2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中九年级下学期中考零模数学试题

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中九年级下学期中考零模数学试题，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在参观了殷墟博物馆和中国文字博物馆后，同学们对殷商时期的甲骨文有了全面的认识，甲骨文造字更多采用象形方法，在下列甲骨文文字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．鹿B．鼎C．好D．鱼
2．北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，2021年机场旅客年吞吐量达到15000000人次，到2023年机场旅客年吞吐量预计将达3倍，2023年机场旅客年吞吐量为（单位：人次）（ ）
A．B．C．D．
3．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则中最大的数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．105°C．135°D．155°
5．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如果，那么代数式的值是（ ）
A．B．1C．D．2
7．有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（ ）
A．新数据的平均值比原数据的平均值小
B．新数据的方差比原数据的方差大
C．这两组数据的中位数可能相同
D．以上结论都不正确
8．下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x

其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10．因式分解： ．
11．正十边形的外角和为 ．
12．方程的解为
13．如图，是的直径，在上，若，则 ．
14．在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ．
15．如图，在矩形中，，点E为的中点，连接，点F为上一点，，则 ．
16．甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示．
所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍．
（1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为 ；
（2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何值，方程总有实数根；
(2)若方程两根均不小于1，求的取值范围．
20．如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的值．
21．某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元．
(1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？
(2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明．
22．在平面直角坐标系中，已知函数和．
(1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，直接写出的取值范围．
23．某学校八年级和九年级两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从八年级、九年级两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．八年级、九年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：）：
b．八年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下：
c．八年级、九年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
(2)的值为________；
(3)不在同一年级的两位同学的成绩均在被抽中的样本中，同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前同学看到同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断同学所在的年级，并说明理由；
(4)若成绩在85分及以上为优秀，请估计八年级竞赛成绩优秀的人数为________．
24．如图，在中，过A，B两点，且与直线相切于点A，D为中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
25．如图，弧是直径所对的半圆弧，是弧上一定点，是弧上一动点，连接，已知，设D，A两点间的距离为两点间的距离为，两点间的距离为．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
(1)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值；
则表中m的值为______；
(2)在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象；
(3)结合函数图象，解决问题（结果均精确到）：
①当时，的长为______；
②连接，当是等腰三角形时，的长度约为______．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上．
(1)当时，比较和的大小，并说明理由；
(2)若对于，都有，求的取值范围．
27．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足．
(1)求证：；
(2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段．
(1)如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，）
①的所有可能值为______；
②若点在第四象限，则点的坐标为______：
(2)当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值．
平均数
中位数
八年级
80.8
九年级
80.6
86
0
1
2
3
4
5
m
0
0
《北京市海淀区中国人民大学附属中2025年九年级中考数学零模试题》参考答案
1．B
【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的定义，逐项分析判断，即可解得．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B． 该图形是轴对称图形，符合题意；
C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：到2023年机场旅客年吞吐量预计将达3倍即45000000人次，
∵，
故选：D．
3．B
【解析】根据A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），确定点A在原点左侧，点B在原点右侧，从而得到b＞a，又根据|a|>| b| ，得到-a>b，即-b＞a，即可得出最大的数.
【详解】∵A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），
所以点A在原点左侧，点B在原点右侧，
所以a＜0，b＞0，即b＞a，
又因为|a|>|b| ，所以-a>b，即-b＞a，
所以-a＞b＞a，
又因为b＞0，所以-b＜0，
所以-a＞b＞-b＞a；
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，以及不等式的性质，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键.
4．B
【详解】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180°−60°−45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180°−∠3=105°，
故选B.
5．B
【分析】根据简单随机事件的概率计算公式进行计算即可.
【详解】解：设这两辆汽车分别为甲车和乙车, 则通过这个十字路口时,两辆车的所有可能情况共有9种:甲直行,乙直行;甲左转,乙直行;甲右转, 乙直行; 甲直行, 乙左转; 甲左转,乙左转;甲右转,乙左转;甲直行,乙右转;甲左转,乙右转;甲右转,乙右转.其中两辆汽车一辆左转, 一辆右转的情况有2种, 所以概率为.
故本题正确答案为B.
【点睛】本题主要考查简单随机事件概率的计算.
6．B
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的乘法以及分式的性质化简，最后将式子的值代入即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴原式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
7．D
【分析】设9个数据为，则，根据平均数，方差，中位数的定义计算判定即可．
本题考查了中位数，方差，平均数的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：设9个数据为，且，
则，
则
，
故平均数不变，
故A错误；
根据方差定义，得起始数据的方差为：，
新数据的方差为：
，
分子相同，分母变大，
故新方差变小，
故B错误；
根据，则起始数据的中位数为，
新数据的中位数是中间两个数的平均数，即第5个，第六个数据的平均数，
故，
若，则，
这与有9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数与这9个数都不相等矛盾．
故C错误，
故D正确，
故选：D．
8．D
【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断．
【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确；
②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即y逐渐变小，故②正确；
③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．
9．
【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可．
本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：二次根式有意义，
故，
故，
故答案为：.
10．
【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式再用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：，
故答案为：
11．/360度
【分析】本题考查多边形的外角和定理，熟记定理是解题的关键．
根据多边形的外角和是即可求出答案．
【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于，
所以正十边形的外角和等于．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查分式方程，掌握分式方程的解题步骤是解题的关键．
根据解分式方程的步骤，方程两边同乘以，将分式方程化为一元一次方程，求出x的值，最后检验是否符合原方程即可．
【详解】解：，
两边同乘以，得
，
，
，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了圆内接四边形，直径所对圆周角是直角，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，求出，得到，求出，根据圆周角定理得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形是的内接四边形，，
，
是的直径，
，
，
，
故答案为：.
14．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可．
本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键．
【详解】解：函数的图象与直线交于点和点，
，
，
根据中心对称性质，得，
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似．延长交于点M，延长交延长线于点N，利用矩形的性质和勾股定理，求出的长，证明，求出，证明得出，进而求出即可得出结果．
【详解】解：延长交于点M，延长交延长线于点N，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
，
，
∴，
∵，
，
，
；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查新定义，求不等式组的解集，列代数式，无理数的估算，整式的加减等知识，理解题中游戏规则是解题的关键．
（1）依据题意，可得，从而，且，故，进而可以判断得解；
（2）依据题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，再设，则，，，又与互为相反数，则，则，，，结合，，即，继而得到，进而可得，故可判断得解．
【详解】解：（1）由题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
（2）由题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，设（，且为整数），则，，，
∵与互为相反数，
∴，则，，，
又∵，，，，
即，，，，
∴，
∵，，，，，，，都是非零整数，
当时，为最小值，
∴这八个数之和的最小值为．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值，零次幂，掌握相关的运算法则是解题的关键．
先计算绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值，零次幂，再计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】解：
．
18．
【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解不等式组解答即可．
本题考查了求不等式组的解集，掌握解集求解是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得，解不等式②得，
故不等式的解集为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
（1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可；
（2）解方程得到，，根据方程两根均不小于1，得到不等式，解不等式即可得到结论．
【详解】（1）证明：
∵，，
∴，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：原方程可化为，即
解得：，，
∵方程两根均不小于1，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形、等腰三角形的性质及平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定与性质、面积法及正弦的定义是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定与性质得出，再结合平行四边形的判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）即可解决问题．
（2）先求出的长，进一步得出的长，再过点C作的垂线，垂足为M，结合面积法求出的长，最后根据正弦的定义即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
在中，
．
在中，
，
过点C作，垂足为M，如图
∵，
∴，
在中，．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
21．(1)售出精装草莓200盒，则简装草莓100盒
(2)分装精装草莓1盒，则简包草莓23盒
【分析】（1）设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，解答即可；
（2）设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，，且m是正整数，求得正整数解判定解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，
解得，
答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒．
（2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得
，
解得，
∵m是正整数，
∴，
∴取最大整数为，
故存在符合要求的分装方案，分装精装草莓1盒，简装草莓23盒．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上；
（2）当时，不符合题意；当，恒成立；当时，，解答即可．
本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围．
【详解】（1）解：由函数和，得，
故，
当时，，
由，
故，
故点一定不在直线上．
（2）解：由为函数和交点的横坐标，且当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，
故，
解得，
当时，不符合题意；
当，恒成立；
当时，，
解得，
故．
23．(1)见解析
(2)
(3)八年级，理由见解析
(4)225名
【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，方差，能够从频数分布直方图中获取数据，理解中位数的意义是解题的关键．
（1）由题意将40减去初二年级另外4组的频数即可得到组的频数，再补全知识竞赛成绩频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的意义可确定中位数位于这一组，即可算出的值；
（3）根据A，B同学的说的成绩排位结合中位数的意义即可作出判断；
（4）由题意根据总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可得出答案．
【详解】（1）解：（人）
补全知识竞赛成绩频数分布直方图如下：
（2）由题意知八年级学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81，
所以，
故答案为：80.5；
（3）同学是八年级的学生，
理由：由表可知，八年级的中位数为80.5，九年级的中位数86，
若是九年级学生，其成绩必定低于中位数，放到八年级，成绩会更靠前．
所以同学是八年级的学生；
（4）（名），
估计八年级竞赛成绩优秀的人数为255名，
故答案为：225名．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，圆的垂径定理，掌握知识点是解题的关键．
(1)连接，由是的切线，得到．由，D为的中点，得到平分，，设，将与分别用含的代数式表示，可得到与之和是，即，由此可证得．
(2)由，设，则，在中运用勾股定理可求得x的值，即可求出的值，即可求出及的值，再利用，在中求出的值．设的半径为r，在中运用勾股定理即可求出r的值．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵AC是的切线，切点为A，
∴，即，
∵，D为的中点，
∴平分，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
（2）解：∵于点D，于点F，
∴，
∵，
设，则，
由勾股定理，且，可得，
解得，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
将代入，可得，
解得．
设的半径为r，则，
∴．
由勾股定理，
即，
解得，
∴的半径为．
25．(1)
(2)见解析
(3)①②或
【分析】（1）根据题意，得，根据勾股定理，得，当时，解答即可；
（2）根据描点法画图象解答即可；
（3）①过点作于点G，设，当，则，根据勾股定理，圆的性质，三角函数解答即可；
②利用等腰三角形的定义进行分类，结合勾股定理，垂径定理解答即可．
本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的定义，三角形中位线定理，描点法画图象，熟练掌握圆的性质，垂径定理，勾股定理等是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，
∵弧是直径所对的半圆弧，
∴，
∵，
∴，
∴当时，
，
故答案为：．
（2）解：根据描点法画图象，画图如下：
（3）解：①过点作于点G，设，当，
则，
根据题意，当点D与点B重合时，，，
此时，
∵弧是直径所对的半圆弧，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
根据勾股定理，得，
故，
整理，得，
解得或（舍去），
故，
故，
故答案为：；
②解：当时，连接，交于点P，
根据垂径定理的推论，得，且，
又，
故，
故是的中位线，
故，
设，则，，，
根据勾股定理，得，
解得，
故；
当时，连接，交于点R，
根据垂径定理的推论，得，且，
又，
故，
故，
故，
根据勾股定理，得，
当时，三角形不存在；
综上所述，的长度约为或．
26．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可；
（2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可．
本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，
当时，点，，此时，，
故，，
故．
（2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，
故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，
根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为
；
故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，
由对于，都有，
故或，
解得或，
故t的取值范围是或．
27．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）延长，，相交于点N，证明即可解答；
（2）延长至点K，使得，连接，．证明得到，，从而，得到为等腰直角三角形，由得到，从而得到，进而推出，得到．设，，根据平行线分线段成比例得到，即整理，得，从而，，根据三角形的中位线定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到．
【详解】（1）证明：延长，，相交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴在四边形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴
（2）解：，证明如下：
延长至点K，使得，连接，．
∵，，
∴，
∴，，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由（1）有，又，
∴设，，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即
整理，得，
∴，，
∴，
∵在等腰中，，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．
28．(1)①或；②
(2)的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为
【分析】（1）①分两种情况，结合轴对称的性质计算即可得解；②当点的对称点在第四象限时，连接，则，从而可得是等边三角形，解直角三角形得出，再由轴对称的性质计算即可得解；
（2）先求出是以为圆心，为半径的圆的切线，以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线，连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小，连接，证明出点与点关于直线对称，即可得出此时；延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大，作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，再利用相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：①如图，
当点的对称点是时，，
当点的对称点是时，，
综上所述，的值为或；
②当点的对称点在第四象限时，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴点的坐标为，即，
∵，
∴；
（2）解：如图：令交轴的负半轴于点，则，，
∵的弦，，
∴点到的距离为，
∴是以为圆心，为半径的圆的切线，
以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线，
连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴点与点关于直线对称，
∴此时直线经过，，
∴；
如图：
延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大，
∵，
∴，
∴的最大值为，
作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时直线经过点和，
∴；
综上所述，的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
D
B
B
B
B
D
D