福建厦门市同安实验中学2026届高三下学期三月月考数学试题含答案

这是一份福建厦门市同安实验中学2026届高三下学期三月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 z=−1+i ，则 zz+1= ( )
A. −1+i B. -i C. 1−i D. 1+i
2. 已知集合 A=x∣y=x2,B=y∣y=x2 ，则 A∩B= ()
A. [0,+∞) B. ⌀ C. R D. {0,0}
3. 在 1−2x7 的展开式中,含 x2 项的系数是( )
A. 42 B. -42 C. 84 D. -84
4. 若 a,b>0 ,且 ab=4a+b+5 ,则 ab 的最小值为( )
A. 5 B. 17 C. 25 D. 36
5. 若 θ∈0,π2,tanπ2−θ=12 ,则 sinθ−csθ= ( )
A. −55 B. 55 C. −255 D. 255
6. 将函数 fx=sinωx+π3ω>0 的图象向左平移 π6 个单位长度后,得到函数 y=gx 的图象,若 gx 图象的一个对称中心为 π2,0 ,则 ω 的最小值为 ( )
A. 12 B. 1
C. 32 D. 2
7. 设 F1,F2 分别为双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的左右焦点,过 F2 的直线交双曲线右支于 A,B 两点,若 F1A=AB ,则双曲线的离心率可以是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知点 A2,0 ， B0,2 ， Pm,n 在曲线 x=1−y2 上，记 ∠APB=α ，则存在函数 fx ,对曲线上任意一点 P 都有( )
A. m=fα B. α=fm C. n=fα D. α=fn
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的三条边分别为 a,b,c ，则 △ABC 是等腰三角形的充分条件是( )
A. sinA=sinB B. acsA=bcsB
C. acsB=bcsA D. atanA=btanB
10. 如图,圆台的上下底面半径分别为 1 和 2,P,Q 分别为上下底面圆周上的点, ABCD 为圆台的轴截面且 AQ=2CP=2 ，则()

A. PQ 为母线
B. PQ=PB
C. AQ⊥PQ
D. 平面 PBQ 与平面 ABCD 的夹角等于 60∘
11. 已知椭圆 x24+y2=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ，上下顶点分别为 B1,B2 ，左顶点为 A1,P,Q 是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点, 则下列四点可能共圆的是 ( )
A. P,Q,F1,F2 B. P,Q,B1,B2
C. P,Q,F1,B1 D. P,Q,A1,B1
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 l1:x−3y−3=0 ,则 l1 在 y 轴上的截距为_____；若直线 l1⊥l2 ，则 l2 的倾斜角为_____.
13. 已知 △ABC 的外心为 O ， 2AO=AB+AC ， AO=AB=1 ，则 AO⋅AC= _____.
14. 已知函数 fx=ln4x2−1 ,记 fx 在点 k,fk (其中 k∈N∗ )处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 bk ,若 k=1nfk−bk≤λn 对任意的 n∈N∗ 恒成立,则实数 λ 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 近年来某 App 用户保持连续增长,若李明收集了 2020 ~2024 年的年份代码 xx=1,2,3,4,5 与该 App 在线用户数 y (单位: 万) 的数据,具体如下表所示:
(1)求样本相关系数 r ，并判断变量 x 与 y 之间的线性相关关系的强弱:
(2)从 2020∼2024 年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据 y ，记最小的数据为 X ， 求 X 的分布列及数学期望 EX .
注: 样本相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2 . 当 r 越接近 1 时,成对样本数据的线性相关程度越强; 当它接近 0 时, 成对样本数据的线性相关程度越弱.其中, i=15xi2−5x2i=15yi2−5y2≈553.
16. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， M 、 P 分别为 AA1 ， B1M 的中点，点 Q 在 AC1 上， 且 AQ=3QC1 .

(1)求证: PQ// 平面 A1B1C1 ；
(2)若 AA1=A1B1=B1C1=3,A1C1=2 ，求平面 B1QM 与平面 A1B1C1 夹角的余弦值.
17. 设数列 an 满足 a1=12,an+1=12an+12n+1,n∈N∗ .
(1)证明:数列 2n⋅an 为等差数列；
(2)若数列 an 的前 n 项和为 Tn ，求证: Tn0,b>0 的离心率为 3 ，且过点 A3,4 ，渐近线分别为 l1,l2 ,其中 l1 经过第一、三象限.
(1)求双曲线 C 的渐近线 l1 ， l2 的方程；
(2)设动点 Pm,n 在第一象限内，且不在直线 l1 ， l2 上，过点 P 分别作 l1 ， l2 的平行线，交 y 轴于 M,N 两点,且 OM⋅ON=1,O 为坐标原点.
① 求动点 P 的轨迹方程；
② 求 △OAP 面积的最小值.
19. 已知函数 fx 在定义域 [0,+∞) 上连续且可导,对于正实数 t ,记 Mt 和 mt 分别为函数 fx 在区间 0,t 上的最大值和最小值,函数 gt=Mt+mt2 .
(1) 设 fx=lnx+1−x+x24,x∈[0,+∞) ;
① 求 fx 的单调区间;
② 当 t∈0,32 时，求函数 gt 的解析式.
(2)请判断“函数 fx 单调递增”是“函数 gt 单调递增”的什么条件？并给出证明.
1. D
根据条件, 利用复数的运算, 即可求解.
因为 z=−1+i ,则 zz+1=−1+i−1+i+1=−1+ii=1+i ,
故选: D.
2. A
根据给定条件,化简集合 A,B ,再利用交集的定义直接求解.
依题意, A=x∣y=x2=R,B=y∣y=x2=[0,+∞) ,
所以 A∩B=[0,+∞) .
故选: A
3. C
根据给定条件,利用二项式定理直接求解.
在 1−2x7 的展开式中,含 x2 的项为 C72−2x2=84x2 ,
所以含 x2 项的系数是 84 .
故选: C
4. C
根据给定条件, 利用基本不等式, 结合一元二次不等式求解即得.
由 a>0,b>0,ab=4a+b+5 ,得 ab−5=4a+b≥24ab ,
则 ab2−4ab−5≥0 ,解得 ab≥5 ,因此 ab≥25 ,
当且仅当 b=4a=10 时取等号,所以当 a=52,b=10 时, ab 取得最小值 25 .
故选: C
5. B
利用诱导公式将已知条件化简, 再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.
由 tanπ2−θ=12 ,可得 sinπ2−θcsπ2−θ=12 ,所以 csθsinθ=12 ,所以 sinθ=2csθ ,
又因为 sin2θ+cs2θ=1 ,所以 4cs2θ+cs2θ=1 ,所以 cs2θ=15 ,
又因为 θ∈0,π2 ,所以 csθ=55 ,所以 sinθ=255 ,
所以 sinθ−csθ=255−55=55 .
故选: B.
6. B
求出 fx 图象的对称中心后利用代入法可得 ω=3k−12,k∈Z ,故可求 ω 的最小值.
因为 gx 图象的一个对称中心为 π2,0 ,故 fx 图象的对称中心为 2π3,0 , 故 ω×2π3+π3=kπ,k∈Z ,故 ω=3k−12,k∈Z ,而 ω>0 ,故 ωmin=1 .
7. A
AF2=m ,结合条件,利用双曲线的定义可得 BF2=2a,BF1=4a ,由构成三角形的条件可得 4a+2a>2c ,即可求解.
如图,设 AF2=m ,
由双曲线的定义知 AF1−AF2=2a ,所以 AF1=m+2a ,又 F1A=AB ,所以 BF2=2a
又, BF1−BF2=2a ,则 BF1=4a ,在 △BF1F2 中, BF1=4a,BF2=2a,F1F2=2c ,
由 4a+2a>2c ,得到 e=ca1 ,所以 1b ,则以 F1F2 为直径的圆与椭圆有 4 个交点,所以 A 正确;
对于 B ,以 B1,B2 为直径的圆与椭圆仅有两个交点,所以 B 错误;

对于 C ,设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,
将 B10,1,F1−3,0 代入得 E+F+1=0−3D+F+3=0 ,解得 E=2−3DF=3D−3 ,
则圆的方程为 x2+y2+Dx+2−3Dy+3D−3=0 ,
设 Px0,y0 ,则 Q−x0,−y0 ,则 x02+y02+Dx0+2−3Dy0+3D−3=0x02+y02−Dx0−2−3Dy0+3D−3=0 ,
两式相加,可得 x02+y02=3−3D ,两式相减,可得 Dx0+2−3Dy0=0 ,
联立方程组,可得 x02=2−3D2D2y02 ,
又因为 x02+4y02=4 ,联立可得 y02=1+3D3 ,则 x02=42−3D3 ,
将其代入 x02=2−3D2D2y02 ，可得 42−3D3=2−3D2D2×1+3D3 ，
即 2−3D7D2−3D−2=0 ,此时方程有解,所以 C 正确;
对于 D ,设直线 PQ 的斜率为 k ,则直线 PQ 的方程为 y=kx ,
因为 P,Q 关于原点对称,则 PQ 中垂线的方程为 y=−1kx ,
因为 A1−2,0,B10,1 ,可得线段 A1B1 中垂线的方程为 y=−2x−32 ,
联立方程组 y=kxx2+4y2=4 ,可得 x2=44k2+1 ,可得 x=±24k2+1 ,
因为 P,Q 关于原点对称,不等式 xP=24k2+1 ,则 yP=2k4k2+1 ,
联立方程组 y=−2x−32y=−1kx ,可得 x=32k1−2k,y=−321−2k ,即圆心 O′32k1−2k,−321−2k ,
若 O′B=O′P ,即 32k1−2k−02+−321−2k−12=32k1−2k−24k2+12+−321−2k−2k4k2+13 ,
可得 −32k1−2k2=44k2+1+4k24k2+1+321−2k2 ,即 4−2k1−2k1−2k2=4k2+44k2+1 ,
即 4−2k1−2k=4k2+44k2+1 ,即 31−2k=34k2+1 ,所以 4k2+2k=0 ,解得 k=−12 ,
所以当 PQ 的斜率为 −12 ,可得 P−2,22,Q2,−22 ,
此时 P,Q,A1,B1 四点共圆,所以 D 正确.
故选: ACD.
12. −3 2π3
令 x=0 ,可求得 l1 在 y 轴上的截距; 利用直线互相垂直可求得 l2 的斜率,可求得 l2 的倾斜角.
直线 l1:x−3y−3=0 ,令 x=0 ,得 y=−3 ,所以 l1 在 y 轴上的截距为 −3 ; 由直线 l1:x−3y−3=0 ,得直线 l1 的斜率 kl1=33 ,
因为 l1⊥l2 ,所以 l2 的斜率为 kl2=−3 ,
设直线 l2 的倾斜角为 θ ,则 tanθ=−3 ,又 0≤θ0 ,因此 Tn0 相切的时候，点 P 到直线 OA 的距离最短，
联立 y2−2x2=1y=43x+t ,消去 y 得 2x2−24t⋅x−9t2−1=0 ,
Δ=576t2+72t2−1=0 ,解得 t=±13 ,
当 t=−13 时,求得 P−2,−3 ,不满足条件,
当 t=13 时,求得 P2,3 ,符合题意,
易求得点 P2,3 到直线 OA 的距离为 15 ，且 OA=5 ，
因此, △OAP 面积的最小值为 12 .
19.(1) ①由题意可知: fx 的定义域为 [0,+∞) ，且 f′x=1x+1−1+x2=xx−12x+1 ， 由 f′x>0 ,解得 x>1 ; 由 f′x