北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三下学期数学统练（3）试卷（Word版附解析）

这是一份北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三下学期数学统练（3）试卷（Word版附解析），共54页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）
1. 已知复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，则的元素个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（ ）

A. 2B. -2C. D. -1
4. 若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（ ）
A. -240B. 240C. 15D. -15
5. 今年高三的“节”活动引用了漫画《龙珠》.在原著中卡林塔上的猫仙人种植了一种仙豆，可以帮助主角疗伤和增长战斗力.仙豆共有7颗，从小到大可以增加的战斗力构成一个递增的等差数列.在下一场挑战前，主角将7颗仙豆全部吃掉，增加21000的战斗力，击败了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的战斗力，那么最小的仙豆可以增加的战斗力为（ ）
A. 1800B. 2100C. 3600D. 3900
6. 双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（ ）
A 13B. 1或13C. 10D. 4或10
7. 北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（ ）

A B. C. D.
8. 已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
9. 已知值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知无穷数列满足：，，，，其中表示不超过的最大整数.则下列说法中正确的是（ ）
A. 对于任意，，都不是常数列
B. 存在正数，，使得是递增数列
C. 对于任意正数，q，都存在正整数，使得是周期数列
D. 如果是常数列，则一定有
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11. 抛物线的准线方程是_______.
12. 不等式的解集为_______.
13. 已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积______，体积_______.
14. 已知函数，将的图象向左移动个单位后得到的图象对应的函数为，若函数的最大值是一个小于的正数，则一个符合条件的_______.
15. 已知函数，
①当，时，恰有1个零点；
②若，则对于任意的，都有零点；
③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一；
④当时，存在的取值，使得有3个零点.
其中所有正确结论的序号是：_______.
三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.请在答题纸上的相应位置作答.）
16. 已知三棱锥，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面，是棱的中点，在棱上，满足平面.

（1）求的值；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 在中，，
（1）求的值.
（2）从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积.
①边上的高为7；
②；
③边上的中线长5.
18. 某次测验满分100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表：
对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀.
（1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率；
（2）从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率，
19. 椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值.
20. 已知函数，.
（1）求斜率为1的切线方程；
（2）若对于任意，任意，总有，求的最大值；
（3）若有4个极值点，求的取值范围.
21. 已知有穷数列：，，满足，，且恰有项为. 定义，其中，. 对于给定的正整数，若正整数满足，则称是一个“险胜时刻”.
（1）对于满足的数列：，写出全部的“险胜时刻”.
（2）当时，数列：中“险胜时刻”最多有多少个?
（3）求的所有可能值，使得数列：一定存在“险胜时刻”.
A
76
78
83
84
85
90
92
95
98
99
B
63
72
73
75
80
81
84
85
92
99