【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题3.1平面直角坐标系练习（全国通用版）（解析版）

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专题1 平面直角坐标系
知识梳理
【考点一】平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
【考点二】点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
【考点三】各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
【考点四】坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
中点坐标公式：已知平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(x1+x22，y1+y22)
【考点五】两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等，x=y
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数，x= -y
【考点六】和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
【考点七】关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，点P(x，y)关于x轴对称的对称点的坐标是(x，－y)
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，点P(x，y)关于y轴对称的对称点的坐标是 (－x，y)
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，点P(x，y)关于原点对称的对称点的坐标是 (－x，－y)．
【考点八】点到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
【考点九】点的平移
点P(x,y)沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是（x±m,y）；点P(x,y)沿y轴向上（或向下）平移n个单位后对应点的坐标是（x,y±n）.
例题讲解
【题型一】坐标系基本概念辨析
◇典例1：
在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
根据点的横纵坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴点在第二象限．
故选：B．
◆变式训练
1.如果点在第二象限，则关于轴的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
根据点的横纵坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴点在第二象限．
故选：B．
2.在平面直角坐标系中，点在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，因此位于第四象限．
故答案为：四．
【题型二】点的坐标特征
◇典例2：
在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．轴正半轴上B．轴负半轴上C．轴正半轴上D．轴负半轴上
【答案】C
【分析】此题考查了点的坐标，根据在坐标轴上点的坐标特征进行解答即可；
根据点的坐标特征，纵坐标为0的点在轴上；横坐标为正时，点在轴正半轴上．
【详解】解：∵点的纵坐标，
∴该点在轴上。
又∵横坐标，
∴该点在轴正半轴，
故选：C．
◆变式训练
1.如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴．若， ， ， 则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，由轴， ， ， 则，过作轴于点，交于点，根据等腰三角形性质可得，又， ，则，所以，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵轴，，，
∴，
如图，过作轴于点，交于点，
∵轴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2.对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作于，由等边三角形的性质和勾股定理可得，，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵是等边三角形，边长为，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【题型三】对称点坐标特征
◇典例3：
在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的立方根为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，立方根，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列方程求解a和b，再计算的值，最后求立方根．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
解得，，
∴，
∴，即的立方根为1．
故选：C．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键．由平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征求解即可得到答案．
【详解】解：∵点关于y轴对称的点为，
∴，
故选：B．
2.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是利用“关于轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数”求出、的值．
根据关于轴对称的点的坐标规律，列等式求、，再计算的值．
【详解】解：点与点关于轴对称，
∴ ，，
解得，，
则，
故答案为：．
【题型四】点到坐标轴及原点的距离
◇典例4：
平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（ ）
A．B．4C．1D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴且，
∵点P到y轴的距离是4，
∴，
∴，
解得．
故选：A．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解．
【详解】解：设点坐标为，
∵点到轴的距离为3，
∴；
∵点到轴的距离为1，
∴；
又∵点P在第二象限，
∴．
∴．
∴点的坐标为．
故选：C．
2.在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据轴，可知点M与点N的横坐标相等，从而建立方程求解．
【详解】解：因为轴，点N的横坐标为，
所以点M的横坐标，
解得，
代入点M的纵坐标，
故点M的坐标为(−1,3)，
故答案为：．
【题型五】平行与坐标轴的直线上的坐标特点
◇典例5：
已知直线轴，且，则的长为( )
A．4B．5C．9D．15
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离．由轴可知点与点的横坐标相等，据此求出的值，再计算纵坐标之差的绝对值即为的长度．
【详解】解：轴，
点与点的横坐标相等，
即，
，
．
此时点的纵坐标为，点的纵坐标为，
的长度为．
故选：B．
◆变式训练
1.已知M、N两点分居y轴两侧，且轴，，则点N坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的线段的坐标特征，熟练掌握“平行于x轴的线段上的点纵坐标相等”及“两点间距离的坐标计算方法”是解题的关键．
先根据“轴”确定N的纵坐标，再结合“M、N分居y轴两侧”确定N的横坐标符号，最后通过“”计算N的横坐标．
【详解】解：设N点坐标为．
∵ 轴，
∴ ．
∵ 在y轴左侧，且M、N分居y轴两侧，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 或．
若，则（不符合，舍去）；
若，则．
∴ N点坐标为．
故选：A．
2.已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．
根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，列方程求解即可．
【详解】解：∵直线轴，
∴点和点的横坐标相等，
即，
解得，
代入点的纵坐标，得，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【题型六】图形平移与坐标变化
◇典例6：
在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是，即．
故选：B．
◆变式训练
1.点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的平移，由已知可得，，进而得到线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，即得到，，再代入代数式计算即可求解，由对应点坐标的变化得出平移的方式是解题的关键．
【详解】解：∵点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，
∴，，
∵将线段平移至，点，的坐标分别为，，
∴线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，
∴，，
∴，
故选：．
2.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标．
【详解】解：∵矩形的顶点，
∴点A的坐标为，
∵平移后点O的对应点的坐标为，
∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【题型七】用坐标描述地理位置
◇典例7：
王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查用数对表示位置，读懂题意，掌握数对表示位置的规则是解决问题的关键．先理解题中数对表示位置的规则，再由张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，确定张乐位置为第列、第排，即可确定答案．
【详解】解：李林坐在教室的第列，张乐与李林在同一列，则张乐在教室的第列；
王伟坐在教室的第排，张乐在王伟的前一排，则张乐在教室的第排；
张乐的位置用数对表示是第列、第排，
即张乐的位置用数对表示是，
故选：B．
◆变式训练
1.妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数对与位置的关系，熟练掌握数对中列与行的表示规则是解题的关键．根据妙妙座位的记法，明确数对中列数在前、行数在后的规则，据此确定东东座位的数对表示．
【详解】解：∵ 妙妙座位第3列第6行，记作，即数对中第一个数表示列，第二个数表示行，
东东座位是第7列第4行，
∴ 记作，
故选：．
2.如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为，，按照此方法在表示目标E的位置为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，结合目标A，B的位置表示为，，故观察图中，得目标E的位置为，即可作答．
【详解】解：∵目标A，B的位置表示为，，
∴观察图中，得目标E的位置为，
故答案为：．
【题型八】由坐标确定图形形状与面积
◇典例8：
如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（ ）
A．B．C．或D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解．
【详解】解：∵，的面积为，
∴，即，
解得：，
当点在左侧时，，
当点在右侧时，，
∵动点在轴上，
∴，
综上可得点坐标为或，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵，
故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点，
物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，如图，
此时相遇点的坐标为：，
故选：B．
2.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查最短距离，全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，得，可证，将转化到上，轴时为最小值，即可求得答案．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，
∵点A的坐标为，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
即轴时，有最小值，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【题型九】简单旋转后的点的坐标
◇典例9：
如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到等边，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．设与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出、，然后写出点的坐标即可．
【详解】解：如图，设与x轴相交于C，

∵是等边三角形，旋转角为，
∴，
∴轴，
∵等边的边长为2，
∴，
∵，
∴，，
又∵在第四象限，
∴点的坐标为
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，勾股定理求出，，勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：作，交y轴于点F，
的坐标为
∴，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
∵是等边三角形，
∴
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
2.如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于C点，
是等边三角形，
，
由旋转可知：，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【题型十】坐标规律探究
◇典例10：
如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标变化规律；由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，然后问题可求解．
【详解】解：由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，
∵，
∴第2025次运动后，动点P的坐标为；
故选D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．观察图形可以看出；；每个为一组，由于，在负半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组，
，
在负半轴，纵坐标为，
的横坐标分别为，
则的横坐标为,
的横坐标为，
的坐标为．
故选：C．
2.如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、…的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点，，，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
由此可见，点的坐标可表示为，点的坐标可表示为
当时，
点的坐标为，
所以点的坐标为
故答案为：．
【题型十一】动点坐标表示及分类讨论
◇典例11：
如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数：
(3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为
(2)
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图象性质．
（1）根据非负数的性质易得，，从而得出点A，C的坐标，然后根据轴交x轴于点B得出点B的坐标；
（2）过点E作，根据平行线性质得，且，，所以，然后把代入计算即可；
（3）分类讨论：设P，Q点运动的时间为t，①当点P在y轴正半轴上，设，；②当点P在y轴负半轴上时，设点P的坐标为，，利用可得到关于t的方程，再解方程求出t，从而求得点P的坐标．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，，
解得，，
又∵，，
∴点A坐标为，点C坐标为，
∵轴交x轴于点B，
∴点B的坐标为，
即点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
（2）解：如图，过点E作，

∵轴，
∴轴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，分别平分，，
∴，，
∴．
（3）解：由题意知，设P，Q点运动的时间为t，
当点P在y轴正半轴上，如图：
设点P的坐标为，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得（负值舍去），
∴点P的坐标为；
②当点P在y轴负半轴上时，如图：
设点P的坐标为，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
◆变式训练
1.如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)．
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______；
(3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？
【答案】(1)，，
(2)
(3)点的移动时间为3秒或秒
【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标确定、点的运动路径与距离计算，解题的关键是利用非负数的性质求出、的值，结合点的运动路径分析各阶段位置．
（1）由非负数的性质得、，再据轴确定的坐标；
（2）计算3秒运动的距离，结合各段路径长度确定点的位置；
（3）分段和段两种情况，据到轴距离求出路径长，进而算时间．
【详解】（1）解：∵，
∴，，得，，
∴，，
∵轴，在轴上，
∴
（2）解：点3秒运动的距离：，，，，
∴在段，从出发走了，
故答案为：
（3）解：①当在段时，到轴距离为3，
路径长：，时间：（秒）；
②当在段时，到轴距离为3，
路径长：，时间：（秒）；
答：点的移动时间为3秒或秒．
【题型十二】坐标与几何图形综合
◇典例12：
长方形位于平面直角坐标系中平行移动．
(1)如图1，若轴且点A的坐标，点C的坐标为，在边上有动点P，过点P作直线交边于点Q，并使得．
①当时，求P点的坐标．
②当在直线上存在一点M，使得是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标．
(2)如图2，若轴且A、B关于x轴对称，连接、、，且平分，求证：
【答案】(1)（1）①点；②点M坐标为或
(2)证明见解析
【分析】（1）①根据矩形的性质颗求出和的长度，再根据及，求出、的长，从而得到P点的坐标；
②分类讨论，当时，过点作于点，证得四边形是矩形，根据矩形的性质得到、，进而证得，根据全等三角形的性质得到、
结合，求出的长，从而得到点的坐标；
当时，证得，进而证得，根据全等三角形的性质得到、，结合，求出的长，从而得到点的坐标；
（2）令与轴的交点为，连接，根据矩形的性质证得和，进而证得，根据角平分线的性质和平行的性质，证得，进而证得，根据等边对等角的性质，证得，从而证得．
【详解】（1）①解：根据题意得，长方形中，轴且点A的坐标，点C的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
、
、
即
解得、
点的纵坐标为
点的坐标为；
②当时，过点作于点，
四边形是矩形，
、
、
、
、
、
点坐标为
点的坐标为；
当时，
、
、
、
、
，且
点坐标为
点的坐标为，
综上所述，点M坐标为或；
（2）证明：令与轴的交点为，连接，
、
轴、
轴
平分
．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质和利用分类讨论思想是解题的关键．
◆变式训练
1.如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
(1)如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______；
(2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)，；或
(2)①见解析；②的大小不变，为定值
【分析】（1）先根据非负性求出点的坐标为，点的坐标为，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可；
（2）①延长、，相交于点，证，得，再证，得，则，即可得出结论；②过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
分两种情况：①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，
轴，
，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
点；
②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，
同①得，
，，
，
，
，
点；
综上所述，点的坐标为或；
故答案为：，；或；
（2）①证明：如图2，延长、，相交于点，
，
，
，，
，
又，
，
，
是的角平分线，
，
，，
，
，
，
；
②的大小不变，为定值，理由如下：
如图3，过点作于点，于点，
则，
，
，
由①可知，，
，
，
是的角平分线，
，
即的大小不变，为定值．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
真题在线
一、单选题
1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可．
【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、，
∴建立直角坐标系如下：
，
∴“强”的坐标为，
故选：B
2．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限．
先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限．
【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，
已知点，则其关于轴对称的点的坐标为
故选：B．
3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键．
根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解．
【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标是，
故选：C．
4．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】D
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，点在第四象限；
故选D．
5．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴点在第二象限；
故选B．
6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（ ）
A．14B．11C．10D．9
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可．
【详解】解∶过A作于M，过B作于N，
∵，，，，
∴，，，，
∴，，
∴四边形的面积为
，
故选：D．
7．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（ ）
A．位置是B种瓷砖B．位置是B种瓷砖
C．位置是A种瓷砖D．位置是B种瓷砖
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；
根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可.
【详解】解：A种瓷砖的位置：，
，
B种瓷砖的位置：，
，
由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）；
∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；
位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；
位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；
位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；
故选：B.
8．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
二、填空题
9．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，在第四象限；
故答案为：四．
10．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可．
【详解】解：点在第三象限，
，
解得，
即的取值范围是，
故答案为：．
11．（2011·湖北十堰·中考真题）如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，点的纵坐标与点的纵坐标相等，从而即可得到点的坐标．
【详解】解：，，
，
为平行四边形，
，，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
点的坐标为，
故答案为：．
12．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，每4个点一循环，
∵，
点与，，等点的纵坐标相等且为0，横坐标为序号的一半，即，
∴点的坐标，
故答案为：．
三、解答题
13．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）．
(1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标；
(2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形．
【答案】(1)见解析，，；
(2)见解析．
【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标；
（）根据平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，
∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是；
（2）解：画出平移后的菱形，如图所示．
14．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)40
(3)(答案不唯一)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．
（1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出．
（2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．
（3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标．
【详解】（1）解：如下图所示：

（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
15．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
【答案】点在第一象限或点在第二象限
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可．
【详解】解：
或
，；
，
解得：；
∴当，时，，，点在第一象限；
当，时，，，点在第二象限；
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键．
专项练习
一、单选题
1．小明在教室的座位是第3列第5行，若用有序数对表示为，那么小华坐在第5列第2行应表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是有序数对的含义，根据有序数对的定义，第一个数表示列，第二个数表示行，小华的位置是第5列第2行，因此对应有序数对．
【详解】解：∵小明的位置表示第3列第5行，
∴有序数对的第一个数为列，第二个数为行，
∵小华在第5列第2行，
∴应表示为．
故选：A
2．抛物线的顶点坐标在第几象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征．
由抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标，再根据象限的符号特征判断所在象限．
【详解】解：∵抛物线是顶点式，
∴顶点坐标为，
∵，
∴点在第四象限．
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．点在x轴上
B．点在第二象限
C．若，则点在第一或第三象限
D．点到x轴的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A和B涉及点的位置判断，选项C涉及时点的象限，选项D涉及点到x轴的距离计算．
【详解】解：∵点的y坐标不为0，∴点P不在x轴上，A错误；
∵点的纵坐标为0，∴点Q在x轴上，不在任何象限，B错误；
∵，∴a和b同号，点在第一或第三象限，C正确；
∵点到x轴的距离为，∴D错误．
故选：C．
4．已知点在x轴上，则A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标，掌握x轴上所有点纵坐标为0是解题的关键．
根据x轴上所有点纵坐标为0，得到，解得，再代入，即可求解．
【详解】解：点在x轴上，
，解得，
点A的坐标是．
故选：C．
5．已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据的长度，得计算B点的纵坐标即可．
本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：根据A点的坐标为，轴，
得到，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
故B点的坐标为或，
故选：C．
6．若点在第二象限，则点到轴，轴的距离分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
根据第二象限点的坐标特征确定和的符号，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值．
【详解】解：∵点在第二象限，
， ．
∴点到轴的距离为，
点到轴的距离为．
故选：D．
7．为等边三角形，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质和平面直角坐标系中点的特征，利用等边三角形的性质求解点的坐标是解题的关键．
首先作辅助线构造直角三角形，再利用等边三角形的性质求解点B的横坐标，最后利用勾股定理求点B的纵坐标，最后确定点B的坐标即可．
【详解】解：如图，过点B作于点C，
∵为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵点B在第一象限，
∴，
故选：D．
8．已知．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形经多次变换后的规律，通过计算前几次变换，发现规律：奇数次变换后点的纵坐标为，横坐标为2减去变换次数；偶数次变换后点的纵坐标为2，横坐标为2减去变换次数，2024是偶数，即可得出点M的坐标．
【详解】解：∵点，
第一次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得；
第二次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得；
第三次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得；
第四次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得；
…
∴第n次变换后，若n为奇数，则点M坐标为；
若n为偶数，则点M坐标为，
∵2024为偶数，
∴点M坐标为即．
故选：A．
9．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点坐标规律探索，找到正确的规律是解决本题的关键．
根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴经过一次变换为：，
经过二次变换为：，
经过三次变换为：，
经过四次变换为：，
∴变换周期为4，
∵，
∴．
故选D．
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标变化规律；由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，然后问题可求解．
【详解】解：由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，
∵，
∴第2025次运动后，动点P的坐标为；
故选D．
二、填空题
11．已知点在x轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查点在坐标轴上的特征， 解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
点A在x轴上，其纵坐标必为0，因此，即可求出a的值．
【详解】解：∵点在x轴上，
∴其纵坐标，
解得．
故答案为．
12．点P在第三象限，且到x轴距离为4，到y轴距离为3，则P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是点到坐标轴的距离的含义，象限内点的坐标特点，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第三象限点的坐标特征确定符号．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为4，
∴，
∴，
∵点P到y轴的距离为3，
∴，
∴，
又∵点P在第三象限，
∴，．
∴，．
∴点P的坐标为．
故答案为
13．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ，点P关于y轴对称的点在第 象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是 ．
【答案】 四
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称变换，包括关于坐标轴和特定直线的对称．关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，再根据坐标符号判断象限；关于直线对称时，利用对称公式计算横坐标，纵坐标不变．
【详解】解：点的坐标为，
关于轴对称，对称点为；
关于轴对称，对称点为．
由于横坐标，纵坐标，因此该点在第四象限．
关于直线对称：设对称点坐标为，根据对称性质，有，故对称点为．
故答案为：，四，．
14．如图，已知等腰，，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用全等得出点坐标．
过作轴于，过作轴于，根据全等三角形的性质得到．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
∵等腰，
，
，
，
，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时，
当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键．
【详解】解：设运动时间为秒，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴，，
∴，，
解得：，
∴；
当时，
∴，，
∴，，
解得：，
∴；
综上可知：或4．
故答案为：或4．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可．
【详解】解：如图，由题意，
∴与P重合，四次一个循环，
∵，
∴与重合，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)将向下平移个单位得到，并写出点的坐标；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【答案】(1)
作图见解析，点的坐标为
(2)作图见解析，点的坐标为
(3)
【分析】本题考查了网格作图，平移作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．
（1）利用平移的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）利用旋转的性质分别作出点，绕点逆时针旋转的对应点，，再顺次连接即可；
（3）先利用勾股定理求出的长，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（3）解：，，
在旋转过程中扫过的面积为．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称．
(1)写出点的坐标，并在图中画出点；
(2)画出关y轴对称的；
(3)求出的面积；
【答案】(1)，图见解析
(2)图见解析
(3)8
【分析】本题考查了平面直角坐标系中描点，根据点关于坐标轴对称的性质求点的坐标，作轴对称图形，三角形的面积．
（1）根据坐标关于轴对称的性质：关于轴对称点为，可求作出点坐标，然后描点即可；
（2）根据轴对称的性质作出，即可求解；
（3）利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点与点关于轴对称，
∴，
如图，
（2）解：如图，是所求作的图形；
（3）解：．
19．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即．
(1)求点的“特征值”．
(2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键.
()由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解；
()设点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点与坐标轴围成的三角形的面积即可.
【详解】（1）解：．
（2）设，由题意可知，．
点在第二象限，
，，
，
即，
点在直线上．
令直线与轴，轴分别交于点，则有，，
，．
．
20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．
(1)点到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，点A的“短距”为 ．
(2)若点是“完美点”，求a的值．
(3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”．
【答案】(1)2，3，2
(2)或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键；
（1）根据“短距”的定义解答即可；
（2）根据完美点的定义可得，即可求出答案；
（3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可．
【详解】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3．
∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”，
又∵，，
∴点的“短距”为2，
故答案为：2，3，2；
（2）解：由条件可知，
∴或，
解得或．
（3）解：点的长距为5，且点在第三象限内，
，
解得：，
，
点的坐标为，
点到轴、轴的距离都是8，
是“完美点”．
21．如图，已知点，点，点，且，满足．
(1)求点，，的坐标；
(2)若点的坐标为，点是第三象限内一点，，；
①求点的坐标；
②连接交轴于，求点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)①；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，及其与坐标轴的结合，以及完全平方公式的应用．利用判定三角形全等得到边长的相等关系，进而得到所求点的坐标是解题的关键．
（1）通过等式的变形来简化问题：已知，根据完全平方公式可以将其转化为，根据两个数的平方和等于，那么这两个数都为，得到点，，的坐标．
（2）①通过判定三角形全等得到边长的相等关系：通过作轴于，构造全等三角形，进而得到点的坐标；
②通过证明，进而得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，；
（2）①如图，作轴于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．