衡水2026年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷数学试卷

这是一份衡水2026年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
设集合 ? = {−1,?},? = {0,2?−1} ，若 ? ∩ ? = {?} ，则 ? 的取值集合为()
A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}
若复数 ? 的共轭复数 ? = 2−i ，则 (?−1)i = ()
A. 1 +iB. −1 +iC. 2 + 2iD. 2−2i
已知 ?,? 是两条不同的直线， ?,? 是两个不同的平面，若 ? ⊥ ?,? ⊥ ? ，则 “ ?
//? ” 是 “ ?//? ”的()
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
已知向量 ? = (?,1),? = (1,−2) ，若向量 ? + ?,?−? 在 ? 上的投影向量相等，则
? = ()
A. 2 B. 1
1
C. −2D. -1
?
2
若 ? ∈ (0,?),2 +sin2? = 2sin 2? +，则 cs? = ()
5
5
5
5
A. −2 5B. − 5C. 5D. 2 5
?
2
??
已知函数 ?(?) = sin(2? + ?)−? − 2 < ? 0) 上,直线 ?:? = −1 .
求抛物线 ? 的方程；
点 ?,? 在 ? 上，且以 ?? 为直径的圆过坐标原点 ? ，若直线 ?? 交 ? 于另一点 ?
，直线 ?? 交 ? 于另一点 ? .
证明: 直线 ?? 过定点,并求出该定点坐标;
是否存在 ?,? ,使得 △ ??? 的面积为 △ ??? 面积的 2 倍？若存在，求出 |??|
的值；若不存在, 说明理由.
已知函数 ?(?) = e?(e? + 2?−4) .
求 ?(?) 的单调区间；
?∗∗
记 ∏?=1 ?? = ?1?2?3⋯??(? ∈ N ) ,若 ?1 + ?2 + ?3 +⋯ + ?? = 0(? ∈ N ) ,证明:
?
(e2?? + 2??e?? + 3) ≥ 4?
?=1
e 1
′?(?2)−?(?1)?′(?1)
??>
记 ?(?) 的导函数为 ? (?) ，证明:当 ?2 > ?1 时，
C
e 2 −e 1
?.
若 ? = 0 ,则 ? = {−1,0},? = {0,−1} ,此时 ? ∩ ? = {0,−1} ,不符合题意;
若 ? = 2?−1 ,解得 ? = 1 ,则 ? = {−1,1},? = {0,1} ,此时 ? ∩ ? = {?} ,符合题意.
综上, ? 的取值集合为 {1} .
B
由题意知 ? = 2 +i ,所以 (?−1)i = (1 + i)i = −1 +i .
C
若 ? ⊥ ?,?//? ,则 ? ⊥ ? ,又 ? ⊥ ? ,所以 ?//? ;
反之,若 ? ⊥ ?,?//? ,则 ? ⊥ ? ,又 ? ⊥ ? ,所以 ?//? ,
则“ ?//? ” 是 “ ?//? ” 的充要条件.
A
根据向量投影相等的条件,推导出 ? ⊥ ? ,再利用向量垂直的数量积为 0 列方程求解 ?
.
?
?
由题意得 ?+? ⋅? ⋅ ? = ?−? ⋅? ⋅ ? ,即+⋅ ? = ?−? ⋅ ? , 整理得 ? ⋅ ? = 0 ,所
|?|
|?|
|?|
|?|
以 ? + 1 × (−2) = 0 ,解得 ? = 2 .
A
应用诱导公式及二倍角公式化简,再应用正弦值域得出 cs? = −2sin? ,最后结合同角三角函数关系计算求值.
由题意得 2 + 2sin?cs? = 2cs2? = 2(1−2sin2?) ,所以 sin? ⋅ cs? = −2sin2? . 因为 ? ∈ (0,?) ,所以 sin? > 0 ,所以 cs? = −2sin? < 0 ,且 cs2? + sin2? = 1 , 所以
cs2? = 4 ,可得 cs? = −2 5 .
55
B
?
3
?11
根据两函数图象关于直线 ? = 6 对称及 ?(0) = 6 得到 ?= 6 ,结合 ? 的范围代入
?
3
2?
3
2?
3
求解即可.
由题意知 ?
= ?(0) = ,所以 ?
= sin
1 ,所以 sin1
?
3
1
1
6
+ ? −3 = 6
+ ? = 2.
因为 −? < ? < ? ,
?2?
7?
2?
5??
2
C
2 所以 6 4) = 0.3 , 由正态分布的对称性,得 ? = 2 ,所以 ? 的值为 2 .
2+ 2?## 2+2?
33
根据圆锥底面与内接正方体棱长的关系, 求出圆锥的高, 再利用圆锥体积公式即可求得.
2
2
设圆锥的高为 ℎ ,则由相似三角形对应边成比例可得: 2 = ℎ−1 ,解得 ℎ = 2 +,
1ℎ
所以该圆锥的体积 ? = 1??2ℎ = 2+ 2? .
33
−
14.3 3
16
对函数 ?(?) 进行求导,根据三角函数周期性并求出其单调性,得出函数极值,即可求得其最小值.
由 ?(?) = sin?cs3? ,得
3
4
3
4
?′(?) = cs4?−3sin2?cs2? = 4cs4?−3cs2? = 4cs2? cs2?−,
3
4
因为 cs2? ∈ [0,1] ,所以当 cs2? ∈ 0,
> 0 ,
时, ?′(?) ≤ 0 ; 当 cs2? ∈
,1 时, ?′(?)
又 ?(?) 满足 ?(?) = ?(? + ?) ，所以 ? 为 ?(?) 的一个周期，
?
6
所以当 ? ∈ 0,
时， ?′(?) > 0,?(?) 单调递增;
?
6
5?
6
当 ? ∈,时, ?′(?) ≤ 0,?(?) 单调递减;
5?
6
当 ? ∈,? 时, ?′(?) > 0,?(?) 单调递增.
5?
6
因为 ?(0) = 0,?(?) = 0,?= −3 3 ,所以当 ? ∈ [0,?] 时, ?(?) 的最小值为 −3 3 .
1616
16
即当 ? ∈ R 时, ?(?) 的最小值为 −3 3 .
15. (1)36
(2)
(1)根据分步乘法计数原理,先选好白球位置,剩下的给红球;(2)先确定 ? 所有可能取值, 再计算相应的概率.
(1)先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球, 再把 3 个红球全排放入剩下的 3 个空位,共 A2 A3 = 36 (种),
33
所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为 36 .
?
0
1
2
3
?
2 5
3
10
1 5
1
10
(2)由题意知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3, 则
?(? = 0) =24 =
A2 A42
A
5
5
5
C1 A2 A33
5
?(? = 1) = 323 =
A
510
?(? = 2) = 322 =
5
A2 A2 A21
5
A
5
?(? = 3) =23 =
A2 A31
A
5
510
?
0
1
2
3
?
2 5
3 10
1 5
1
10
所以 ? 的分布列为
16.(1)因为底面 ???? 是边长为 2 的正方形， ?,? 分别为 ??,?? 的中点，所以 ??
⊥ ??,
因为平面 ??? ⊥ 底面 ???? ,平面 ??? ∩ 底面 ???? = ??,?? ⊂ 底面 ABCD ,
所以 ?? ⊥ 平面 ??? ,因为 ?? ⊂ 平面 ??? ,所以 ?? ⊥ ?? .
(2)由(1)及底面 ???? 为正方形，可得 ?? ⊥ ??,?? ⊥ ?? ，
又正方形的边长为 2,?,? 分别为 ??,?? 的中点 ?? = 5,?? = 3 ,
??2−??2
5−1
所以 ?? =
=
= 2,
9−1
2
??2−??2
?? =
在 △ ??? 中， ??2 + ??2 = ??2 ， 所以 ?? ⊥ ?? ,所以 ??,??,?? 两两垂直.
=
= 2,
以 ? 为坐标原点,以 ??,??,?? 所在直线分别为 ?,?,? 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ?(2,−1,0),?(2,1,0),?(0,1,0),?(0,0,2),?? = (2,−1,−2),?? = (0,−1,2),?? =
(2,0,0) , 设平面 ??? 的法向量为 ? = (?,?,?) ,
则
⋅ ?? = 0 ,得 −? + 2? = 0 ,
?
?
⋅ ?? = 0
2? = 0
令 ? = 1 ,则 ? = 2,? = 0 ,
所以平面 ??? 的一个法向量 ? = (0,2,1) .
设直线 ?? 与平面 ??? 所成的角为 ? ,
4+1× 4+1+4
则 sin? = |cs⟨??,?⟩| = |??⋅?| =4
|??||?|
4 5
,
= 15
15
所以直线 ?? 与平面 ??? 所成角的正弦值为 4 5 .
1
17.(1),1, 1成等差数列.
1−?? 1−??+1 1+??
证明: 因为数列 {??} 前 ? 项的积 ?? = 32
= 32?−1 ,
当 ? = 1 时, ?1 = ?1 = 3 ,符合上式,
?
所以 ? = 32?−1 ,
?−1 ,所以当 ? ≥ 2 时, ? = ?? =
??
?−1
32?−1
32?−1−1
所以 1 1−??
1
+ 1+?
22
1− 32?−1 2
=2 =
?
1−??
2
=?
1−32
=,
1−?
2
?+1
1
因此 1 ,1,成等差数列.
1−?? 1−??+1 1+??
(2)(1)1−?
1
由 可得
?
1
+ 1+?
2
1−?
=，
1
1−??
?
?+1
所以 ?
1 12
=−=
11
1
1−??+1
−−= 2
−,
?1+?? 1−??1−??+1

1−?? 1−??
1
1−?1
1
1−?3
1
1−?2
1
1−??+1
1
1−??
所以 ?? = ?1 + ?2 +⋯ + ?? = 2
1
1−?2
−
+
−
+ ⋯ +−
1
1−??+1
= 2
−
= 2
−
= 1− ?.
1
1−3
2
32 −1
1
1−?1
1
1−32
?
2
所以数列 {??} 的前 ? 项和 ?? = 1− ?.
32 −1
2
18.(1) 因为点 ?(1,1) 在抛物线 ?:?2 = 2??(? > 0) 上, 所以 1 = 2? ,解得 ? = 1 ,所以
? 的方程为 ?2 = ? .
(2)(i)证明:由题意不妨设 ?(−1,?) ， ?(−1,?)(? > 0) ，则 ?? = (−1,?),?? = (−1,?) ,

因为以 ?? 为直径的圆过坐标原点 ? ,所以 ?? ⋅ ?? = 1 + ?? = 0 ,
1
?
1
则 ? = −? ,即 ?−1,−.
1
2
显然直线 ?? 的斜率不为 0,设直线 ??:? = ?? + ?,?(?2,?1),?(?2,?2) ,
?2 = ?
联立 ? = ?? + ? ,消去 ? 得 ?
2−??−? = 0 ,
则 Δ = ?2 + 4? > 0,?1 + ?2 = ?,?1?2 = −? ,
因为 ?,?,? 三点共线,则 ?1−1 =1
1−?
,
=解得 ?
1+?
,
=
1
?2−1
?1+12
11−?
又 ?,?,? 三点共线,则 ?2−1 =1
?+1
,
=解得 ?
?−1
,
=
2
?2−1?2+1
2?
2?+1
所以 ? ? = 1+? ⋅ ?−1 = −1 ,又 ? ?
= −? ,得 ? = 1 ,
1 21−? ?+11 2
所以直线 ??:? = ?? + 1 ,即直线 ?? 过定点 (1,0) .
?
(ii) 由 (i) 知 |??| = ? + 1
?2+1
=?
(? > 0) ,直线 ??:? = ?? + 1 ,
且 ?1
+ ?2
= ?,?1
1+?
= 1−?,?2
?−1
1 + ?2
,
= ?+1
|?|
1+?2
而点 ? 到直线 ?? 的距离为 ? =
,且 |??| =
⋅ |?1
−?2| ,
所以 ?
1
1
2
1 + ?2
△??? = 2|??| ⋅ ? =
⋅ |?1
−?2
|?|
1+?2
| ⋅
1
= 2|?1−?2||?|
1+?
1−?
= 1|?2−?2| = 1|
2
?−1
?+1
−
2| =4?(?2+1)
2122
1
?2+1
,
(?2+1)2−4?2
而 ?△??? = 2|??| ⋅ 1 =
2? ,
4?(?2+1)
?2+1
(? +1) −4?
若 ?△??? = 2?△??? ,则 222 =?,
整理得 (?2
+ 1)2
= 8?2
?2+1
2
,即 ?= 2
,方程有解,则 |??| =
?2+1
2
?= 2.
2
即存在 ?,? ,使得 △ ??? 的面积为 △ ??? 面积的 2 倍,此时 |??| = 2.
19. (1) 由题意得 ?(?) 的定义域为 ? ,且 ?′(?) = 2e?(e? + ?−1) ,
令 ?(?) = e? + ?−1 ,则 ?′(?) = e? + 1 > 0 恒成立,所以 ?(?) 在 ? 上单调递增, 又 ?(0) = 0 ,故当 ? ∈ (−∞,0) 时, ?(?) < 0,?′(?) < 0,?(?) 在 (−∞,0) 上单调递减;
当 ? ∈ (0, + ∞) 时, ?(?) > 0,?′(?) > 0,?(?) 在 (0, + ∞) 上单调递增,
所以 ?(?) 的单调递减区间为 (−∞,0) ,单调递增区间为 (0, + ∞) .
(2)由(1)知， ?(?) ≥ ?(0) = −3 ，即 e?(e? + 2?−4) ≥ −3 ，即 e2? + 2?e? + 3 ≥ 4e? > 0 ,
?
所以 ∏?=1(e
2??
+ 2??e
??
?
+ 3) ≥ ∏?=1(4e
??
) = 4
?(e
?1
⋅ e?2
⋯⋯e
??
) = 4?
e?1+?2+?3+⋯+??
= 4?e0
= 4?
?
即 ∏?=1(e
2??
+ 2??e
??
+ 3) ≥ 4? .
(3)因为 ?2 > ?1 ，令
e?2 e?1
= ? ，则 e
?2 = ?e
?1 ， ?2−?1 = ln? ，且 ? > 1 ，
又 ?′(?) = 2e?(e? + ?−1) ,则
?(?2)−?(?1) e?2 −e?1−
?′(?1) e?1=
e?2 (e?2 + 2?2−4)−e?1 (e?1 + 2?1−4)
(?2−?1)e?2 e?2 −e?1
e?2 −e?1−
2e?1 (e?1 + ?1−1) e?1
= 2
−?1−1 + e?2 −e?1 = 2
?2e?2 −?1e?1
e?2 −e?1
?ln?
?−1
?
−1 + e?2 −e?1
= 2−1 + (?−1)e 1 .
令 ℎ(?) = ln? + 1−1(? > 1) ,则 ℎ′11?−1 > 0 ,故 ℎ(?) 在 (1, + ∞) 上单调
?
递增,
(?) = ?−?2 =
?2
所以 ℎ(?) > ℎ(1) = 0 ,即 ln? + 1−1 > 0 ,所以当 ? > 1 时, ?ln?−1 > 0 ,
?
?ln?
?−1
又当 ? > 1 时, (?−1)e?1 > 0 ,所以当 ? > 1 时, 2
?−1
−1 + (?−1)e?1 > 0
即当 ?2 > ?1 时
?(?2)−?(?1) e?2 −e?1
?′(?1)
>
e 1
?.