浙江省温州市双潮乡中学2025-2026学年九年级下学期 数学第一次月考试题

这是一份浙江省温州市双潮乡中学2025-2026学年九年级下学期 数学第一次月考试题，共21页。试卷主要包含了下列各式运算正确的是，在平面直角坐标系中，将点，下列命题中是真命题的是，若点M等内容，欢迎下载使用。
1．我市某天最高温度是11°C，最低气温是零下3°C，那么当天的最大温差是（ ）
A．8°CB．﹣8°CC．14°CD．﹣14°C
2．玉龙沙湖旅游区，坐落于内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗乌丹镇东北部，位于素有八百里瀚海之称的科尔沁沙地的西缘．这里距北京、沈阳、大连等地均在500公里内，被誉为距离北京最近最美的大漠旅游区．玉龙沙湖占地100000000平方米．该旅游区集沙漠、湖泊、湿地、草甸、奇松于一体，是国家AAAA级旅游景区．100000000用科学记数法可表示为（ ）
A．1×107B．10×107C．1×108D．1×109
3．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式运算正确的是（ ）
A．x+x＝x2B．a5﹣a4＝a
C．3a2b﹣2a2b＝1D．﹣x3+3x3＝2x3
5．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为偶数的概率是（ ）
A．12B．29C．49D．13
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O成位似关系．点A，D在x轴上，且AD＝2OA，若点C的坐标为（2，1），则点F的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（3，6）C．（4，2）D．（6，3）
7．在平面直角坐标系中，将点（﹣3，5）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1）B．（1，5）C．（﹣3，9）D．（﹣7，5）
8．下列命题中是真命题的是（ ）
A．点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是2
B．立方根等于其本身的数是0和1
C．若关于x的一元一次不等式组x≤mx＞1无解，则m≤1
D．若两个角的两边分别平行，则这两个角相等．
9．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝﹣x2+4x上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则当A′C取得最小值时，则∠DCA′的正弦值为（ ）
A．3B．2114C．27−2D．35
二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2﹣2023x＝ ．
12．若分式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．不等式组2x+9≥38−2x3＞2的解为 ．
14．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝ ．
15．如图，M为双曲线y=3x（x＞0）上的一点，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C两点．若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD•BC的值为 ．
16．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，BD与AE交于点F，连接CF，若CEBE=12，则S△ABFS△CDF= ．
三．解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）计算：12+6−|3−22|+(−15)−1．
18．（9分）解方程：
（1）xx−1=x−12x−2；
（2）2xx−2=1+1x−2．
19．（9分）在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝EF．
（2）已知AB＝4，AF＝6，求AD的长．
20．（9分）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100．
七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）该校八年级共50人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数．
21．（9分）寒假期间，小明和小红在A处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点C处，小明家在点D处，小红家在点B处，点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点C在点D的东北方向，且AB＝200米，BC＝800米．
（1）求小明家到学校的距离CD的长度（结果保留根号）；
（2）小明和小红同时从A处出发，两人先各自回家取书包．再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到十分位）
22．（9分）如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
23（9分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
24．（9分）如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设AFDM=x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当AF2DM2=OEOB时，求OGCN的值．
参考答案
一．选择题
二．填空题
11．x（x﹣2023）．
12．x≠3．
13．﹣3≤x＜1．
14．129°．
15．6．
16．23．
三．解答题
17．解：12+6−|3−22|+(−15)−1
=23+6−(3−22)−5
=23+6−3+22−5
=23+6+22−8．
18．解：（1）xx−1=x−12x−2，
方程两边同时乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入2（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1；
（2）2xx−2=1+1x−2．
方程两边同时乘x﹣2，得2x＝x﹣2+1
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
19．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°
∵E为CD中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△CEF中，
∠D=∠CDE=CE∠DEA=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF（ASA）
∴AE＝EF．
（2）解：由（1）△ADE≌△CEF，得出AD＝CF，
∵AD＝BC，
∴BC＝CF＝AD，
在Rt△ABF中，
BF=AF2−AB2=62−42=25，
∴AD=12BF=5．
20．解：（1）把七年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90，96，故中位数a=90+962=93；
在七年级10名学生的成绩中，96出现的次数最多，故众数b＝96．
故答案为：93；96；
（2）因为八年级的中位数是93，八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94，
所以有5个学生的成绩比93大，所以被抽取的10名学生的成绩有7人成绩优秀，
50×710=35（人）．
答：估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数大约有35人．
21．解：（1）如图：
由题意得：AE＝CF，∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CDF＝45°，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴EB＝BC•cs60°＝800×12=400（米），
∵AB＝200米，
∴CF＝AE＝AB+BE＝200+400＝600（米），
在Rt△CDF中，CD=CFsin45°=60022=6002（米），
∴小明家到学校的距离CD的长度为6002米；
（2）小红先到达学校自习室，
理由：由题意得：CE＝AF，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC•sin60°＝800×32=4003（米），
∴AF＝CE＝4003（米），
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，CF＝600米，
∴DF=CFtan45°=600（米），
∴AD＝AF﹣DF＝（4003−600）米，
∵小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，
∴小明需要的时间=AD+CD40=4003−600+600240≈23.5（分）；
小红需要的时间=AB+BC45=200+80045≈22.2（分），
∵22.2分＜23.5分，
∴小红先到达学校自习室．
22．解：（1）二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
9a−6+c=0c=−3，
解得：a=1c=−3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
3k+b=0b=−3，
解得：k=1b=−3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴PM=a−3−a2+2a+3=−a2+3a=−(a−32)2+94，
当a=32时，PMmax=94，
∴S△PBC=12PM⋅3=32×94=278，
∴△PBC面积的最大值为278，
∴P(32，−154)；
（3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y′的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y′的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y′的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为(32，−32)，
依意得：2+m2=32d+n2=−32，
解得：m=1d+n=−3，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：d−n=±17，
联立得：d−n=±17d+n=−3，
解得：n=−3±172，
∴点E的坐标为(1，−3−172)或(1，−3+172)．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或(1，−3−172)或(1，−3+172)．
23．解：（1）抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．将点（1，0）代入得：
1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝3，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xC＝2xB，
∴xB+xC2=32xB=3，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，
m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
24．（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DF=12AB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴OD=12AC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴ODOF=y，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m=y2+12⋅a，
∴x=AFDM=ODDM=ayy2+12⋅a=2yy2+1，
∴y=2−4−4x22x或y=2+4−4x22x，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴OEOB=EMDM=OMDM，
∵AF2DM2=OEOB，
∴OD2DM2=OMDM，
∴OD2＝OM•DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM•DM﹣DM2＝0，
∴OMDM=−1+52或OMDM=−1−52（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CN=23OC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴OGCG=OMCD，
∴OGOG+CG=OMOM+CD，
∵OF＝CD，
∴OGOC=OMOM+OF=OMOM+(OM+FM)，
∵FM＝DM，
∴OGOC=OM2OM+DM=OMDM2⋅OMDM+1=5−125=5−510，
∴OG=5−510⋅OC，
∴OGCN=15−3520．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
a
b
34.6
八年级
92
93
100
41.4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C．
A
D．
D
D
B
C
C
B