2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知，，则（ ）
A．（5，1，4）B．（3，9，12）C．（﹣1，1，4）D．（﹣1，9，4）
2．（5分）双曲线的焦距等于（ ）
A．1B．2C．3D．6
3．（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝0
4．（5分）在等比数列{an}中，a1+a2＝2，a5+a6＝4，则a9+a10＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（5分）如果圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）关于直线y＝x对称，则有（ ）
A．D+E＝0B．D＝EC．D＝FD．E＝F
6．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知数列{an}满足an+1﹣an＝2n﹣11，且a1＝10，则an的最小值是（ ）
A．﹣15B．﹣14C．﹣11D．﹣6
8．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若345，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（2，3）
B．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则必有S7＞S8
D．若S6＞S7，则必有S5＞S6
（多选）11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（ ）
A．AG⊥平面PBD
B．直线FG和直线AB所成的角为
C．当点T在平面PBD内，且TA+TG＝2时，点T的轨迹为一个椭圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥P﹣ABCD表面交线的周长为2
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）等差数列{an}中a2＝2，a4＝8，则数列{an}的前5项和S5＝ ．
14．（5分）若空间向量共面，则实数m＝ ．
15．（5分）写出与两圆（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0均相切的一条直线方程为 ．
16．（5分）椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则C的蒙日圆方程为 ；R的面积的最大值为 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5＝0，
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．
18．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，且an，Sn，成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（1）求证：BM⊥AB1；
（2）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F分别为棱PD，PB的中点．
（1）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前50项和S50．
22．（12分）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知，，则（ ）
A．（5，1，4）B．（3，9，12）C．（﹣1，1，4）D．（﹣1，9，4）
【解答】解：根据题意可得．
故选：D．
2．（5分）双曲线的焦距等于（ ）
A．1B．2C．3D．6
【解答】解：由双曲线可知：a2＝5，b2＝4，
∴c2＝a2+b2＝9，解得c＝3，
∴双曲线的焦距2c＝6，
故选：D．
3．（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝0
【解答】解：设过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是2x﹣4y+C＝0（C≠7），
将点A的坐标代入直线的方程2x﹣4y+C＝0得2×2﹣4×3+C＝0，解得C＝8，
故所求直线方程为2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0．
故选：A．
4．（5分）在等比数列{an}中，a1+a2＝2，a5+a6＝4，则a9+a10＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：设等比数列的公比为q，，且，
则a9+a10＝2（a5+a6）＝2×4＝8．
故选：D．
5．（5分）如果圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）关于直线y＝x对称，则有（ ）
A．D+E＝0B．D＝EC．D＝FD．E＝F
【解答】解：由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有，即D＝E．
故选：B．
6．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AB＝AD＝1，PA＝1，，
∴[（）]，
∵AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
∴（）2
（）
（1+1+1）1×11×1
，
∴||．
故选：D．
7．（5分）已知数列{an}满足an+1﹣an＝2n﹣11，且a1＝10，则an的最小值是（ ）
A．﹣15B．﹣14C．﹣11D．﹣6
【解答】解：∵an+1﹣an＝2n﹣11，
∴当n≤5时，an+1﹣an＜0，当n＞5时，an+1﹣an＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＜a7＜a8＜⋅⋅⋅，显然an的最小值是a6，
又an+1﹣an＝2n﹣11，
∴a6＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）＝10+（﹣9）+（﹣7）+（﹣5）+（﹣3）+（﹣1）＝﹣15，即an的最小值是﹣15，
故选：A．
8．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若345，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为345，所以，如图，
在BF2上取一点M，使得|BM|：|MF2|＝5：3，连接IM，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以：：S△IBA＝3：4：5，
所以|AF2|：|F2B|：|AB|＝3：4：5，不妨设|AF2|＝3，则|F2B|＝4，|AB|＝5，
则|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝6，
所以|AF1|＝3，|BF1|＝2，设|F1F2|＝x，
由余弦定理得cs∠ABF2，
即，解得x，
解得e．
故选：B．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（2，3）
B．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1
【解答】解：对于A，直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（﹣2，3），故A错误，
对于B，当x＝0时，y＝﹣1，
直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1，故B正确，
对于C，直线的斜率为，其倾斜角为60°，故C错误，
对于D，点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则必有S7＞S8
D．若S6＞S7，则必有S5＞S6
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，则a7+a8＝0，S140，A正确；
对于B，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；
对于C，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正确；
对于D，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误；
故选：ABC．
（多选）11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（ ）
A．AG⊥平面PBD
B．直线FG和直线AB所成的角为
C．当点T在平面PBD内，且TA+TG＝2时，点T的轨迹为一个椭圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥P﹣ABCD表面交线的周长为2
【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知AG位于其体对角线上，
则AG⊥平面PBD，故A正确；
设PB中点为H，则FG∥AH，且，故B正确；
∵TA+TG＝2，∴T在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，
又平面PBD与其长轴垂直，∴截面为圆，故C错误；
设平面EFG与PB，PD交于点M，N，连接PE，EC，PF，FC，EM，MG，GN，NF，
∵PA＝BC，AE＝BE，∠PAE＝∠CBE，∴△PAE≌△CBE，
∴PE＝CE，而PG＝GC，故EG⊥PC，同理FG⊥PC，
而FG∩EG＝G，∴PC⊥平面EFG，而EM⊂平面EFG，则PC⊥EM，
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
∵EM⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，则EM⊥PB，
∴BM＝EMBE，同理，FN＝DN，
又PG，PM＝2，则GM＝GN，
而EFBD，
∴交线长为EF+EM+MG+GN+FN＝2，故D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，
由圆和抛物线的对称性可知点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，
所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F（1，0），
设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以|MN||y1﹣y2|4（1+m2），
直线l的斜率为，所以m，此时|MN|＝16，所以A错误；
1，
则|MF|+2|NF|＝（|MF|+2|NF|）（）＝3，
当且仅当|MF|＝1，|NF|＝1时等号成立，所以B正确；
如图，过M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，
取MF中点为D，过D作y轴的垂线，垂足为D1，
则MM1∥OF，DD1为梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，
所以|DD1|，
所以点（0，）为直径的圆与y轴相切，
所以点（0，）为圆与y轴的切点，所以D点的纵坐标为，
又D为MF中点，所以M点纵坐标为，
又点M在抛物线上，所以M点横坐标为，所以C正确；
过G作DH垂直于准线，垂足为H，
所以△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|＝|MG|+|MM′||GH|3，
当且仅当点M的坐标为（1，2）时取等号，所以D正确．
故答案为：BCD．
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）等差数列{an}中a2＝2，a4＝8，则数列{an}的前5项和S5＝ 25 ．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝2，a4＝8可得：，解得，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣4，
所以a5＝3×5﹣4＝11，
所以．
故答案为：25．
14．（5分）若空间向量共面，则实数m＝ 1 ．
【解答】解：由题可知，，故（1，2，m）＝λ（1，1，1）+μ（1，0，1），
有，解得．
故答案为：1．
15．（5分）写出与两圆（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0均相切的一条直线方程为 y＝1 ．
【解答】解：由（x﹣1）2+y2＝1，圆心为（1，0），半径为1，
由（x﹣5）2+（y+3）2＝16，圆心为（5，﹣3），半径为4，
所以圆心距为，故两圆外切，如图，
公切线斜率存在，设为y＝kx+m，
所以，
所以|5k+3+m|＝4|k+m|，
所以5k+3+m＝4k+4m或5k+3+m＝﹣4k﹣4m，
所以k＝3m﹣3或k，
代入|k+m|，解得或或，
所以公切线方程有y＝1或4x﹣3y﹣9＝0或24x+7y+1＝0．
故答案为：y＝1（答案不唯一）
16．（5分）椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则C的蒙日圆方程为 x2+y2＝9 ；R的面积的最大值为 18 ．
【解答】解：设两条互相垂直的切线的交点为P（x0，y0），
当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（±a，b），或（±a，﹣b）．
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是（x0，y0）（x0≠±a，且y0≠±b），
所以可设曲线C的过点P的切线方程是y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0）．
由，得，
由其判别式的值为0，得，
因为kPA，kPB（kPA，kPB为过P点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于k的一元二次方程的两个根，
所以，
由此，得，
即C的蒙日圆方程为：x2+y2＝9；
因为蒙日圆为长方形的外接圆，设r＝|OA|＝3，∠AOB＝θ，
则矩形面积公式为，显然sinθ＝1，
即矩形四条边都相等，为正方形时，Smax＝18．
故答案为：x2+y2＝9；18．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5＝0，
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．
【解答】解：（1）将x2+y2﹣4x﹣5＝0配方得：（x﹣2）2+y2＝9
∴圆心坐标为C（2.0），半经为r＝3．…（6分）
（2）设直线AB的斜率为k．
由圆的知识可知：CP⊥AB，∴kCP•k＝﹣1
又Kcp1，∴k＝﹣1．
∴直线AB的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3）
即：x+y﹣4＝0…（12分）
18．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，且an，Sn，成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
【解答】解：（1）由题意n≥1，n∈N*时，an2Sn，令n＝1，得an＝1，
所以n≥2，n∈N*时，an﹣1+an﹣12＝2Sn﹣1，
两式相减得：n≥2，n∈N*时，an（an﹣1+an﹣12）＝2an，
∴an﹣12＝an+an﹣1，∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n；
（2）由（1）得（），
∴T20＝（b1+b3+⋯b19）+（b2+b4+⋯b20）＝（1+3+5+⋯+19）[（）+（⋯）
（）．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（1）求证：BM⊥AB1；
（2）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．
【解答】（1）证明：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
则A（0，0，0），A1（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，1），M（0，a，1）（a∈[0，1]），
，因为，
所以，即BM⊥AB1，
（2）解：设平面BCM的法向量为，，
所以有，取x＝1，则（1，1，1﹣a），
因为直线AB1与平面BCM所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点A1到平面BCM的距离为d．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F分别为棱PD，PB的中点．
（1）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）取AD的中点O，连接OP，OB，
因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，
所以OD∥BC，OD＝BC，
所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥CD，
因为CD⊥平面PAD，所以OB⊥平面PAD，
又OA⊂平面PAD，OP⊂平面PAD，
所以OB⊥OA，OB⊥OP，
又在等边△PAD中，O是AD的中点，所以OP⊥OA，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，
设平面AEF的法向量，则，则可取，
因为CD⊥平面PAD，
所以即为平面PAD的一个法向量，
设平面AEF与平面PAD所成的锐二面角为θ，
则，
即平面AEF与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为；
（2）设点G满足，
所以，
则，
因为DG∥平面AEF，
所以，
解得，
即棱PC上存在点G，使得DG∥平面AEF，且．
21．（12分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前50项和S50．
【解答】解：（1）由于数列{an}是公比大于1的等比数列，
设首项为a1，公比为q，
依题意有，
解得：a1＝2，q＝2或（舍）．
所以．
（2）由题意，2n≤m，即n≤lg2m，
当m＝1时，b1＝0，
当m＝2，3时，b2＝b3＝1⋯
当m∈[2k，2k+1﹣1）时，bm＝k，共有2k个，k∈N*
则S50＝b1+（b2+b3）+（b4+b5+⋯+b7）+⋯+（b32+b33+⋯+b50）＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×19＝193．
22．（12分）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵，
∴，∵，
∴，∵a2＝c2+1，∴，
∴椭圆方程为：．
（2）动直线l的方程为：，
由
得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则.．
由对称性可设存在定点M（0，m）满足题设，
则，

⇒6（m2﹣1）k2+（3m2+2m﹣5）＝0，
由题意知上式对∀k∈R成立，∴m2﹣1＝0且3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1．
∴存在定点M，使得以AB为直径的适恒过这个点，且点M的坐标为（0，1）．