北京市延庆区2026届高三下学期一模考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合 题目要求的一项。
(1)已知集合 A=x∣y=lg2x+1,B={x∣x+2x−3>0} ，则 A∪B=
(A) −1,3
(B) −2,−1
(C) −∞,−2∪3,+∞
(D) −∞,−2∪−1,+∞
(2)已知复数 z 满足 1+iz+2=i ，则在复平面内，复数 z 对应的点位于
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(3)下列函数中，是奇函数且最小正周期为 π 的是
(A) fx=2sinxcsx
(B) fx=csx
(C) fx=tan2x
(D) fx=x3
(4)已知 a,b∈R ，且 a>b ，则下列不等式恒成立的是
(A) a+b2≥ab
(B) 1a2+1>1b2+1
(C) ac2>bc2
(D) ea>eb
(5)若双曲线 x2a2−y2b2=1 的离心率为 2 ，则其渐近线方程为
(A) y=±x
(B) y=±3x
(C) y=±33x
(D) y=±22x
(6)在 △ABC 中， C=120∘ ， a+2b=6 ， sinA=4sinB ，则 c=
(A) 13
(B) 21
(C) 17+43
(D) 17−43
(7)矩形 ABCD 中， BC=6 ， AB=3 ，且 PC=2AP ，则 BA⋅BP=
(A) 92
(B) 94
(C) 6
(D) 3
(8)设等差数列 an 的公差为 dd≠0 ，其前 n 项和为 Sn ，则 “ d>0 ” 是 “ Sn 存在最小值” 的
(A)充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(9)在平面直角坐标系 xOy 中，若对任意的点 Px1,ax1a>0且a≠1 ，都存在 Qx2,2lgbx2b>0且b≠1 ,使得 OP⋅OQ=0 ,且 OP=OQ ,则
(A) ab=1
(B) ab=2
(C) a2b=1
(D) ab2=1
(10)三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 在平面直角坐标系中作 △ABC , AB=AC=6 ,点 B−3,2 ,点 C1,−2 ,且其 “欧拉线” 与圆 M:x+a2+y+a+22=r2 相切. 则圆 M 上的点到直线 x−y+6=0 的距离的最小值为
(A) 22
(B) 22
(C) 322
(D) 522
第二部分 (非选择题 共 110 分.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
(11) x−2x26 的展开式中，常数项为_____.
(12)已知抛物线 C:y2=4x 上一点 Mx0,y0 到焦点 F 的距离为 4，则 y0= _____.
(13)已知 α 是任意角，且满足 csα+k⋅π3=sinα ，则常数 k 的一个取值为_____.
(14)长方体 ABCD−A1B1C1D1 的底面 ABCD 是一个正方形，其边长为 4，长方体的高为 22 ，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为八面体的体积和长方体的体积之比为_____。
(15)若非空实数集 X 中存在最大元素 M 和最小元素 m ，记 ΔX=M−m .
①已知 X={0,1},Y={−1,b} ，且 ΔX=ΔY ，则 b=0 ；
②已知 X=a−2,a,Y=y∣y=x2,x∈X ，则存在实数 a ，使得 ΔY0 与 y 轴的交点为 A,B (点 A 位于点 B 的上方)，且 AB=4 ,椭圆的离心率为 22 .
(I) 求椭圆 C 的标准方程;
( II ) 若直线 y=kx+4 与椭圆 C 交于不同两点 M,N ，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G . 设 △AGB 与 △NGB 的面积分别为 S1 ， S2 ，比较 S1S2 与 AGNG 的大小，并说明理由.
(20)(本小题 15 分)
已知函数 fx=−x+ln−ax ， gx=1axe−x−1 ， a≠0 .
(I) 当 a=2 时,求曲线 y=gx 在点 0,g0 处的切线方程；
(II) 讨论 fx 的单调性;
(III) 是否存在 a ,使得不等式 fx≤gx 恒成立,若存在,求出 a 的所有值; 不存在, 请说明理由.
(21)(本小题 15 分)
设 m 为正整数，数列 a1,a2,…,a4m+2 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 ai 和 aji0 时, fx 的定义域为 −∞,0 . 5 分
f′x=−1+1x=1−xx>0.
所以 fx 的单调递减区间为 −∞,0 6 分
当 a0;x∈1,+∞ 时, f′x0 时, fx 的定义域为 −∞,0 .
所以 f′x0 ,所以 a>0 不合题意. 12 3
当 a0;x∈1,+∞ 时, f′x