2023-2024学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x∈R，x3+x2+1<0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x3+x2+1⩾0B. ∃x∈R，x3+x2+1>0
C. ∀x∈R，x3+x2+1⩾0D. ∀x∈R，x3+x2+1>0
2.已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {1,2,3}D. (−1,3)
3.“φ=0”是“函数f(x)=tan(x+φ)的图象关于原点中心对称”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知P(m,−2m)(m≠0)是角α终边上一点，则sinα−csαsinα+csα=( )
A. 3B. 13C. −3 55D. − 55
5.已知a=(lg23)2,b=lg292，则( )
A. 2>a>bB. b>2>aC. b>a>2D. a>b>2
6.若α为第二象限角，则 1−2sinαcsαcsα− 1−cs2α=( )
A. 1B. −1C. sinαD. csα
7.有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是( )
A. y=bx+c
B. y=b x+c
C. y=blgax+c
D. y=ax+c
8.对于函数f(x)，g(x)，设x1∈{x|f(x)=0}，x2∈{x|g(x)=0}，若存在x1，x2，使得|x1−x2|⩽1，则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=lg2x−a与g(x)=x2−x互为“零点相邻函数”，则a的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. (−∞,2]C. (−∞,1]D. (−∞,0]∪[1,2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知c>b>a，则( )
A. c+b>2aB. 1c−b>1c−aC. bc−b>ac−aD. ab10.已知函数f(x)=ax2,x<0,−x,x≥0,则下列命题正确的是( )
A. ∃a∈R，f(x)的值域为R
B. ∀a∈R，f(x)的值域为R
C. 若函数y=ax2在(−∞,0)上单调递减，则a的取值范围为(0,+∞)
D. 若f(x)在R上单调递减，则a的取值范围为[0,+∞)
11.已知函数f(x)=ax2+a(a>0且a≠1)，下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的图象与直线y=1一定没有交点
C. 若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则a的取值范围是(0,1)
D. 若f(x)的图象与直线y=a交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是(0,1)
12.已知函数f(x)=1sinx−|1csx|，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=3π2对称B. f(x)的图象关于点(π,0)对称
C. ∀x∈(π,3π2),f(x)=f(x+π2)D. ∀x∈(π,3π2),f(x)⩽−2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)的图象过点(2,8)，则f(223)= ______．
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|⩽π)的部分图象如图所示，则φ= ______．
15.已知a>0且a≠1，当0ax，则a的取值范围为______．
16.已知a，b，c均为正实数，若1a+1b+1c+1=1，则a+b+c的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)sin2105°；
(2)sin55°sin115°−sin35°sin25°．
18.(本小题12分)
已知奇函数f(x)满足当x⩾0时，f(x)= x．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求不等式f(x−4)>f(2−x)的解集．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sinx−csx−m．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)函数g(x)的图象可以由f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到，若g(x)在[−π6,5π6]上有两个零点，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(x+1)−ln(x−1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的单调性，并说明理由；
(3)若关于x的方程f(x)=lnkx有解，求k的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<π2).
(1)求A，ω，φ，K的值；
(2)5分钟内，盛水筒P在水面下的时间累计为多少秒？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+12x．
(1)求函数g(x)=[f(x)]2−2f(x)在[−1,1]上的最小值；
(2)设函数h(x)=4x+4−x−4(2x+2−x)+b，若对任意b∈R，总存在x∈[−1,1]，使得|h(x)|⩾a成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：命题“∃x∈R，x3+x2+1<0”的否定是：∀x∈R，x3+x2+1⩾0．
故选：C．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为B={x|x2−2x−3<0}={x|−1所以A∩B={0,1,2}．
故选：A．
求出集合B，进而求出A∩B．
本题考查交集的运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，φ=0时，f(x)=tan(x+φ)=tanx，
此时函数f(x)=tan(x+φ)的图象关于原点中心对称，充分性成立；
反之，若f(x)=tan(x+φ)的图象关于原点中心对称，
则φ=π2+kπ，k∈Z，不一定是φ=0，必要性不成立．
综上所述，“φ=0”是“函数f(x)=tan(x+φ)的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件．
故选：B．
根据题意利用正切函数的图象与性质，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查充要条件的定义与判断、正切函数的性质等知识，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可知，tanα=−2mm=−2，
故sinα−csαsinα+csα=tanα−1tanα+1=3．
故选：A．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为a=(lg23)2,b=lg292，
所以a−b=(lg23)2−lg292=(lg23)2−2lg23+1=(lg23−1)2>0，
即a>b，
又因为b=lg292>lg24=2，
所以a>b>2．
故选：D．
利用作差法可比较a，b的大小，利用对数函数的单调性可比较b与2的大小．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解： 1−2sinαcsαcsα− 1−cs2α= (csα−sinα)2csα− sin2α=|sinα−csα|csα−|sinα|=−csα−sinαcsα−sinα=−1．
故选：B．
直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：对于选项A，由散点图可得，这些点显然不在一条直线上，所以模型y=bx+c不符合，
对于选项B，若选择y=b x+c作为y与x的函数模型，
将(0,3)，(4,7)代入，得3=c7=2b+c，
解得b=2c=3，
则y=2 x+3，
因为当x=9时，y=9；当x=16时，y=11；当x=36时，y=15，与表格中的实际值相同，
所以y=b x+c适合作为y与x的函数模型，
对于选项C，因为模型y=blgax+c在x=0处无意义，所以模型y=blgax+c不符合，
对于选项D，由散点图可得，这些点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，而指数型函数增长速度是越来越快的，
所以模型y=ax+c不符合．
故选：B．
根据散点图，结合函数的单调性判断即可．
本题主要考查了函数模型的选择，考查了散点图的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=lg2x−a，所以令f(x)=0得：lg2x−a=0，即x=2a；
又因为g(x)=x2−x，所以令g(x)=0得：x2−x=0，即x=0或x=1．
因为函数f(x)=lg2x−a与g(x)=x2−x互为“零点相邻函数”，
所以|2a−0|≤1或|2a−1|≤1，即−1≤2a≤1或0≤2a≤2，
解得a≤0或a≤1，所以实数a的取值范围为(−∞,1]．
故选：C．
分别求出函数f(x)与g(x)的零点，由新定义可得|2a−0|≤1或|2a−1|≤1，解出即可．
本题考查函数与方程，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：c>b>a，
则c>a，b>a，
故c+b>a+a=2a，故A正确；
c−a>c−b>0，所以1c−b>1c−a>0，B正确．
a当c>0>b>a时，ab>ca,D错误．
故选：AB．
根据已知条件，结合不等式的性质，即可依次求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：当a>0时，f(x)的值域为R，当a≤0时，f(x)的值域不为R，A正确，B错误；
若函数y=ax2在(−∞,0)上单调递减，则a的取值范围为(0,+∞)，C正确；
若f(x)在R上单调递减，则a的取值范围为(0,+∞)，D错误．
故选：AC．
由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果．
本题考查了二次函数、一次函数及分段函数的性质，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：定义域为R，f(−x)=a(−x)2+a=aa+x2=f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；
当a>1时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=aa>a>1，此时f(x)的图象与直线y=1没有交点．
当0令f(x)=ax2+a=a，则x2+a=1，即x2=1−a.若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则1−a>0，解得a<1，
所以a的取值范围是(0,1)，C正确．
由x2=1−a，解得x=± 1−a，
所以|AB|=2 1−a∈(0,2)，D错误．
故选：ABC．
由已知结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由sinx≠0，csx≠0，解得x≠kπ2,k∈Z，所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ2,k∈Z}，
A中，因为f(3π2+x)=1sin(3π2+x)−|1cs(3π2+x)|=1−csx−|1sinx|，
f(3π2−x)=1sin(3π2−x)−|1cs(3π2−x)|=1−csx−|1sinx|=f(3π2+x)，
所以f(x)的图象关于直线x=3π2对称，A正确；
B中，因为f(2π+x)=1sin(2π+x)−|1cs(2π+x)|=1sinx−|1csx|=f(x)，所以f(x)的图象不关于点(π,0)对称，B错误；
C中，当x∈(π,3π2)时，x+π2∈(3π2,2π),f(x+π2)=1sin(x+π2)−|1cs(x+π2)|=1csx+1sinx=f(x)，
所以∀x∈(π,3π2),f(x)=f(x+π2),C正确；
D中，当x∈(π,3π2)时，f(x)=1sinx+1csx=sinx+csxsinxcsx，令sinx+csx= 2sin(x+π4)=t∈[− 2,−1)，则sinxcsx=t2−12，
所以函数g(t)=2tt2−1=2t−1t，t∈[− 2,−1)，
又因为函数y=t−1t在[− 2,−1)上单调递增，且y=t−1t<−1+1=0在[− 2,−1)上恒成立，
所以g(t)在[− 2,−1)上单调递减，
当x∈(π,3π2)时，函数y= 2sin(x+π4)在(π,5π4)上单调递减，在(5π4,3π2)上单调递增，
由复合函数的单调性可得f(x)在(π,5π4)上单调递增，在(5π4,3π2)上单调递减，
所以∀x∈(π,3π2),f(x)=f(5π4)≤−2 2,D正确．
故选：ACD．
A中，求出f(3π2−x)及f(3π2+x)的解析式，可得函数f(x)关于直线x=3π2对称，判断出A的真假；B中，求出f(π+x)的解析式，可得f(2π+x)≠−f(x)，判断出B的真假；C中，求法f(x+π2)的解析式，可判断出C的真假；D中，化简f(x)的解析式，换元，由复合函数的性质可得f(x)在给定区间的最大值，判断出D的真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：设幂函数f(x)=xα，根据它的图象过点(2,8)，
可得2α=8，所以α=3，f(x)=x3，则f(223)=(223)3=22=4．
故答案为：4．
由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出幂函数的解析式，可得要求式子的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】−π6
【解析】解：根据题意，f(x)的周期T满足：14T=π3−π12=π4，
可得T=π=2π|ω|，结合ω>0，得ω=2．
因为当x=π3时，f(x)有最大值1，
所以sin(2×π3+φ)=1，得2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=−π6+2kπ,k∈Z．
而|φ|≤π，取k=0可得φ=−π6．
故答案为：−π6．
根据所给图象，利用三角函数周期公式算出ω=2，然后利用f(π3)=1是函数的最大值，列式算出φ的值．
本题主要考查三角函数的周期性、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．
15.【答案】(0,1)∪(1,16)
【解析】解：当0∵lg2x≤lg214=−2，∴−lg2x≥−lg214=2，即−lg2x≥2．
当0ax恒成立．
当a>1时，若−lg2x>ax成立，由于ax≥a14，
则2>a14，解得a<16，所以1综上，a的取值范围为(0,1)∪(1,16)．
故答案为：(0,1)∪(1,16)．
由题意，分类讨论a的范围，结合指数函数、对数函数的性质，不等式的性质，进一步求出a的取值范围．
本题主要考查指数函数、对数函数的性质，不等式的性质，属于中档题．
16.【答案】8
【解析】解：因为a，b，c均为正实数，1a+1b+1c+1=1，
所以a+b+c=a+b+(c+1)−1=[a+b+(c+1)](1a+1b+1c+1)−1=3+ab+c+1b+ba+c+1a+ac+1+bc+1−1≥2+2 ab⋅ba+2 ac+1⋅c+1a+2 bc+1⋅c+1b=8，
当且仅当ab=ba，ac+1=c+1a，c+1b=bc+1，即a=b=c+1=3，即a=3，b=3，c=2时等号成立．
即a+b+c的最小值为8．
故答案为：8．
将a+b+c转化为a+b+(c+1)−1，再由题意及“1”的活用及基本不等式的性质可得结果．
本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)sin2105°=1−cs210°2=1+cs30°2=2+ 34；
(2)sin55°sin115°−sin35°sin25°=sin55°cs25°−cs55°sin25°=sin(55°−25°)=12．
【解析】(1)(2)直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当x<0时，−x>0,f(−x)= −x，
因为f(x)是奇函数，
所以−f(x)= −x，f(x)=− −x，
所以f(x)= x,x≥0,− −x,x<0.；
(2)f(x)在[0,+∞)上单调递增．
因为f(x)是奇函数，且f(x)在R上单调递增．
所以f(x−4)>f(2−x)，
即x−4>2−x，解得x>3，
所以不等式f(x−4)>f(2−x)的解集为(3,+∞)．
【解析】(1)根据奇函数的定义求解即可；
(2)根据函数的单调性及奇偶性求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)= 3sinx−csx−m=2sin(x−π6)−m，
所以f(x)的最小正周期为2π；
(2)由题意可得g(x)=2sin[(x+π6)−π6]=2sinx−m，
令g(x)=0，可得sinx=m2，令y=sinx，
画出函数h=sinx的图象，要使y=m2在[−π6,5π6]上有两个不同的交点，则12≤m2<1，
解得1≤m<2．
即m的取值范围为[1,2)．
【解析】(1)由三角函数的恒等变换，可得函数f(x)的解析式，进而求出函数的最小正周期；
(2)由函数的平行移动，可得g(x)的解析式，令g(x)=0可得，sinx=m2，画出y=sinx的图象，由题意可得m的范围．
本题考查数形结合的方法求函数值域，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=ln(x+1)−ln(x−1)，x+1>0x−1>0解得x>1，
所以f(x)的定义域为(1,+∞)．
(2)f(x)=ln(x+1)−ln(x−1)=lnx+1x−1=ln(1+2x−1)．
因为函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，函数y=1+2x−1在(1,+∞)上单调递减，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递减．
(3)关于x的方程f(x)=lnkx有解⇔lnx+1x−1=lnkx在(1,+∞)上有解，
⇔x+1x−1=kx在(1,+∞)上有解⇔k=x(x+1)x−1=x−1+2x−1+3在(1,+∞)上有解．
因为x−1>0，所以k≥2 (x−1)⋅2x−1+3=2 2+3，当且仅当x= 2+1时，等号成立．
故k的取值范围是[2 2+3,+∞)．
【解析】(1)由对数的真数大于零即可求解；
(2)由复合函数的单调性即可求解；
(3)利用基本不等式即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，复合函数的单调性，基本不等式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由图可知，d的最大值为5+2.5=7.5，d的最小值为−(5−2.5)=−2.5，
则A=7.5−(−2.5)2=5，K=7.5−2.52=2.5，
因为筒车按逆时针每分钟转2圈，所以ω=2×2π60=π15，
所以d=5sin(π15t+φ)+2.5；
当t=0时，d=0，所以5sinφ+2.5=0，解得sinφ=−12，
因为−π2<φ<π2，所以φ=−π6；
(2)由(1)得d=5sin(π15t−π6)+2.5，
令d<0，则5sin(π15t−π6)+2.5<0，解得sin(π15t−π6)<−12，
所以7π6+2kπ<π15t−π6<11π6+2kπ，k∈Z；
解得20+30k5分钟=300秒，令0<20+30k得0≤k≤9，所以5分钟内，盛水筒P在水面下的时间累计为10×(30−20)=100秒．
【解析】(1)根据d的最大值与最小值，即可求出A、K，根据周期求出ω，利用t=0时d=0，求出φ；
(2)写出函数解析式，利用d<0求出t的取值范围，再5分钟内盛水筒P在水面下的时间累计．
本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)令u=2x，∵x∈[−1,1]，∴u∈[12,2]．
令t=f(x)，则t=u+1u．
∵函数y=x+1x在[1,2]上单调递增，[12,1)上单调递减，∴t≥1+1=2．
∵当u=12时，t=52，当u=2时，t=52，∴t≤52，∴t=f(x)∈[2,52]．
令y=g(x)，则函数y=t2−2t在[2,52]上单调递增，
∴当t=2时，函数y=t2−2t取得最小值0．
∴g(x)在[−1,1]上的最小值为0．
(2)结合(1)可知，当x∈[−1,1]时，f(x)∈[2,52]．
令m=f(x)=2x+12x∈[2,52]，
则4x+4−x−4(2x+2−x)+b=(2x+2−x)2−4(2x+2−x)+b−2=m2−4m+b−2．
令φ(m)=m2−4m+b−2，
∵对任意b∈R，总存在x∈[−1,1]，使得|h(x)|⩾a成立，
∴对任意b∈R，总存在m∈[2,52]，使得|φ(m)|≥a成立．
则只需要求出(|φ(m)|max)min即可，
∵φ(m)在[2,52]上单调递增，
∴φ(m)max=φ(52)=b−234,φ(m)min=φ(2)=b−6．
由b−234+b−6=0，解得b=478．
当b>478时，|φ(m)|max=b−234；当b≤478时，|φ(m)|max=6−b，
|φ(m)|max可看成关于b的函数μ(b)=6−b,b≤478,b−234,b>478.
则μ(b)在(−∞,478]上单调递减，在(478,+∞)上单调递增，
∴μ(b)min=μ(478)=18，即(|φ(m)|max)min=18，∴a≤18，
∴a的取值范围是{a|a≤18}．
【解析】(1)令t=f(x)，将问题转化为求二次函数在给定区间上求最值即可；
(2)令φ(m)=m2−4m+b−2，由对任意b∈R，总存在x∈[−1,1]，使得|h(x)|⩾a成立可知，对任意b∈R，总存在m∈[2,52]，使得|φ(m)|≥a成立，只需要求出(|φ(m)|max)min即可．
本题考查了利用函数的单调性求最值，利用不等式能成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．x
0
4
9
16
36
y
3
7
9
11
15