2025-2026学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，1，2，3，，集合，，，，则（ ）
A．B．C．D．，
2．已知，则（7）的值为（ ）
A．B．2C．7D．5
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律．设初始电量为（单位：，经过小时后，剩余电量（单位：满足函数关系（其中为电量衰减系数）．已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ）
（参考数据：，
A．7B．8C．9D．10
8．已知函数若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为
A．B．0C．1D．2
（多选）10．（6分）已知函数图象的一条对称轴方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的对称中心为
B．不等式的解集为
C．函数的单调递增区间为
D．函数在区间上的值域为
（多选）11．（6分）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，时，且，若（3），则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．函数恰有3个零点
D．（2）（3）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 ．
13．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
14．设表示不超过的最大整数，如：，，．已知函数，则 ；集合，的元素个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（15分）已知函数的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）若函数的定义域为，求的取值范围．
17．（15分）已知关于的不等式．
（1）若此不等式的解集为，求、的值：
（2）若，解关于的不等式．
18．（17分）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机．某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为，（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，．
（1）求的函数解析式，并求报价的最小值；
（2）若对任意的，时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围．
19．（17分）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作射线交的延长线于点，使得，记，，且．
（1）若，求；
（2）若，求的值；
（3）已知函数，，记的最小值为，，求的值及此时的最大值．
参考答案
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知全集，1，2，3，，集合，，，，则（ ）
A．B．C．D．，
解：由题可得：，3，，
所以，．
故选：．
2．已知，则（7）的值为（ ）
A．B．2C．7D．5
解：根据题意，，则（7），
则（7）；
故选：．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：由可得，由可得，
时不一定成立，充分性不成立，而时一定成立，必要性成立．
故选：．
4．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：若，则，故正确；
当，时，满足，但，故错误；
当，时，满足，但，故错误；
当，时，满足，但，故错误；
故选：．
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
解：因为，
，且，
，
所以．
故选：．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
解：由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除，；
又当时，，排除；
故选：．
7．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律．设初始电量为（单位：，经过小时后，剩余电量（单位：满足函数关系（其中为电量衰减系数）．已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ）
（参考数据：，
A．7B．8C．9D．10
解：已知初始电量为，经过4小时后，剩余电量（4），
则有即，解得，
若用户希望剩余电量不低于，
则，化简得，
两边同取以10为底的对数即，
由对数运算法则得，
解得，代入数据可得，
则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为9．
故选：．
8．已知函数若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解：由函数可作图如下：
令，且，
令，由△恒成立，
则方程，必存在两个实数根，，由题意可得或，
当，时，由图可知方程存在2个根，方程存在4个根，符合题意，
此时可得，即，可得无解；
当，时，由图可知方程或分别存在3个根，符合题意，
此时可得，即，解得；
当，时，由图可知方程或分别存在3个根，符合题意，
此时可得，即，解得，
当，时，由图可知方程存在4个根，方程存在2个根，符合题意，
此时可得，即，可得无解．
综上所述，．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为
A．B．0C．1D．2
解：由题意可得，“，”为真命题，即△，得．
故选：．
（多选）10．（6分）已知函数图象的一条对称轴方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的对称中心为
B．不等式的解集为
C．函数的单调递增区间为
D．函数在区间上的值域为
解：由题意可得，，，
因为，所以，，
令，，则，正确；
由可得，，
所以，，
解得，，正确；
令，，
则，，错误；
当时，，
则，所以，正确．
故选：．
（多选）11．（6分）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，时，且，若（3），则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．函数恰有3个零点
D．（2）（3）
解：对于选项：因为为偶函数，则，
即，
所以的图象关于直线对称，故正确；
对于选项：因为为奇函数，
则，即，
可知的图象关于点对称，
令可得（2）（2），即（2），
由，令可得（2），
且（3），可得（3）；
由，
令可得（3）（1），即（1）（3），
当，时，，
则，解得，，故错误；
对于选项：由可得，
且，可得，
即，可得，
即，可知函数的一个周期为4，
且当，时，，
据此可得函数的图象，如图所示：
可知函数的零点个数即为函数与的交点个数，
由图可知函数与的交点有3个，
所以函数恰有3个零点，故正确；
对于选项：因为（1），（2）（4），（3），
则（1）（2）（3）（4），且函数的一个周期为4，
所以（1）（2）（3）（1）（2），故错误．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 ．
解：扇形的圆心角为，面积为，
设扇形的半径为，则，得，
故扇形的半径为．
故答案为：．
13．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
解：正实数，满足，
，，，
．
当且仅当时，取等号，
的最小值为．
故答案为：．
14．设表示不超过的最大整数，如：，，．已知函数，则 ；集合，的元素个数为 ．
解：由，可得，
因为，，
所以，，
则；
因为，，
所以，
即函数的周期为，所以只需考虑，的情况，
当时，，，则；
当时，，，
则；
当时，，，
则；
当时，，，
则；
当时，，，
则；
当时，，，则，，
所以；
当时，，，则，，
所以；
当时，，，则，，
所以；
当时，，，则，，
所以，
所以集合，，3，，元素个数为6．
故答案为：；6．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1），，且，
，
故的取值范围为；
（2）集合，，
由，得，
，
故实数的取值范围为．
16．（15分）已知函数的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）若函数的定义域为，求的取值范围．
解：（1）函数的图象过点．
则，即，得，
故．
（2）由．
因为定义域为，所以对任意的恒成立
①时，，符合题意；
②时，则，解得，
故的取值范围为，．
17．（15分）已知关于的不等式．
（1）若此不等式的解集为，求、的值：
（2）若，解关于的不等式．
解：（1）方程的两根为和2，
，，．
（2），原不等式可化为，
，
①当时，原不等式等价于；
②当时，原不等式等价于，解集为；
③当时，原不等式等价于．
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
18．（17分）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机．某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为，（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，．
（1）求的函数解析式，并求报价的最小值；
（2）若对任意的，时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围．
解：（1）某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为，（单位：米），
地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，
设地面长为，则，
所以墙面面积为，
所以，，，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以的函数解析式为，，，最小值为28800；
（2）对任意的，时，方案二都比方案一省钱，
即，时，恒成立，
整理得，要使此不等式对任意，恒成立，
则须小于函数在区间，上的最小值；
因为，，，
设，则，，，
又由对勾函数性质可得在，上单调递增，
所以，
又，所以，
即的取值范围为．
19．（17分）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作射线交的延长线于点，使得，记，，且．
（1）若，求；
（2）若，求的值；
（3）已知函数，，记的最小值为，，求的值及此时的最大值．
解：（1）由，，得，则点，
由，得，得，则，
故，，
所以；
（2）由，，得，则点，
由，得，
则，
因此，
所以；
（3），
设，由，得，
函数化为，该函数的图象对称轴为，
当，即时，此时在单调递增，
故，
故，
由，得，解得，
函数在上单调递增；
当时，，因此的最大值为；
当，即时，此时，
故，
由，得，解得或，（不符合题意，舍去）；
当，即时，此时在单调递减，
故，
故，无解，
综上可得：，的最大值为．