陕西省渭南高中联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷含答案（word版）

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第 II 卷 (非选择题 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. -20
13. 21
14. 35 cm 2 分 −n2+38n+321≤n≤18,n∈N∗ 3 分
15. (1) an=12n
(2) b2024+b2027b2025+b2026=72 .
(1)将 a1=12 代入递推式，配方得 22an−an+12=0 ，推出 an+1an=12 ，可得 an 的公比，进而求得 an 的通项公式:
(2)由 T4n 表达式得连续四项和，代入 T4n 得 8k4n−3+4k4n−2+2k4n−1+k4n=3 ，结合 ki∈{−1,1} 枚举出唯一解 1,−1,−1,1 ,再代入具体项计算比值.
(1)由题意得 a1=12 ，则有 12an+an+1=2⋅anan+1 ，(2 分)整理得 22an−an+12=0 ，(3 分) 即 22an=an+1 ，两边同时平方，得 an+1=12an ，(5 分)即 an+1an=12 ，所以 an 是以 a1=12 为首项， 12 为公比的等比数列,(6 分) 所以 an=12⋅12n−1=12n . (7 分)
(2) ∵T4n=151−124n ,
则 T4n−T4n−1=b4n−3+b4n−2+b4n−1+b4n=15124n−4−124n=324n ,(8 分)
即 124n8k4n−3+4k4n−2+2k4n−1+k4n=324n ,(9 分)
所以 8k4n−3+4k4n−2+2k4n−1+k4n=3 ,(10 分)
若 k4n−3=−1 ,则 4k4n−2+2k4n−1+k4n=11 ,显然不成立,
若 k4n−3=1 ,即 4k4n−2+2k4n−1+k4n=−5 ,
此时若: k4n−2=1 ,则 2k4n−1+k4n=−9 ,亦不成立,
故 k4n−2=−1 ,于是 2k4n−1+k4n=−1 ,
若 k4n−1=1,k4n=−3 ,不成立,
所以 k4n−1=−1,k4n=1 ,
综上 k4n−3=1,k4n−2=−1,k4n−1=−1,k4n=1, 11 分)
所以 b2024=122024,b2025=122025,b2026=−122026,b2027=−122027 . (12 分) 故 b2024+b2027b2025+b2026=122024122027122025122026=8−1220272−122026=72 . (13 分)
16. 1an=22n+1
(2) 2n2n+1
(1)根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可.
(2)通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可.
(1)当 n=1 时， 3a1=2 ，得 a1=23 . (3 分)
当 n≥2 时, 3a1+5a2+⋯+2n+1an=2n ,(5 分)
3a1+5a2+⋯+2n−1an−1=2n−1 ,(7 分)
两式相减得 2n+1an=2 ,则 an=22n+1 . (8 分)
当 n=1 时, an=23=22×1+1 符合上式,(9 分)
所以 an=22n+1 . (10 分)
(2)由(1)得 an2n−1=22n−12n+1=12n−1−12n+1 ，(12 分)
所以 Sn=1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1 ，(14 分) 故 Sn=2n2n+1 . (15 分)
17. 1an=qn
(2) (i) b1=1q,b2=1q,b3=1q,b4=2q ; (ii) 证明见解析; (iii) q∈25062027,22531013
(1)由 an 与 Sn 关系推导证明 an 是等比数列，进而求出其通项公式；
(2)(i)通过 b2q=1 与条件 b1q≥1 矛盾分析确定的 b1,b2,b3,b4 值；(ii)推导证明 b4m+1 与 b4m−1 的关系；
(iii) 利用等比数列通项得到 b2026 ,结合 an=qn 的不等式求解 q 的范围.
(1)将 n=1 代入 1−qSn=q1−an ，得 a1=q . (1 分)
由 1−qSn=q1−an ,得 1−qSn−1=q1−an−1n≥2 ,(2 分)
两式相减得 1−qan=qan−1−an ,即 an=qan−1 ,(3 分)
因为 an 为正项数列,所以 q>0 ,则 an 为等比数列,且首项和公比均为 q ,
所以 an=a1qn−1=qn . (4 分)
(2)(i) b2∈b12q,2b12q,b2q=1 ,若 b2=2b12q ,则 b2q=2b12q2=1 ,得 b12q2=12 ,这与 b1q≥1 矛盾,
所以 b2=b12q ,则 b2q=1=b12q2 ,又 bn>0,q>0 ,所以 b1q=1 ,得 b1=b2=1q .
同理得 b3=b1+2∈1q,2q,b4=b2+2∈1q,2q ,(6 分)
又因为 b4m−1