山西省临汾市2026届高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省临汾市2026届高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．在等差数列中，，，则其公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知变量与之间的一组数据如下表：
若关于的线性回归方程为，则（ ）
A．1.31B．C．1.56D．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
6．正方体的棱长为2，是棱的中点，则平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
8．定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（ ）
A．B．周期为4
C．D．为奇函数
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ）
A．
B．当为中线时，
C．当为高线时，
D．当为角平分线时，
11．在直角中，，，为上一点，现将直角以边所在直线为轴旋转一周，其余两边旋转一周形成的面围成圆锥，点为此圆锥底面圆周上一点，且，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为
B．当为中点时，过作平行于圆锥底面的平面，截圆锥所得台体的体积为
C．当在圆锥表面上的距离最短时，为三等分点
D．该圆锥内装有三个半径相等的铁球时，铁球的最大半径为
三、填空题
12．已知复数满足，则在复平面内对应的点在第 象限.
13．已知圆与轴正半轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的标准方程为 .
14．已知函数，同时满足条件：
①，或；
②，.
则的取值范围是 .
四、解答题
15．如图.在直三棱柱中，点分别为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．某公司使用一个由1台主服务器和3台备用服务器组成的系统运行关键业务.每台服务器正常工作的概率均为0.9（实际生活中服务器可靠度通常在0.9以上，为便于计算我们在此取0.9），且各服务器运行状态相互独立.该系统正常工作必须同时满足以下两个条件：
①主服务器正常工作；
②至少2台备用服务器正常工作.
否则判定为故障.
(1)记为备用服务器正常工作的台数，求的分布列及期望；
(2)求系统正常工作的概率；
(3)若已知系统发生故障，求此时主服务器正常工作的概率.（结果精确到0.1）
18．已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)若，有三个极值点，求实数的范围.
19．已知焦点在轴上的等轴双曲线的实轴长为，将曲线绕原点逆时针旋转得到曲线：.
(1)求的方程，并直接写出的方程；
(2)设曲线在第一象限内的点与轴上的点顺次构成等腰直角，，，…，其中为直角顶点.求的面积关于的表达式；
(3)设等腰直角的三个顶点都在曲线上，求面积的最小值.
参考答案
1．C
【详解】由，得，解得，所以，
又因为，所以.
故选：C.
2．B
【详解】，即，
所以，解得.
故选：B
3．B
【详解】，
，
而点在线性回归方程上，
得，
解得，
故选：B
4．A
【详解】定义域为，
又，故为偶函数，排除BD；
当时，，故，排除C选项，A正确.
故选：A
5．D
【详解】因为函数，又函数，
所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象.
故选：D
6．A
【详解】
如图所示建立空间直角坐标系，则，，为的中点，则；
要找平面与正方体其他棱的交点，观察棱，设交点为；
现验证点在平面上，则与、共面，即存在实数、，使得：，代入坐标向量，，，
列方程：，因此(为的中点)，形成的截面为四边形；
依据空间中两点的距离公式可知：
，
，
，
，
四边形的边长均为，则其周长为.
故选：A
7．A
【详解】由过的直线与交于，两点，得，
所以，即，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
由，得，所以，
所以，即，所以或；
由，得，即，所以，
所以-离心率的范围为.
8．B
【详解】对于选项A，令，则，
整理得，
解得或；
若，令，则，
即，这与函数不恒为0矛盾，
所以，选项A错误；
对于选项B，令，
则，
所以；
用代替，则，
再用代替，则；
所以函数周期为4，选项B正确；
对于选项C，因为函数周期为4，
所以，
令，则，即，
因为，
所以，所以，选项C错误；
对于选项D，令，则，
即，
因为，所以，即，
为偶函数，选项D错误.
故选：B
9．BC
【详解】对于A，，但，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，，
又，所以，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，故C正确；
对于D，，当且仅当或时取等号，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确；
因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
因为，所以，则，则，
在中利用余弦定理可得，，
则，
当为中线时，，则，
即，得，故B正确；
当为高线时，，得，故C错误；
当为角平分线时，则，
由，得，
则，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【详解】如图所示，在直角中，由，，可得，
即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则高为，
对于A，圆锥的侧面积为，所以A正确；
对于B，大圆锥的体积为，
因为为中点时，过作平行于圆锥底面的平面，可得，
所以小圆锥的体积为，
所以截圆锥所得台体的体积为，所以B正确；
对于C，设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，可得，
因为点为此圆锥底面圆周上一点，且，可得点是弧的中点，
如图（2）所示，可得，过点作，
在直角中，可得，
所以点不是三等分点，所以C错误；

对于D，设铁球的最大半径，则圆锥的轴截面为等腰三角形，且底边为，高为，
当三个铁球两两相切且与圆锥相切时，铁球的半径最大，
此时，圆锥的轴截面中，三个铁球的球心构成一个等边三角形，边长为，
可得,，，
所以，解得，所以D正确.
故选：ABD.
12．一
【详解】由可得：
，
所以在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限.
故答案为：一.
13．
【详解】因为圆与轴正半轴相切，且圆心在直线上，
设圆心为，，则半径，
且圆心到直线的距离，
又因为圆被直线截得的弦长为，解得，
即圆心，则半径，所以圆的标准方程为.
故答案为：.
14．
【详解】画出的图象，如下：

故时，，当时，，
由①，或，可知，当时，，
故二次函数开口向下，所以，
其中，要想满足时，，
需满足，解得，
又，，故存在时，使得，
结合二次函数特征可知，，解得，
综上，.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证法一：取的中点，连接，，
因为，分别为棱，的中点，
所以且，
又因为为中点，所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
证法二：
取的中点，连接，，
因为且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
因为，分别为，的中点，所以.
又因为平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）解法一：
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，
取，则，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：
连接，过点作直线的垂线，垂足为，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，即平面，
因为，为棱的中点，所以，，
在中，，
即，故，
设直线与平面所成的角为，
在直角三角形，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，
又因为，所以，即.
所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
则，所以.
（2）设数列公差为，
由（1）知，，
因为为与的等差中项，所以，
又因为，则.
所以.
解法一：
当时，，
当时，，
.
综上，数列的前项和.
解法二：
记数列前项和为，则
.
又因为，
当时，.
当时，
.
综上，数列的前项和
17．(1)分布列见解析，2.7
(2)
(3)
【详解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2，3，则，
所以，
，
，
，
所以的分布列：
所以.
（2）设事件“系统正常工作”，
则
.
（3）设“系统发生故障”，“主服务器正常工作”，
则，
，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题，，
所以，
所以的图象在点处的切线方程为即.
（2）由（1）可知，
因为，所以，
当时，，，
当时，，，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为.
（3）因为
要使函数在区间上有三个极值点，
则函数在区间上有三个不同的变号零点，
令，
则，
当时，令或或或，
故存在使得即，
所以当时；当时；当时，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
作直线与函数的图象如图所示：
由图可知直线与函数的图象有3个不同的交点时，
所以函数在区间上有三个不同的变号零点，实数的取值范围为.
19．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）设双曲线的方程为：，
由题可知，，得.
所以的方程为，
由图可得，实轴顶点坐标，在绕原点逆时针旋转后得到的点的坐标，
所以反比例曲线经过点，即可得，
所以的方程为.
（2）
由于等腰直角，所以，，
设，当时，.
代入，得，
所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列.
所以，，
故的面积为.
（3）解法一：设，，.
不影响一般性，不妨设为直角顶点.
记的面积为，则，
依题，，即，，，
又，
即.
将代入上式整理得，
将代入上式得.
情形一：，此时，，，
所以.
令，则，
令，，
，
知时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以，此时.
情形二：，此时，，，
此时，同情形一
综上，的面积的最小值为.
解法二：不影响一般性，不妨设为直角顶点.
设，，
记的面积为，则.
不妨设，，，
因为，在上，，
整理得①
②
①+②得，即，③
①②得，
将③代入上式得，
所以
，
所以④
以下取满足条件的一组值，不妨设，
结合且，
得，，
由③知，④式等号成立.1
2
3
4
5
0.8
2.9
4.8
7.2
9.1
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729