y2的解析式是y2=−(x−1)2+2，顶点坐标为（1，2）．
故答案为：y2=−(x−1)2+2，（1，2）；
（2）阴影部分的面积是：1×2＝2．
故答案为：2；
（3）∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴抛物线y3的解析式为y3=(x+1)2−2，开口方向向上．
故答案为：向上，y3=(x+1)2−2．
3．【答案】（Ⅰ）35﹣x，50+2x；
（Ⅱ）y＝﹣2（x﹣5）2+1800，每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得35﹣x，50+2x，；
（Ⅱ）根据题意，每天的销售额y＝（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35）
配方得y＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵a＜0，
∴当x＝5时，y取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
4．【答案】（1）点E距地面OB的高度为53m；
（2）两排灯的水平距离最小是23米．
【解答】解：（1）根据题意得：A（0，4），顶点C（3，7），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+7，
把B（0，4）代入得4＝a（0﹣3）2+7，
解得a=−13，
∴该抛物线的函数关系式为y=−13(x−3)2+7，
令x＝7，y=−13×(7−3)2+7=53，
∴点E距地面OB的高度为53m；
（2）∵灯离地面的高度不超过6m，
∴令y＝6，则−13(x−3)2+7=6，
解得x1=3+3，x2=3−3，
∵3+3−(3−3)=23，
如果灯离地面的高度不超过6m，那么两排灯的水平距离最小是23米．
5．【答案】（1）抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4；
（2）S△PCB最大为16，此时P的坐标为（4，6）；
（3）P的坐标为（103，569）．
【解答】解：（1）∵OC＝4，
∴C（0，4），
把C（0，4）代入y=−14x2+bx+c得：c＝4，
∵2b﹣c＝﹣1，
∴2b﹣4＝﹣1，
解得b=32，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4；
（2）过P作PK∥x轴交BC于K，如图：
在y=−14x2+32x+4中，令y＝0得0=−14x2+32x+4，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
由B（8，0），C（0，4）得直线BC解析式为y=−12x+4，
设P（m，−14m2+32m+4），则K（m，−12m+4），
∴PK=−14m2+32m+4﹣（−12m+4）=−14m2+2m，
∴S△PCB=12PK•|xB﹣xC|=12（−14m2+2m）×8＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，
∵﹣1＜0，
∴当m＝4时，S△PCB最大为16，
此时P的坐标为（4，6）；
（3）∵CQ∥PB，
∴∠PBC＝∠BCQ，
∵∠PBC＝∠CBO，
∴∠BCQ＝∠CBO，
∴CQ＝BQ，
设Q（t，0），
∵B（8，0），C（0，4），
∴t2+16＝（t﹣8）2，
解得t＝3，
∴Q（3，0），
由C（0，4），Q（3，0）得直线CQ解析式为y=−43x+4，
由CQ∥PB设直线PB解析式为y=−43x+n，
把B（8，0）代入得：0=−323+n，
∴n=323，
∴直线PB解析式为y=−43x+323，
联立y=−43x+323y=−14x2+32x+4，
解得x=8y=0或x=103y=569，
∴P的坐标为（103，569）．
原价
每件降价1元
每件降价2元
…
每件降价x元
每件售价（元）
35
34
33
…

每天售量（件）
50
52
54
…