2026年中考数学二轮复习常考考点专题-锐角三角函数试题（含答案）

这是一份2026年中考数学二轮复习常考考点专题-锐角三角函数试题（含答案），共11页。

A．12B．32C．33D．3
2．（2025•聊城模拟）一物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若摩擦力F2与重力G方向的夹角β＝120°，则斜面的坡角α的度数为（ ）
A．25°B．45°C．30°D．60°
3．（2025•延安模拟）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB＝5，BC＝6，sinB=35，则AC的长为（ ）
A．13B．32C．5D．42
4．（2025•朝阳区校级一模）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯截面图，AB＝15cm，杯中水面与CD交于点E，当水杯底面AD与水平面的夹角为α时，则杯中水的最大深度（即AF的长）为（ ）
A．15sinαcmB．15csαcmC．15tanαcmD．15sinαcm
5．（2025•益阳模拟）如图，某公园内有一斜坡AB，坡度i=1：3，AB＝60米，斜坡AB上有一古树OP，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为60°，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为15°，则古树OP的高为（ ）米．
A．60−203B．30C．603−60D．303
6．（2025•朝阳区校级模拟）如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图．若AB＝220厘米，则门缝宽CD的长为（ ）
A．（220﹣2×110sinα）厘米
B．（220﹣2×110csα）厘米
C．（220﹣2×110tanα）厘米
D．（220−2×110sinα）厘米
7．（2025•襄城区模拟）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB的值等于（ ）
A．2B．12C．55D．255
8．（2025•宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数
B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数
D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数
9．（2025•信都区二模）如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的（ ）
A．南偏西68°方向上B．南偏西22°方向上
C．北偏东22°方向上D．北偏东68°方向上
10．（2025•宿松县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF=35，则△AEF的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．（2025•岳麓区校级模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a m，已知，冬至时长沙的正午光入射角∠ABC约为38.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（ ）m．
A．asin38.5°B．atan38.5°C．acs38.5°D．acs38.5°
12．（2025•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC在第一象限内，其中A（a，0），B（0，b），C（m，n），∠ABC＝90°，CD⊥y轴于D，给出下面六个结论：
（1）对于任意符合条件的a，b，m，n，∠OAB＝∠CBD；
（2）当m＝a时，n＝a+b；
（3）当△ABO≌△BCD时，2n＞AC；
（4）tan∠ACB=bm；
（5）若AB平分∠OAC，则AC＝a+n；
（6）当b＝6，S△ABC＝18时，线段OC的长度的最大值为3+35；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．（1）（3）（4）（6）B．（1）（3）（5）（6）
C．（1）（3）（4）D．（2）（5）（6）
二．填空题（共8小题）
13．（2025•鄂尔多斯一模）如图，某学校科技社团进行一次光的折射实验，先将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处照射到底部B处，入射光线与水槽内壁夹角为A，然后向水槽注水至AC的中点E处时停止注水，此时入射光线AO折射到了水槽底部D处（直线NN′为法线，OD为折射光线）．已知点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°，则BD的长为 cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625）
14．（2025•中山市校级一模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度为 m．
15．（2025•叙州区校级模拟）如图，已知在凸四边形ABCD中，AB＝4，AD＝5，BC＝CD，∠BAD＝60°，连结AC，当∠BCD＝120°时，则对角线AC的值为 ．
16．（2025•武汉校级模拟）小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，向左走6米到C处再测得B点仰角为53°，且O、A、C三点在同一直线上，则新教学楼的高度OB是 米．（结果保留到整数，参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
17．（2025•应县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的中点，DE⊥AB于点E，O是DE的中点，连接AO并延长交BC于点F，已知sinB=35，AB＝8，则OF的长为 ．
18．（2025•东坡区校级模拟）如图，在坡度为1：3的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC的长为18m，则大树AB的高为 m．
19．（2025•江汉区模拟）武汉龟山电视塔是中国第一座电视塔，是武汉著名的旅游景点及城市地标，曾有“亚洲桅杆”之美称．在一次综合实践活动中，数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度．如图，无人机垂直上升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔底端A的俯角为45°，顶端B的仰角为50.5°，则龟山电视塔的高度是 m．（参考数据：tan50.5°≈1.21）
20．（2025•江岸区校级模拟）某商场从安全和便利的角度出发，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC＝ ．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29，3≈1.732）
三．解答题（共5小题）
21．（2025•费县一模）山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡而所成的角∠ADC＝60°，AD＝8m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求CD．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4．）
22．（2025•遵义模拟）2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面DF下500米A点处测得俯角为28°正前方的海底C点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：tan28°≈0.53）．
23．（2025•海城市三模）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB′C′处，AB′与水平面的夹角∠B′AD＝27°．
（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B′到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C′处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cs27°≈0.891，tan27°≈0.510，3≈1.732）
24．（2025•锦江区校级模拟）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为4米，与墙面AD的夹角∠BAD＝75.5°，靠墙端A离地高AD为3米，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cs75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）
25．（2025•潍坊一模）某中学计划利用综合实践活动时间，测量悬停在空中的无人机离地面的高度．
请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度．
2026年中考数学常考考点专题之锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一．选择题（共12小题）
1．（2025•哈尔滨校级四模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctA，如图，ctA=ACBC，则ct30°的值为（ ）
A．12B．32C．33D．3
【考点】特殊角的三角函数值；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】设BC＝a，在Rt△ABC中，根据∠A＝30°得AB＝2BC＝2a，由勾股定理得AC=3a，然后根据ctA=ACBC即可得出ct30°的值．
【解答】解：设BC＝a，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2a，
由勾股定理得：AC=AB2−BC2=(2a)2−a2=3a，
∴ctA=ACBC=3aa=3，
∴ct30°=3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解余切函数的定义是解决问题的关键．
2．（2025•聊城模拟）一物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若摩擦力F2与重力G方向的夹角β＝120°，则斜面的坡角α的度数为（ ）
A．25°B．45°C．30°D．60°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意先将图中点命名，利用外角和定理及平行线性质列式计算即可．
【解答】解：摩擦力F2与重力G方向的夹角β＝120°，将下图中的点进行命名：
根据题意得：∠BOC＝β＝120°，∠ABO＝90°，
∴α＝120°﹣90°＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线性质，三角形的外角的性质．正确进行计算是解题关键．
3．（2025•延安模拟）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB＝5，BC＝6，sinB=35，则AC的长为（ ）
A．13B．32C．5D．42
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】A
【分析】解直角三角形得AD＝AB•sinB＝3，由勾股定理得：BD＝4，求得CD的长，在Rt△ACD中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵sinB=35，AB＝5，
∴AD＝AB•sinB＝3，
由勾股定理得：BD=AB2−AD2=4，
∴CD＝BD﹣BC＝6﹣4＝2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=AD2+CD2=32+22=13，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．（2025•朝阳区校级一模）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯截面图，AB＝15cm，杯中水面与CD交于点E，当水杯底面AD与水平面的夹角为α时，则杯中水的最大深度（即AF的长）为（ ）
A．15sinαcmB．15csαcmC．15tanαcmD．15sinαcm
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意易得：∠FAG＝∠BAD＝90°，从而利用等式的性质可得∠BAF＝∠DAG＝α，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠FAG＝∠BAD＝90°，
∴∠BAD﹣∠FAD＝∠FAG﹣∠FAD，
∴∠BAF＝∠DAG＝α，
在Rt△ABF中，AB＝15cm，
∴AF＝AB•csα＝15csα（cm），
∴杯中水的最大深度（即AF的长）为15csαcm，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2025•益阳模拟）如图，某公园内有一斜坡AB，坡度i=1：3，AB＝60米，斜坡AB上有一古树OP，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为60°，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为15°，则古树OP的高为（ ）米．
A．60−203B．30C．603−60D．303
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】如图，小明家附近有一斜坡AB＝40米，其坡度，斜坡AB上有一竖直向上的古树EF，小明在山底A处看古树树顶E的仰角为60°，在山顶B处看古树树顶E的仰角为15°，则古树的高约为
【解答】解：作BD∥AC，如图所示，
∵斜坡AB的坡度i＝1：3，
∴tan∠BAC=13=33，
∴∠BAC＝30°，
∵∠PAC＝60°，
∴∠PAF＝∠APO＝30°，
∴∠POB＝60°，
过PO⊥AB于点E，
∵∠PBD＝15°，BD∥AC，
∴∠DBA＝∠BAC＝30°，
∴∠EBP＝45°，
∴EP＝EB，
设EP＝EB＝x，
∴EF=33x，PO＝AO=233=x，
∵AO+OE+EB＝AB＝60米，
∴233x+33x+x＝60，
解得，x＝303−30，
∴OP＝（60﹣203）米，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数进行解答，注意挖掘题目中的隐含条件．
6．（2025•朝阳区校级模拟）如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图．若AB＝220厘米，则门缝宽CD的长为（ ）
A．（220﹣2×110sinα）厘米
B．（220﹣2×110csα）厘米
C．（220﹣2×110tanα）厘米
D．（220−2×110sinα）厘米
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，易得OA的长度，进而可得AM的长度，求得MN的长度即为CD的长度．
【解答】解：作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，则四边形CMND为矩形，∠AMC＝90°，
∴MN＝CD，
∵AB＝220厘米，
∴OA＝OB＝110厘米，
∴AC＝110厘米，
∴AM＝110×csα厘米，
同理BN＝110×csα厘米，
∴MN＝（220﹣2×110csα）厘米，
∴CD＝（220﹣2×110csα）厘米，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造含α的直角三角形计算出AM的长是解决本题的关键．
7．（2025•襄城区模拟）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB的值等于（ ）
A．2B．12C．55D．255
【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设等腰直角△MNQ的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解．
【解答】解：如图1，设△MNQ的直角边为a，则MQ=2a，小正方形的边长a，
由勾股定理可得EM=(2a)2+(2a)2=22a，
∴MT=EM=22a，
∴QT=22a−2a=2a，
如图2，作CH⊥AB的延长线于点H，则CH＝BD，BH＝CD，
由图（1）可得，AB=BD=22a，CD=2a+2a=22a，
∴CH=22a，BH=22a，
∴AH=42a，
∴tan∠CAB=CHAH=22a42a=12，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．
8．（2025•宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数
B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数
D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；垂径定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】延长DC交EF于点H，根据三角函数的定义得到CH=EHtan∠ECH，DH=EHtan∠EDH，由CD＝DH﹣CH，求出EH，即可求出EF，即可得到答案．
【解答】解：如图，延长DC交EF于点H．
由题意知CD＝AB，FH＝1.5+2＝3.5（米），
在Rt△ECH中，∠AHC＝90°，tan∠ECH=EHCH，
∴CH=EHtan∠ECH，
在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，tan∠EDH=EHDH，
∴DH=EHtan∠EDH，
∵CD＝DH﹣CH，
∴EHtan∠EDH−EHtan∠ECH=AB，
∴EH=AB⋅tan∠ECH⋅tan∠EDHtan∠ECH−tan∠EDH，
∴EF＝EH+FH＝（AB⋅tan∠ECH⋅tan∠EDHtan∠ECH−tan∠EDH3.5）（米）．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
9．（2025•信都区二模）如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的（ ）
A．南偏西68°方向上B．南偏西22°方向上
C．北偏东22°方向上D．北偏东68°方向上
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；方向角．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】过A作水平方向射线AC，垂直方向射线AD，则∠DAC＝90°，∠BAC＝22°；由此可求得∠DAB，从而可确定点B位于点A的方向．
【解答】解：如图，过A作水平方向射线AC，垂直方向射线AD，
由条件可知∠DAC＝90°，∠BAC＝22°；
∴∠DAB＝68°，
∴点B位于点A的方向为北偏东68°方向上．
故选：D．
【点评】本题考查了仰角与方向角，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2025•宿松县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF=35，则△AEF的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】解直角三角形；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】利用解直角三角形、三角形相似求得EF、AE的长，利用面积公式求解即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠DCE＝∠CEF，
在Rt△CDE中，sin∠DCE＝sin∠CEF=DECE=35，
设DE＝3x，则CE＝5x，
∴CD=CE2−DE2=4x，
在Rt△ABC中，BE＝EA，
∴CE＝BE＝EA＝5x，
∴AB＝2BE＝10x，
∴BD＝BE﹣DE＝2x，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，BC＝4，
∴42＝（4x）2+（2x）2
∴x=255，
∵Rt∠CDA＝Rt∠FEA，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△AFE，
∴EFCD=AEAD
∴EF4x=5x5x+3x，
∴EF=52x=52×255=5，
∵AE＝5x＝25，
∴S△AEF=12EF⋅AE
=12×5×25
＝5．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的面积，解题的关键是解直角三角形求边长、三角形相似求边长．
11．（2025•岳麓区校级模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a m，已知，冬至时长沙的正午光入射角∠ABC约为38.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（ ）m．
A．asin38.5°B．atan38.5°C．acs38.5°D．acs38.5°
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．
【解答】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ABC≈38.5°，AC＝a m，
∴BC=ACtan38.5°=atan38.5°m，
∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为atan38.5°m，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2025•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC在第一象限内，其中A（a，0），B（0，b），C（m，n），∠ABC＝90°，CD⊥y轴于D，给出下面六个结论：
（1）对于任意符合条件的a，b，m，n，∠OAB＝∠CBD；
（2）当m＝a时，n＝a+b；
（3）当△ABO≌△BCD时，2n＞AC；
（4）tan∠ACB=bm；
（5）若AB平分∠OAC，则AC＝a+n；
（6）当b＝6，S△ABC＝18时，线段OC的长度的最大值为3+35；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．（1）（3）（4）（6）B．（1）（3）（5）（6）
C．（1）（3）（4）D．（2）（5）（6）
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质；全等三角形的判定；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】A
【分析】根据余角的定义求证（1）；根据三角形相似用a，b表示出BD，即可判断（2）；根据三角形全等得出AB＝BC，然后根据勾股定理以及配方法即可得到结论（3）；根据三角形相似以及锐角三角函数的定义可以证明（4）；根据角平分的性质以及三角形全等可以得出AB＝OB+CD，但无法得到结论（5）；根据三角形相似用m，n表示出△ABC的面积，然后根据两点间距离公式得到点C的轨迹，从而得到OC的最大值．
【解答】解：（1）∵∠CBA＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，故（1）正确；
（2）当m＝a时，AC⊥x轴，
∴四边形AOCD为矩形，
∴CD＝OA＝a，n＝AC＝OB+BD，
∵∠OAB＝∠CBD，
∴△OAB∽△BDC，
∴BDOA=CDOB，
∴BD=a2b，
∴n＝b+a2b=a2+b2b，不一定等于a+b，故（2）错误；
（3）∵△AOB≌△BDC，
∴BD＝OA＝a，CD＝OB＝b，AB＝BC，
∴n＝a+b，AC=2AB=2OB2+OA2=2a2+2b2=2(a+b)2−4ab，
∴AC=2n2−4ab＜2n，故（3）正确；
（4）由（2）知，△AOB∽△BDC，
∴ABBC=OBCD=bm，
∴tan∠ACB=ABBC=bm，故（4）正确；
（5）过B作BF⊥AC于F，如图：
∵AB平分∠OAC，
∴OB＝BF，∠OBA＝∠CBF，AF＝OB，
∴∠DCB＝∠BCF，
∴BD＝BF，CF＝CD，
∴n＝2b，
∴AC＝AF+CF＝b+m，不一定等于a+n，故（5）错误；
（6）∵△OAB∽△DBC，
∴BCAB=CDOB=m6，
∵S△ABC＝18，
∴BC•AB＝36，
∴6mBC2＝36，
∴m2+（n﹣6）2＝6m，
∴（m﹣3）2+（n﹣6）2＝9，
根据两点之间距离公式可知，点C到M（3，6）的距离为3，
∴点C在以M（3，6）为圆心，3为半径的圆上，
∴OC≤OM+MC＝35+3，故（6）正确；
综上所述，正确的结论是（1）（3）（4）（6）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形、圆、相似三角形、全等三角形等知识的综合题，熟练运用各类知识点是本题解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•鄂尔多斯一模）如图，某学校科技社团进行一次光的折射实验，先将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处照射到底部B处，入射光线与水槽内壁夹角为A，然后向水槽注水至AC的中点E处时停止注水，此时入射光线AO折射到了水槽底部D处（直线NN′为法线，OD为折射光线）．已知点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°，则BD的长为 3.8 cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】3.8．
【分析】根据题意得∠ABC＝45°，得到BC＝AC＝20cm，∠BON＝45°，得到BN＝10cm，求出ND＝tan32°×ON≈6.25cm，求出BD＝3.75≈3.8cm，即可得到答案．
【解答】解：∵∠A＝45°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABC＝∠A，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC＝20cm，
∵NN′∥AC，
∴∠BON＝∠A＝45°，
∴∠BON＝∠ABC，
∴BN＝ON，
∵E是AC的中点，
∵EF∥BC，
∴ON=CE=12AC=10cm，
∴BN＝10cm，
∵tan∠DON=NDON，
∴ND＝tan32°×ON≈0.625×10≈6.25cm，
∴BD＝BN﹣ND＝10﹣6.25＝3.75≈3.8cm，
故答案为：3.8．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2025•中山市校级一模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度为 20 m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】20．
【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝10m，tanA＝1：3，
∴AC＝BC÷tanA＝103m，
∴AB=102+(103)2=20m．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
15．（2025•叙州区校级模拟）如图，已知在凸四边形ABCD中，AB＝4，AD＝5，BC＝CD，∠BAD＝60°，连结AC，当∠BCD＝120°时，则对角线AC的值为 33 ．
【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的判定与性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】33．
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，利用四边形内角和，证明A、D、E三点共线，从而求出∠CAD＝∠E＝30°，过点F作CF⊥AE交AE于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到AF=92，再利用锐角三角函数求解即可．
【解答】解：∵BC＝CD，∠BCD＝120°，
∴将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，如图所示，
∴△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°，
∴DE＝AB＝4，CE＝AC，∠E＝∠BAC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠E+∠DAC＝60°，
∴∠ADE＝360°﹣（CAD+∠E）﹣∠ACE＝180°，
∴A、D、E三点共线，
∵AC＝CE，∠ACE＝120°，
∴∠CAD＝∠E＝30°，
∵DE＝AB＝4，AD＝5，
∴AE＝9，
过点F作CF⊥AE交AE于点F，
∵AE＝CE，
∴AF=EF=12AE=92，
∴cs∠CAD=AFAC，
∴cs30°=92AC=32，
∴AC=33，
故答案为：33．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用旋转构造等腰三角形是解题关键．
16．（2025•武汉校级模拟）小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，向左走6米到C处再测得B点仰角为53°，且O、A、C三点在同一直线上，则新教学楼的高度OB是 24 米．（结果保留到整数，参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】24．
【分析】设OB＝x米，分别解Rt△OBC，Rt△OBA，求出OA，OC的长，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：AC＝6米，∠AOB＝∠COB＝90°，设OB＝x米，
在Rt△OBC中，OC=OBtan53°≈3x4，
在Rt△OBA中，OA=OBtan45°=x，
∵AC＝OA﹣OC，
∴x−34x=6，解得：x＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握以上性质是解题的关键．
17．（2025•应县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的中点，DE⊥AB于点E，O是DE的中点，连接AO并延长交BC于点F，已知sinB=35，AB＝8，则OF的长为 736 ．
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】736．
【分析】作OH∥CB交BD于点H，构建相似三角形，得出△DOH∽△DEB，再根据相似比得出DH＝BH＝2，再根据三角函数值，可得DE＝3，由此得到OD=32，再求出OA，根据平行线分线段成比例定理求出OF的长即可．
【解答】解：如图，作OH∥CB交BD于点H，
由平行可得∠DOH＝∠DEB，∠DHO＝∠B，
∴△DOH∽△DEB，
又∵O是ED的中点，
∴ODDE=DHBD=12，
∵D是AB边上的中点，AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴DH＝BH＝2，
又∵DE⊥AB，sinB=35，
∴sinB=DEBE=35，
∴DE=35BE，
∵BE2﹣DE2=1625BE2＝BD2＝16，
∴BE＝5，
∴DE=35BE=3，
∵O是DE的中点，
∴OD=32，
∴OA=(32)2+42=732，
∵OH∥CB，
∴AOOF=AHBH，即732OF=4+22，
∴OF=736，
故答案为：736．
【点评】本题主要考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理等，熟练掌握相关知识，并能灵活运用是解题的关键．
18．（2025•东坡区校级模拟）如图，在坡度为1：3的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC的长为18m，则大树AB的高为 （93−9） m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系计算AB、BD的长即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则∠ACD＝45°，
∵斜坡BC的坡比为1：3，即tan∠BCD=13=33，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝18m，
∴CD=32×18＝93（m），BD=12BC＝9（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD＝93m，
∴AB＝AD﹣BD
＝（93−9）m，
故答案为：（93−9）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
19．（2025•江汉区模拟）武汉龟山电视塔是中国第一座电视塔，是武汉著名的旅游景点及城市地标，曾有“亚洲桅杆”之美称．在一次综合实践活动中，数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度．如图，无人机垂直上升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔底端A的俯角为45°，顶端B的仰角为50.5°，则龟山电视塔的高度是 221 m．（参考数据：tan50.5°≈1.21）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：CE＝AD＝100m，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：CE＝AD＝100m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴CD=ADtan45°=100（m），
在Rt△BCD中，∠BCD＝50.5°，
∴BD＝CD•tan50.5°≈1.21×100＝121（m），
∴AB＝AD+BD＝100+121＝221（m），
∴龟山电视塔的高度约为221m，
故答案为：221．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（2025•江岸区校级模拟）某商场从安全和便利的角度出发，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC＝ 10.3m ．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29，3≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；含30度角的直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】10.3m．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出 AB，BD，根据正切的定义求出 CD，再计算即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝6m，
∴AB＝2AD＝12（m），
∴BD=122−62=63≈10.39(m)，
在Rt△ACD中，∠ACD＝16°，AD＝6m，
∴CD=ADtan16°≈60.29≈20.69(m)，
则BC＝CD﹣BD＝20.69﹣10.39＝10.3（m），
答：改造后的自动扶梯增加的占地长度BC的长约为10.3m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•费县一模）山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡而所成的角∠ADC＝60°，AD＝8m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求CD．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4．）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）75°；
（2）11．
【分析】（1）将BA延长交EF于点M，根据三角形内角和定理可得∠MAE＝67°，进而根据∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠MAE，即可求解；
（2）过点A作AN⊥CD，得出∠NAD＝30°，∠CAN＝∠CAD﹣∠NAD＝45°，分别求得CN，AN，DN，进而根据CD＝CN+DN，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，将BA延长交EF于点M，
∴BM⊥EF，
∵∠AEF＝23°，
∴∠MAE＝90°﹣23°＝67°，
∵∠BAC＝38°，
∴∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠MAE＝75°；
（2）过点A作AN⊥CD于点N，
∵∠ADC＝60°，
∴∠NAD＝30°，∠CAN＝∠CAD﹣∠NAD＝45°，
∴AN＝CN，
∴ND＝AD•cs60°＝4（米），
AN=AD⋅sin60°=43（米），
∴CD=CN+DN=43+4≈11（米），
答：CD的长为11米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用；熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
22．（2025•遵义模拟）2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面DF下500米A点处测得俯角为28°正前方的海底C点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：tan28°≈0.53）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】海底C点处距离海面DF的深度约为2191米．
【分析】先过点C作CE⊥AB，垂足为E，延长CE交DF于G，整理得AE＝AB+BE＝（1500+x）米，把数值代入CE＝AE•tan28°进行计算，得x≈1691，则CG＝CE+GE≈2191（米），即可作答．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，延长CE交DF于G，
设CE＝x米，
∵∠CEB＝90°，∠CBE＝45°，
∴BE＝CE＝x米，
∵AB＝1500米，
∴AE＝AB+BE＝（1500+x）米，
∵∠AEC＝90°，∠EAC＝28°，
∴CE＝AE•tan28°，
即x＝（1500+x）tan28°，
∴x≈1691，
∵EG＝AD＝500米，
∴CG＝CE+GE≈2191（米），
答：海底C点处距离海面DF的深度约为2191米．
【点评】本题考查了解直角三角形的相关运算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
23．（2025•海城市三模）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB′C′处，AB′与水平面的夹角∠B′AD＝27°．
（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B′到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C′处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cs27°≈0.891，tan27°≈0.510，3≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m；
（2）没有危险．
【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′E的长，再求出B′E+AO的长即可；
（2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′•cs60°＝0.3，从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85，最后比较即可．
【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，
由三角函数可知，sin27°=B'EAB'，
∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454，
∵平行线间的距离处处相等，
∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15（m），
答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．
（2）没有危险，理由如下：
过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，
∴∠AB′E＝90°﹣27°＝63°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，
∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝123°﹣63°＝60°，
由三角函数可得：B′F＝B′C′•cs60°＝0.3，
∵平行线间的距离处处相等，
∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85（m）．
∵1.85＞1.8，
∴没有危险．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
24．（2025•锦江区校级模拟）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为4米，与墙面AD的夹角∠BAD＝75.5°，靠墙端A离地高AD为3米，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cs75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）
【考点】解直角三角形的应用；平行投影．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K，在Rt△ABT中，求出AT，BT，得到DK＝BT，BK＝DT＝AD﹣AT，根据∠BCK＝45°，得到CK，根据CD＝DK﹣CK计算即可．
【解答】解：如图，过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K，
在Rt△ABT中，
sin∠BAT=BTAB，cs∠BAT=ATAB，
∴BT＝AB•sin∠BAT＝4×sin75.5°≈3.9（米），AT＝AB•cs∠BAT＝4×cs75.5°≈1.0（米），
∵∠BTD＝∠D＝∠CKB＝90°，
∴四边形BTDK是矩形，
∴DK＝BT＝3.9米，BK＝DT＝AD﹣AT＝3﹣1＝2（米），
在Rt△BKC中，∠BCK＝45°，
∴CK＝BK＝2米，
∴CD＝DK﹣CK＝3.9﹣2＝1.9（米），
答：阴影CD的长约为1.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
25．（2025•潍坊一模）某中学计划利用综合实践活动时间，测量悬停在空中的无人机离地面的高度．
请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】16m．
【分析】过点A作AB⊥FD于B，延长CQ，交AB于H，证明△EPF∽△APB，根据相似三角形的性质得到ABBP=23，设AB＝2x m，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图，过点A作AB⊥FD于B，延长CQ，交AB于H，
则四边形HBDC为矩形，
∴BH＝CD＝1m，CH＝BD，
∵EF⊥DF，
∴∠EFP＝∠ABP＝90°，
∵∠EPF＝∠APB，
∴△EPF∽△APB，
∴EFFP=ABBP，即ABBP=，
设AB＝2x m，则PB＝3x m，
则AH＝（2x﹣1）m，BD＝（39﹣3x）m，
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
则AH＝HC，
∴2x﹣1＝39﹣3x，
解得：x＝8，
∴AB＝2x＝16m，
答：无人机离地面的高度为16m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
5．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
6．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
8．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
9．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
11．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
13．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
14．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
15．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
16．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
17．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
18．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
19．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 9:58:52；用户：组卷1；邮箱：[email protected]；学号：41418964课题
测量悬停在空中的无人机离地面的高度
测量工具
平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明

说明：
（1）所有点都在同一平面内；
（2）F、P、D在同一条直线上，EF⊥DF于点F；CD⊥DF于点D；
（3）平面镜放置于P处，且大小忽略；
（4）测倾器放置于D处，且高度CD＝1米；
（5）无人机看作点A．
相关数据
信息一：小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A，小亮眼睛到地面的铅直高度EF＝1.6米，到平面镜的距离PF＝2.4米；
信息二：小莹在点D处利用测倾器测得∠ACQ＝45°，且DP＝39米．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
A
B
A
B
B
D
D
C
B
题号
12
答案
A
课题
测量悬停在空中的无人机离地面的高度
测量工具
平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明

说明：
（1）所有点都在同一平面内；
（2）F、P、D在同一条直线上，EF⊥DF于点F；CD⊥DF于点D；
（3）平面镜放置于P处，且大小忽略；
（4）测倾器放置于D处，且高度CD＝1米；
（5）无人机看作点A．
相关数据
信息一：小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A，小亮眼睛到地面的铅直高度EF＝1.6米，到平面镜的距离PF＝2.4米；
信息二：小莹在点D处利用测倾器测得∠ACQ＝45°，且DP＝39米．