河南许昌市长葛市求实学校2025-2026学年九年级下学期3月学情自测 数学试题

这是一份河南许昌市长葛市求实学校2025-2026学年九年级下学期3月学情自测 数学试题，共5页。试卷主要包含了如表为几种常见物质的凝固点，已知关于x的方程kx2+等内容，欢迎下载使用。
1．如表为几种常见物质的凝固点．其中凝固点最低的是（ ）
A．水B．豆油C．酒精D．水银
2．若π取3.14，则下面图形中，圆柱的展开图是（ ）
A．B．C．D．
3．王叔叔想通过跑步锻炼身体，第一周计划每天跑5000m，按照计划第一周跑步的总路程用科学记数法表示为（ ）
A．35×103mB．3.5×103mC．3.5×104mD．0.35×105m
4．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1+∠2＝100°，则∠3等于（ ）
A．50°B．100°C．130°D．180°
5．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法中正确的是（ ）
A．当k＝0时，方程无解
B．当k＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数根
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ）
A．65平方里B．60平方里C．325平方里D．30平方里
7．计算aa2−b2+bb2−a2的结果等于（ ）
A．a﹣bB．a+bC．1a−bD．1a+b
8．在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，任意摸出2个球，都是黄色乒乓球的概率是（ ）
A．35B．23C．310D．12
9．如图，Rt△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB﹣BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为（ ）
A．48B．52C．56D．60
10．很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（如图①中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图②），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图③．下列说法不正确的是（ ）
A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小
B．当0g/m3时，R1的阻值小于50Ω
C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态
D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态
二．填空题（每题3分，满分15分）
11．若5−x在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值： ．
12．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为 h．
13．按规律填写：13，−25，37，−49，511，−613，…，那么第20个数是 ．
14．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10cm，以BC为直径画半圆O，如果阴影甲的面积等于阴影乙的面积，那么AC长为 cm．
15．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是边BC上一点，M是边AB上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）计算：
（1）cs260°+cs230°﹣tan45°；
（2）(13)−1+|1−3|−2sin60°+(π−2023)0−8．
17．（9分）“禾下乘凉梦”是袁隆平院士追逐一生的“梦”．小鹭受到袁隆平院士精神的感召，查阅相关资料发现水稻在不同浓度的营养液中生长情况不同．他想利用已学的知识设计实验，探究同种营养液的不同浓度对某品种水稻生长情况的影响．
小鹭培育了某品种水稻苗30株，计划在水稻拔节期选出长势相近的水稻苗15株（仅考虑高度差别），平均分为三组进行培育．培育环境除营养液浓度外其余条件均相同．
小鹭测量得到30株水稻苗在水稻拔节期时的高度x（单位：mm）如下：
（1）小鹭为选出15株水稻苗，对以上数据进行整理．
步骤一：最大值为 ；最小值为 ；最大值与最小值的差为 ；
步骤二：将组距确定为5，完成以下频数分布表（请结合分组情况适当添加表格行数）；
（2）结合数据整理结果，你认为小鹭该选择高度在哪个范围的水稻苗，为什么？
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x＞0)的图象如图所示，矩形ABCD在第一象限内，AB平行于x轴，且AB＝2，BC＝1，点A的坐标为（2，1）．
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式．
19．（9分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．
（1）用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．（只保留作图痕迹）
（2）求证：四边形OCFD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
又∵AC⊥CF，
∴∠ACF＝90°，
∴∠COD+∠ACF＝180°，
∴CF∥BD，
∴ ，
∵E是CD中点，
∴ ，
在△ODE和△FCE中，
∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，
∴△ODE≌△FCE（ASA），
∴ ，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形OCFD是矩形．
20．（9分）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本1200元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本880元．
（1）求一束康乃馨和一束百合花的成本价各多少元；
（2）若花店共进康乃馨，百合花两款花束共100束，其中一束康乃馨售价为120元，一束百合花售价为220元，设销售康乃馨x束，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售花束的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该花店设计一个配货方案，并求出其所获利润的最大值．
21．（9分）阅读材料，解决问题．
（1）在所给的图形中，确定光源的位置，用点P表示；画出水平竹竿EF在地面的影子，用线段MN表示；
（2）在光源P的照射范围内，移动竹竿EF，其影长的变化情况是：EF向左平移时的影长 ，EF向下平移时的影长 ；（填“变小”“变大”或“不变”）
（3）已知竹竿EF的长度为2米，光源P到地面的距离为5米．设EF与地面的距离为x米（0＜x＜5），影长MN为y米，求y关于x的函数关系式．
22．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求|MH﹣DH|的最大值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）如图①所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B在y轴上，连接AB，∠BAO＝30°，动点C从点B出发沿射线BO方向运动，点C、F关于直线AB对称，连接CF交AB于点E．
（1）请直接写出∠BFC的度数；
（2）如图②，当点C运动到与点O重合时，求证：AF＝OF；
（3）如图③，当点C运动到y轴的负半轴且恰好有∠BFA＝75°时，设CF与x轴正半轴交于点G，若BE＝4，求证：△AFG≌△FAB，并直接写出此时点G的坐标．
参考答案
一．选择题
二．填空题
11．0（答案不唯一、所填的数不大于5均正确）．
12．8．
13．−2041．
14．52π．
15．65．
三．解答题
16．解：（1）原式=(12)2+(32)2−1
=14+34−1
＝0；
（2）原式=3+3−1−2×32+1−22
=3+3−1−3+1−22
=3−22．
17．解：（1）步骤一：最大值为78；最小值为45；最大值与最小值的差为33；
故答案为：78，45，33；
步骤二：将组距确定为5，完成以下频数分布表（请结合分组情况适当添加表格行数）；
（2）小鹭该选择高度在55≤x＜65（去掉55和56 即可）这个范围的水稻苗，理由为：这个范围中的数据最多，最集中．
18．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB＝2，BC＝1，点A的坐标为（2，1），
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝1，
∴B（4，1），C（4，2），D（2，2）；
（2）猜想：A、C落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后点A的坐标是（2，1﹣m），点C的坐标是（4，2﹣m），
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴k＝2（1﹣m）＝4（2﹣m），
解得m＝3，
即矩形平移后A的坐标是（2，﹣2），代入反比例函数的解析式得：k＝2×（﹣2）＝﹣4，
即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=−4x．
19．（1）解：如图所示.
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
又∵AC⊥CF，
∴∠ACF＝90°，
∴∠COD+∠ACF＝180°，
∴CF∥BD，
∴∠DOE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴DE＝CE，
在△ODE和△FCE中，
∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，
∴△ODE≌△FCE（ASA），
∴CF＝OD，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵∠ACF＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
故答案为：∠DOE＝∠FCE；DE＝CE；CF＝OD；∠ACF＝90°．
20．解：（1）设一束康乃馨的成本价为m元，一束百合花的成本价为n元，
根据题意得：5m+5n=12003m+4n=880，
解得m=80n=160，
∴一束康乃馨的成本价为80元，一束百合花的成本价为160元；
（2）①根据题意得：W＝（120﹣80）x+（220﹣160）（100﹣x）＝﹣20x+6000，
∴W关于x的函数关系式为W＝﹣20x+6000；
②∵所获利润不低于进货价格的45%，
∴﹣20x+6000≥45%[80x+160（100﹣x）]，
解得x≥75；
在W＝﹣20x+6000中，W随x的增大而减小，
∴当x＝75时，W取最大值﹣20×75+6000＝4500，
此时100﹣x＝100﹣75＝25，
∴销售康乃馨75束，百合花25束，利润最大，最大利润为4500元．
21．解：（1）如图，点P为光源的位置，MN为EF的影子；
（2）在光源P的照射范围内，移动竹竿EF，
EF向下平移时，光源高度没变，竹竿高度变低，竹竿到光源的距离变大，离光源越远，影长越短，所以其影长变小；
EF向左平移时，光源和竹竿高度都没有发生变化，所以其影长不变；
故答案为：不变，变小；
（3）过P作PQ⊥直线MN，交直线EF于点L，
依题意，LQ＝x，PL＝5﹣x，EF＝2，PQ＝5，
∵EF∥MN，
∴PLPQ=PEPM，且∠PFE＝∠PNM，∠PEF＝∠PMN，
∴△PEF∽△PMN，
∴PEPM=EFMN，
∴PLPQ=EFMN，
∴5−x5=2y．
∴y=105−x(0＜x＜5)．
22．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴−1−b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+s，
把A（﹣1，0），M（1，4）代入，得−k+s=0k+s=4，
解得k=2s=2，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴D（0，2），
∵|MH﹣DH|≤DM，
∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，|MH﹣DH|的值最大，
最大值=DM=12+(4−2)2=5；
（3）解：存在；y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
设P（p，t），Q（1，n），
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①DM为对角线时：1+p=0+1t+n=4+2，
∴p=0t+n=6，
当p＝0时，t＝3，
∴n＝3，
∵Q（1，3）；
②当DP为对角线时：0+p=1+12+t=4+n，
∴p=22+t=4+n，
当p＝2时，t＝﹣22+2×2+3＝3，
∴n＝1，
∵Q（1，1）；
③当MP为对角线时：1+p=0+14+t=2+n，
∴p=0n−t=2，
∵当 p＝0时，t＝3，
∴n＝5，
∴Q（1，5），
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q（1，3）或Q（1，1）或Q（1，5）．
23．（1）解：∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵点C、F关于直线AB对称，
∴∠ABC＝∠ABF＝60°，BC＝BF，
∴∠CBF＝120°，
∴∠BFC=180°−120°2=30°；
（2）证明：∵点C、F关于直线AB对称，点C与点O重合，
∴AO＝AF，∠OAB＝∠FAB＝30°，
∴∠OAF＝60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF＝OF，
（3）证明：∵点C、F关于直线AB对称，
∴FE＝EC，FC⊥BA，
∴∠AGE＝90°﹣∠BAO＝60°，
由（1）知∠FBE＝60°，
∴∠AGE＝∠FBE，
在△ABF中，
∠FAB＝180°﹣∠BFA﹣∠FBA＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵∠BFA＝75°，∠BFE＝30°，
∴∠GFA＝45°，
∴∠FAB＝∠GFA，
∴AE＝EF，
在△AFG和△FAB中，
∠AGF=∠ABF∠AFG=∠BAFAF=FA，
∴△AFG≌△FAB（AAS），
∴AG＝BF，
∵BE＝4，FC⊥BA，∠BFC＝30°，
∴BF＝AG＝8，
∴OG＝10﹣8＝2，
∴此时点G的坐标为G（2，0）．物质
水
豆油
酒精
水银
凝固点（℃）
0
﹣18
﹣117
﹣39
78
67
63
60
63
50
70
56
72
61
50
65
57
61
64
57
54
60
53
55
45
61
59
63
66
68
51
62
56
62
高度分组
划记（用“正”字表示）
频数
45≤x＜50
一
1
通常，路灯、手电筒…的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动．
如图，在同一平面内，线段AB，CD表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段AG和CH，线段EF表示平行于地面并可移动的水平竹竿．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
C
D
D
C
B
D
高度分组
划记（用“正”字表示）
频数
45≤x＜50
一
1
50≤x＜55
正
5
55≤x＜60
正一
6
60≤x＜65
正正一
11
65≤x＜70
止
4
70≤x＜75
丅
2
75≤x＜80
一
1