2025~2026学年辽宁省葫芦岛市高二上册1月期末考试数学试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年辽宁省葫芦岛市高二上册1月期末考试数学试卷（原卷），共6页。

注意事项：
1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知直线，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量.若，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
3. 双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离（ ）
A. 32B. 16C. 8D. 4
4. 某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
5. 如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（ ）
A B. C. D.
7. 两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，则（ ）
A.
B. 的最小值为8
C. 若，则的最小值为5
D. 直线和斜率之积为定值
11. 空间直角坐标系中，点，定义.如图，正方体的棱长为3，为棱的中点，点是平面内两个动点，，，则以下结论正确的是（ ）
A. 点的轨迹是正方形
B. 点的轨迹是圆
C. 点的轨迹是直线
D. 的取值范围
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则____________ .
13. 某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则）
14. 已知椭圆的左顶点为，点为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点且时，椭圆的离心率为______________ .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 在的展开式中，求：
（1）常数项；
（2）二项式系数最大的项；
（3）展开式中所有项系数和.
16. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示．
（1）求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；
（2）建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？
参考公式：①
②
③
参考数据：
17. 已知椭圆的左焦点为，过交椭圆于两点，的最大值与的最小值都等于3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.
18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.边上存在一点，使平面，.

（1）在线段上是否存在一点，使得直线平面？若存在，写出证明过程；若不存在，说明理由.
（2）若平面平面.
①求证：；
②求平面与平面所成角的余弦值.
19. 甲、乙两位候选人参与选举投票，每张选票仅填写一位候选人（无弃票权）．选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分．设每张选票支持甲的概率为，支持乙的概率为，满足，且各张选票的投票结果相互独立．对正整数，记为“统计完张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，为“统计完张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票的概率”．
（1）求（用表示）；
（2）证明：为定值；
（3）证明：对任意正整数，．
售价（元/件）
48
49
50
51
52
月销售量（千件）
10
9
9
7
5