安徽省池州市2026届高三下学期一模考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份安徽省池州市2026届高三下学期一模考试数学试卷含答案（word版+pdf版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
2. 若 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为
A. B. C. D.
【答案】D
3.函数 的一个对称中心为
A. B. C. D.
【答案】C
4.已知圆 的圆心在 轴上，若圆 过点 且与直线 相切，则圆 的半径为
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
5.已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
【答案】B
6.设 为坐标原点， 为抛物线 的焦点,过 作 轴的垂线交 于 两点. 点 在 上(异于点 )，且 在 轴上的正投影为 ，则四边形 的面积
A. 与 成正比 B. 与 成正比
C. 与 成正比 D. 与 成正比
【答案】B
7.现有 1 个白球、 3 个黑球, 将它们随机放入如图所示的编号为 1 ~6 的抽屉内, 每个抽屉至多放一个球,且所有黑球均放在白球的左侧. 设白球所在抽屉的编号为 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
8.设函数 的定义域为 ,若 的图象与 轴相交于点 ,则
A. B.
C. 是奇函数 D. 是奇函数
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 ,则
A. 的导函数 关于直线 对称
B. 曲线 在 处的切线方程为
C. 函数 的极小值点为
D. 函数 的极大值点为 0
【答案】BCD
10.如图，在棱长为 1 的正方体 中， ， ，过点 的平面截该正方体所得的截面记为 ,若三棱锥 的外接球球心 ,则
A.
B. 为五边形
C. 的面积为
D. 分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 5:7
【答案】AC
11.在数列 中,存在 ,使得对任意 ,都有 ,下列说法正确的有
A. 若 ,则
B. 可能是奇数
C. 若 为等差数列，当 时，则 的最大值为 2
D. 若 为正项等比数列,当 时,则 的最大值为 6
【答案】ACD
【解析】令 ,由题意知,当 时,恒有 , 所以函数 在区间 上是常函数,所以 不为常数列,且 一定是偶数.
A: ,显然 ,选项 正确;
B: 选项 B 错;
C: 不妨设等差数列 单调递增,则公差 ,由 得: 当 时, , 所以 ,且 ,所以 ,由 得 ,选项 正确;
D: 不妨设正项等比数列 单调递增,则公比 ,记数列 的前 项和为 ,由 是偶数, 可令 . 所以,当 时, ,且 , 所以, .
由等比数列求和公式,得 ,不难证明函数 在 上单增,所以 ,由 得 ,解得 ,即 ,所以 (当且仅当 时,取 “ ”),选项 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知椭圆的两个焦点分别为 ，点 在该椭圆上，且 ，则该椭圆的离心率为________.
【答案】
13.已知随机变量 ，且 ，若 ( 为有理数),则 _______.
【答案】2
14.在平面四边形 中， ， ， ，当锐角 取最大值时， ________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某同学为养成锻炼习惯，使用智能手环记录自己连续五天的行走步数. 设日期顺序变量 ( 为第一天)， (单位:千步) 为对应日期的步数，具体数据如下表:
(1)求 关于 的经验回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测该同学第 7 天的步数能否达到一万步.
附:经验回归方程 ,其中
【解析】(1) .2 分
所以 .6 分
又 过 ,所以
所以 关于 的经验回归方程为 .9 分
(2)令 ，得 (千步)
因为 10.48 千步等于 1.048 万步
所以由 (1) 中的回归方程, 预测该同学第 7 天的步数能达到一万步 .13 分
16.已知 是单调递增数列,记 为数列 的前 项和,且 .
(1)证明: 是等差数列；
(2)令 ，求 .
【解析】(1) 令 得 ,所以 .1 分
由题意得 ,所以 .3 分
所以 ,所以 或 .5 分
因为 单调递增,所以 ,即
所以 ,所以 ,即 是等差数列 .7 分
(2)由(1)知 ，所以 .8 分
令
则 ①
两边同乘 2 , 得
②-①,得 .12 分
.
所以 .15 分
17.如图 1 所示，在平面四边形 中，已知 ，将 沿直线 翻折至 (如图 2)，使得 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)点 在线段 上，且二面角 的大小为 .
(i) 若 ,求 的值;
(ii) 求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1) 证明: 取 的中点 ,由题意知 ,所以 三点共线 .1 分由 得 ; 由 得
又 ，所以 .3 分
又 ,且 平面
所以 平面 ,又 平面
所以平面 平面 ; .5 分
(2)解法一:(几何法)
(i) 由 (1) 知 平面 ,所以 ,又 ,平面 平面 所以 是二面角 的平面角,所以 .7 分
由 得
所以 ,即 ,即
由 得 ，所以 ； .10 分
(ii) 过 作 交 于 ,则 平面 ,由 (i) 知
所以 .12 分
由 (i) 知 ,所以
记 到平面 的距离为 ,所以
所以 ,即 .14 分
记 与平面 所成角为 ,则
所以 与平面 所成角的正弦值为 . .15 分
解法二: (建系法)
(i) 由 (1) 可知如图所示建系,则 .6 分
由 得

设平面 的法向量为 ,由 得 ,
取 ,所以 .
设平面 的法向量为 .8 分
记二面角 的大小为 ,则
化简得 ,解得 或 (舍) .10 分
(ii) 由 (i) 知 ,取平面 的法向量为 ,又 .12 分
记 与平面 所成角为 ,则
所以 与平面 所成角的正弦值为 .15 分
18.已知 .
(1)当 时，求函数 的单调性；
(2)当 时，判断曲线 与直线 交点的个数，并证明:
(3)设 ，若存在实数 ，使关于 的不等式 的解集为 ，求 的最小值.
参考数据: .
【解析】(1)求导得 .2 分
所以 在 单增, 单减 .4 分
(2)解法一:(局部放缩+局部求导)
由题意得
① 当 时， ，所以 .6 分
② 当 时,求导得 ,所以 在 单减
又 .9 分
所以曲线 与直线 交点的个数为 1 10 分
解法二: (整体求导)
求导得 .5 分
令 ,求导得
所以 在 单增, 单减,所以
所以 在 上单减,又 ,所以 有唯一根,记为
故 在 单增, 单减
取 ,有 ; 取 ,有 .9 分
所以曲线 与直线 交点的个数为 1 .10 分
(3)解法一:(穷举验证法)
①当 时，由(1)知 在 单增， 单减
取 ,有 ; 取 ,有
若 ,不满足题设条件,舍 (注: 不找点不扣分,写极限即可)
【左边找点: 取 ,则
(这里用到了 )
右边找点: 取 ,则
若 ,当 时,
当 时,
所以 的解集为 ,舍 .12 分
②当 时，取 ，有 ；取 ，有
由(2)知 的解集为 时,则 (*)
又 ,所以 不成立,舍 .14 分
③ 当 时,取 ,有 ; 取 ,有
同理,当 时, ,
当 时,求导得 ,所以 在 单减
所以 的解集为 时,则
又 ,所以 成立 .16 分
综上, 的最小正整数为 3.17 分
解法二: (参变关联法)
由 ,取 ,有 ; 取 ,有
若 时,
若 时,对 求导得 ,所以 在 单减
所以 的解集为 时,则 ,即 且 即 .13 分
由 和 得 ,令 ,显然 单增,因为 ,所以 的根为 (其中 ,所以 的解为
由 得 ,由 得 ,结合 ,所以 的最小正整数为 3 . .17 分
19.已知双曲线 过点 和 .
(1)求 的方程；
(2) 是 上一点，设 ，直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 ，且 ， (各点均不重合).
( i ) 证明: 直线 过 轴上的定点:
(ii) 记直线 的斜率分别为 ,证明: 为定值.
【解析】(1) ; .3 分
(2)(i)设点 ，由 得
由 得 .5 分
设直线 过 轴上的定点 ,则
所以直线 过 轴上的定点定点 .9分
(ii) 解法一: (设点法一一相关点)
设点 ,由 得 ①
因为点 在 上,所以 ,即 ②
由①②得
又点 在 上,所以 ,即
由题意知 ，所以 ③ .12 分
同理得 ④
由③-④得 ⑤
由③ ④ 得 ⑥
联立⑤⑥得 .15 分
所以
解法二: (设点法一一定比点差)
设点
由 得 ①，由 得 ②
一方面,由 得 ③
将①②代入③得 ④ .12 分
另一方面,由 得 ⑤
将①代入⑤得 ⑦
联立①⑦得 ⑧
同理得 ⑨
联立⑧⑨得 4nm + n + m = 1⑩
由④⑩得 .15 分
所以 .17 分
解法三: (设线法一一设线解点)
设点 ,一方面,由 得 ①
另一方面,联立 得 (其中
所以
所以 ②
由①②得 ，即 ③ .12 分
同理得 ④
由③ ③ 得 ⑤
由③-④得 ⑥
联立⑤⑥得 .15 分
所以 .17 分
解法四: (设线法一一韦达定理)
由 (i) 可设直线
联立 得 由韦达定理得 ③
由①②得
④
将③代入④得 ⑤
又因为点 在 上,所以 ⑥
联立⑤⑥得 ,解得 ⑦或 (舍) .13 分
所以 ⑧
将③⑥⑦代入⑧得 .17 分日期顺序x
1
2
3
4
5
步数y(千步)
6.2
6.8
7.6
8.4
9.0