江苏省淮安市重点高中2024-2025学年高二下学期期中考试试卷 数学（含解析）

这是一份江苏省淮安市重点高中2024-2025学年高二下学期期中考试试卷 数学（含解析），共10页。试卷主要包含了 若，,且∥，则=， 已知随机变量X的分布规律为， 设，且，若能被整除，则， 设随机事件A，B满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，,且∥，则=（ ）
A. 3B. -3C. 6D. -6
【答案】D
【详解】解：由题意得：，,且∥，
可得,可得，
故选D.
【点睛】本题主要考查空间向量平行的性质，相对简单.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】根据组合数性质，
可得．
故选：B．
3. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选：A.
4. 已知向量，，共面，则实数t的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【详解】因为，，三向量共面，
所以存在实数，使得，
所以，解得，
故选：B.
5. 甲，乙二人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则命中目标的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依题意甲、乙是否命中相互独立，
则命中目标的概率.
故选：B
6. 设，且，若能被整除，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为
，
因为能被整除，又，即能被整除，
即能被整除，
所以能被整除，又且，所以.
故选：C
7. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】，，，
则．
故选：A．
8. 为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】依题意高一、高二、高三年级参加活动的学生中女生人数均是人，
记选到的是女生为事件，该生不是高二同学为事件，
则.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于随机变量X的说法正确的是（ ）
A. 若X服从正态分布，则
B. 已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则
C. 若X服从超几何分布，则期望
D. 若X服从二项分布，则方差
【答案】BCD
【详解】对A，由于，所以，根据方差的性质，，故A错误；
对B，服从二项分布，，
解得，
，根据正态分布的对称性可得，，故B正确；
对C，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，，故C正确；
对D，服从二项分布，根据二项分布方差公式得，，故D正确.
故选：BCD.
10. 设随机事件A，B满足，，，则（ ）
A. B. ，相互独立C. D.
【答案】ABD
【详解】随机事件A，B满足，，，
又，
所以，又，
所以，相互独立，故A,B正确；
，故C不正确；
因为，所以，又因为，相互独立，则也相互独立，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 、、、四点共面
B. 平面截正方体所得截面等腰梯形
C. 三棱锥的体积为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
【答案】BCD
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
、、、，
对于A选项，，，，
设，即，
所以，，该方程组无解，所以，、、、四点不共面，A错；
对于B选项，，，所以，，则，
又因为，同理可得，即，
所以，平面截正方体所得截面为等腰梯形，B对；
对于C选项，，
，C对；
对于D选项，，，
所以，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，D对.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知正方体的棱长为1，则的值为_____．
【答案】1
【详解】因为，
又，，所以，
所以.
故答案为：
13. 展开式中含项的系数是______．
【答案】800
【详解】因为或，
可知展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数是800.
故答案为：800.
14. 如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________.

【答案】
【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：

依题意，设，则，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
平面的法向量，
由平面与平面所成（锐）二面角为，得，
化简得，当取得最大值时，最小，此时，，
且，所以.
故答案为:
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知二项式的展开式中二项式系数的和为128．
（1）求展开式中各项的系数和；
（2）求展开式的常数项．
【答案】（1）128；
（2）.
【小问1详解】
由二项式的展开式中二项式系数的和为128，得，解得，
令，得，所以的展开式中各项的系数和为128．
【小问2详解】
二项式的展开式的通项为：，，
令，解得，所以二项式的展开式的常数项为．
16. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，.
设平面PCD的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
设平面PAC的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
因为，
所以，所以平面平面．
【小问2详解】
由（1）知，，所以，，
因为，所以，即，解得，
故，所以，由（1）知，
设直线BM与平面PCD所成的角为，
则，
故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为.
17. （1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【答案】；；
【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法；
（2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况，
若是3,1,1,1分组，则有种，
若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法；
（3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出，
有种派法；
若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生，
有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生，
此时派法有种，
②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种，
合计288种方法；
综上共有种派法.
18. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
（1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”概率；
（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望.
【答案】（1）
（2）甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为.
小问1详解】
由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为.
【小问2详解】
记甲同学答一道多选题得分为，则，
；；，
所以甲同学得分的数学期望为.
记乙同学答一道多选题得分为，则，
；；，
所以乙同学得分数学期望为.
19. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析；
（3）.
【详解】（1）①证明：
；
②证明：
.
（2）令为，为，
由，可得.
证明：.
（3）
由（2）得，即，
原式
.