2025-2026学年黑龙江省绥化市高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年黑龙江省绥化市高一（上）期中数学试卷（含解析），共16页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合，0，1，2，，，则（ ）
A．，1，B．，1，C．，1，2，D．，0，1，2，
2．命题，的否定是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．下列哪一组函数是同一函数（ ）
A．
B．，
C．，
D．，
4．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为（ ）
A．，，B．，，C．，D．，，
6．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．
7．已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，，B．，
C．，，D．
8．已知函数是定义在，，上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或C．或D．且
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题为假命题的是
A．若，则
B．若且，则
C．若不等式的解集为，则不等式的解集为或
D．不等式对一切实数恒成立，则
（多选）10．（6分）下列说法中正确的有
A．已知在上是增函数，若，则（a）（b）
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若函数的值域为，，则实数的取值范围是，
D．关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是
（多选）11．（6分）已知定义在，上的函数满足，，，且当，时，，则下列结论正确的是
A．（4）
B．在，上单调递增
C．若方程的实数根从小到大依次记为，，，，且，则实数的取值范围为
D．若方程在，上恰有4个实数根，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分。
12．已知幂函数的图象关于轴对称，则 ．
13．已知，其中，为常数，若，则（3） ．
14．已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则的解析式为 ，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知，，全集．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（15分）设：实数满足，：实数满足．
（1）若，求使得，都为真命题的的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．（15分）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本．白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求．已知生产线每年需要投入的固定成本为160万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨．
（1）要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润；
（2）要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润．
18．（17分）材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减．
阅读以上材料：解决下列问题：
（1）已知，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．
19．（17分）函数满足：对任意实数，，有成立；函数，（2），且当时，．
（Ⅰ）求并证明函数为奇函数；
（Ⅱ）证明：函数在上单调递增；
（Ⅲ）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合，0，1，2，，，则（ ）
A．，1，B．，1，C．，1，2，D．，0，1，2，
解：，0，1，2，，，
由交集定义得：
，1，2，．
故选：．
2．命题，的否定是（ ）
A．，B．，C．，D．，
解：根据全称量词命题的否定可知，命题，的否定是：，．
故选：．
3．下列哪一组函数是同一函数（ ）
A．
B．，
C．，
D．，
解：，而，两函数的对应关系不同，不是同一函数，故错误；
的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数，故错误；
和的定义域和对应关系都相同，是同一函数，故正确；
对于函数，令，解得，故的定义域为，，
对于函数，令，解得或，所以的定义域为，，，
两函数的定义域不一致，不是同一函数，故错误．
故选：．
4．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
解：不等式，等价于，
解得，
故不等式的解集为．
故选：．
5．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为（ ）
A．，，B．，，C．，D．，，
解：函数的定义域为，，
要使有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为，，．
故选：．
6．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．
解：要使函数是上的增函数，
则，解得．
实数的取值范围是，，
故选：．
7．已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，，B．，
C．，，D．
解：由题设，，
则，
当且仅当，即，时取等号，此时的最小值为2，
要使恒成立，只需，解得，
所以的范围为．
故选：．
8．已知函数是定义在，，上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或C．或D．且
解：对于，且，不等式恒成立，
可得在上单调递增，
又是定义在，，上的奇函数，且，
则在上单调递增且（1），
解不等式，可得或，
解得或．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题为假命题的是
A．若，则
B．若且，则
C．若不等式的解集为，则不等式的解集为或
D．不等式对一切实数恒成立，则
解：对于：若，当，时满足，但是，故错误；
对于：若且，则，，，
所以，
即，不等式的两边同时除以，可得，故正确；
对于：若不等式的解集为，
则关于的方程的解为，，且，
所以，解得，
则不等式，即，
由，则不等式变为，
即，解得或，
所以不等式的解集为或，故正确；
对于：不等式对一切实数恒成立，
①当时，须满足，解得；
②当时，原不等式可化为，恒成立；
综上①②可知，故错误．
故选：．
（多选）10．（6分）下列说法中正确的有
A．已知在上是增函数，若，则（a）（b）
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若函数的值域为，，则实数的取值范围是，
D．关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是
解：对于，由，得，，由在上是增函数，
得（a），（b），因此（a）（b），故正确；
对于，不能推出，例如，但，充分性不成立；
也不能推出，例如，而，必要性不成立，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；
对于，当时，，不符，
当时，则有，解得，
故实数的取值范围是，，故正确；
对于，若方程有两个正实数根，则，解得，故错误．
故选：．
（多选）11．（6分）已知定义在，上的函数满足，，，且当，时，，则下列结论正确的是
A．（4）
B．在，上单调递增
C．若方程的实数根从小到大依次记为，，，，且，则实数的取值范围为
D．若方程在，上恰有4个实数根，则实数的取值范围为
解：对于选项，由于，，，因此（4）（2）（1），
当，时，函数，那么（1），
所以（4），因此选项正确；
对于选项，根据知，（2），因此当，时，函数，
因此由，，那么，故，
其开口向下，且对称轴为，因此函数在，上单调递减，因此选项错误；
对于选项，的实数根可看作与图象交点的横坐标，
根据题可作出的图象如图所示，
若，那么，是与在对称轴为对应区间上交点的横坐标，
因为，（6）（3），所以，因此选项正确；
对于选项，同分析，若在，上有4个实数根，
那么函数与的图象有4个交点，由图知，则的取值范围为，因此选项正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分。
12．已知幂函数的图象关于轴对称，则 ．
解：因为是幂函数，所以，解得或，
又的图象关于轴对称，所以，即．
故答案为：．
13．已知，其中，为常数，若，则（3） 2 ．
解：，
，
，
，（3）．
故答案为：2．
14．已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则的解析式为 ，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
解：因为是奇函数，是偶函数，则，，
因为①，
所以，
所以②，
联立①②得，，
由时，等价于，
则，
记，则，
即在区间上为减函数．
显然，在上单调递减，符合题意；
当时，的对称轴为直线，
当时，，解得；
当时，需使，解得，
故的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知，，全集．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，或，
所以，
或；
（2）由，可得，
当时，有，解得，符合题意；
当时，由，有，解得．
实数的取值范围为，，．
16．（15分）设：实数满足，：实数满足．
（1）若，求使得，都为真命题的的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）时，，解得，即，
由，得，解得，即，
因为，都为真命题，所以，即的取值范围为；
（2）因为，解得，即，
由是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，
又因为，所以的取值范围为．
17．（15分）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本．白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求．已知生产线每年需要投入的固定成本为160万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨．
（1）要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润；
（2）要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润．
解：（1）设年利润为（万元），
则
，
所以当时，取最大值3840，
即年产量200吨时，年利润为3840万元．
（2）药品平均利润为
，
当且仅当，即时取等号，
此时，
即年产量40吨时，药品平均利润最大，年利润为1280万元．
18．（17分）材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减．
阅读以上材料：解决下列问题：
（1）已知，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数，
设，，，那么，，且在，上单调递增，
那么可转化为．
根据材料信息得，当单调递增，即时，单调递增；
当单调递减，即时，单调递减；
因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
根据，得函数的值域为，．
（2）函数，，，（a），，（1），
根据题意，的值域是的值域的子集，
当时，，（1），所以，解得；
当时，（a），，所以，不等式无解；
当时，（a），（1），所以，不等式无解；
当时，（1），，所以，解得．
综上所述，实数的取值范围是，，．
19．（17分）函数满足：对任意实数，，有成立；函数，（2），且当时，．
（Ⅰ）求并证明函数为奇函数；
（Ⅱ）证明：函数在上单调递增；
（Ⅲ）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）因为，
令，则（1）（1）（1），
得（1）；
令，
则（1），
得；
证明：，令，
依题意得，
即，所以是奇函数；
（Ⅱ）证明：由，
得，
即，
，，，
则，，
可得，
即，
所以函数在上单调递增；
（Ⅲ）因为，且函数为奇函数，
则，
可知是偶函数，且（4）（2）（2），
因为，
可得（4），
因为是偶函数，且，
可得，
又因为函数在上单调递增，
可得，
因为，
则，
可知，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：．
可得，解得，且，
所以的取值范围为．