北京市海淀区2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市海淀区2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了04， 已知集合，，则， 函数的图象一定经过点等内容，欢迎下载使用。
2025.04
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数的图象一定经过点（ ）
A. B.
C D.
4. 已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 0D. 1
5. 已知四个数，，，，其中最小的是（ ）
A B.
C. D.
6. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则（ ）
A. 1B.
C. D. 2
7. 已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（ ）
A. 1B.
C. D.
10. 对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（ ）
A. 若，则数列不具有性质
B. 若，则数列具有性质
C. 存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质
D. 若数列和均具有性质，则具有性质
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知，则________．
12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________．
13. 已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________．
14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________．
15. 如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：
①；
②最大值是35；
③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；
④存在，使得时到的距离等于15米．
其中所有正确结论的序号为________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，五面体中，四边形是正方形．
（1）求证：；
（2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小．
17. 在中，已知，．
（1）求的值；
（2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．
（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；
（3）该工厂某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：
直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．
19. 已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且．
（1）求椭圆的方程及长轴长；
（2）已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由．
20. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线为，求的值；
（2）若为上单调函数，求的取值范围；
（3）若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点．
21. 设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记．
（1）若：，写出数列，；
（2）若为奇数且不常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列；
（3）求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列．
操作
经济损失
设备状态
保留观察
停机更换
检查维修
完好
0
10
5
损坏
12
5
7
发热情况
操作方案
编号
发热
未发热
①
检查维修
保留观察
②
停机更换
检查维修
③
停机更换
保留观察