2026云南省三校高三上学期高考备考实用性联考卷（五）数学含解析

这是一份2026云南省三校高三上学期高考备考实用性联考卷（五）数学含解析，共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知向量，，且，则等内容，欢迎下载使用。
数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设i为虚数单位，若复数，则（ ）
A．1B．2C．D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据：
根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（ ）
A．棉花纤维的长度的极差估计值大于
B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一
C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间
D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间
5．已知、是双曲线的左、右两个焦点且焦距为6，点P、Q在双曲线C上且关于原点对称，若线段的中点在y轴上且，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若正三棱台的体积为，的面积为，，则侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
8．设，，且为奇函数，为偶函数，当时，不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．与有相同的对称中心
C．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到
D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数m的取值范围为
10．抛物线过点，点A，B，M在抛物线上，满足点A，B的横坐标之和为4，，则（ ）
A．
B．直线的斜率为1
C．当抛物线在点M处的切线与直线平行时，直线的方程为
D．当抛物线在点M处的切线与直线平行时，
11．设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．记为数列的前n项和，已知数列满足，则 .
13．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 .
14．在中国古代数学中，《九章算术》涉及到约分的问题，需要对互质概念的理解.对于两个正整数而言，若它们仅有公因数1，则称这两个正整数互质.例如1和2，3和4分别都只有公因数1，所以1和2，3和4分别都是互质的.从2160的不同的正因数中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为 .
四、解答题
15．已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，.
(1)求，的通项公式；
(2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
16．已知椭圆：的离心率为，且在椭圆上，直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，且，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求直线l的方程.
17．如图，在四棱锥中，底面，四边形是矩形，，是的中点，.
(1)证明：；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
18．互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间.某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响.记四人抢购到的订单总数为随机变量.
(1)若，求X的分布列以及均值，方差；
(2)已知每个订单由件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值.
19．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)直线l是曲线的一条切线，且l与曲线有无穷多个切点，求l的方程并求出关于x的方程的所有实数解；
(3)已知，且当，都有恒成立，求正整数a的所有可能取值.
参考答案
1．D
【详解】由题意可化简得，则，
故选：D.
2．D
【详解】存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”，
命题“，”的否定是：，．
故选：D．
3．B
【详解】因为，，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
即，
则，解得：，
又因为，
且 ，，，则
.
故选：B.
4．C
【详解】根据表中数据，这400根棉花纤维的长度的极差估计值为，不满足选项A中‘大于’的要求，故A错误；
纤维长度低于44mm的棉花纤维数占比为，故B错误；
由于纤维长度小于44mm的纤维数量为130，纤维长度不低于51的纤维数量为150，
可知这400根棉花纤维的长度的中位数估计值介于44mm至51mm之间，故C正确；
方法一：400根棉花纤维的长度的平均值估计值为，故D错误，
故选：C.
5．A
【详解】∵双曲线的焦距为6，∴.∵线段的中点M在y轴上，
且原点为线段的中点，所以，所以轴，
所以是直角三角形，
又∵点P，Q在双曲线上且关于原点对称，，∴，
结合已知，
可得，根据双曲线的定义，
即，，
在直角中，解得，
故选：A
6．B
【详解】因为，
令，
将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题，
因为，过定点，
作出函数的图象，如图所示：
当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意；
当时，与必有一个交点，
所以与必有2个交点，
设过点的直线与相切于点，
因为，
所以切线的斜率为，
即有，
解得，
所以切线的斜率为，
所以.
故选：B.
7．D
【详解】如图1，设正三棱台三侧棱的延长线交于点，则三棱锥为正三棱锥，
过作平面于，交平面于，连接，
由，则.
又，则
，则棱台体积，解得，
则.
设的边长为，则，解得，
由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，
由平面，得为侧棱与底面所成的角，
所以.
故选：D
8．D
【详解】由，即，得.
又分别为奇函数、偶函数，所以，
联立①②两个式子，解得，.
由成立可得，成立，
又函数在时单调递增，
所以当时，函数取得最小值，为，
所以成立时的最大值为.
故选：D.
9．BC
【详解】由题意知，，又，所以，所以.
选项A:
，故A错误；
选项B：
，所以与有相同的对称中心，故B正确；
选项C：，
向右平移个单位长度，可得，故C正确；
选项D：由，得，
因为在上有极大值点和极小值点，所以，解得，
所以实数的取值范围为，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【详解】对于A选项：因为抛物线过点，
所以，
解得，所以A选项正确；
对于B选项：由A选项知，，
，所以B选项正确；
对于C选项：由B选项知，切线的斜率为1，
令，得，
所以，
设直线的方程为，
联立及，
得，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
当时，直线的方程为，
此时直线过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，
即符合题意，所以C选项错误；
对于D选项：由C选项知：，
所以D选项正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确；
又，则.
因为，则，所以，
令，得，则，所以，即，则关于直线对称，
两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误；
因为关于点对称，关于直线对称，即，，
所以，则，所以的周期；
所以，，所以，
所以，C选项正确；
又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反，
且，令，得，所以，，D选项正确，
故选:ACD.
12．
【详解】当 为奇数时，,当 为偶数时，;
因此， .
故答案为：0.
13．
【详解】因为若不能组成平面上的一个基底，所以，所以，，
所以，，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】因为，则的正因数，其中，，，
所以有个不同的正因数.
从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的情况有如下几种：
①选择的两个因数为、，其中，，有种情况；
②选择的两个因数为、，其中，，有种情况；
③选择两个因数为、，其中，，有种情况；
④选择的两个因数为、，其中，，，有种情况；
⑤选择的两个因数为、，其中，，，有种情况；
⑥选择的两个因数为、，其中，，，有种情况；
⑦若选择的因数有，与其它因数的公约数为，有种情况.
综上所述，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为.
故答案为：
15．(1)，
(2)
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，
显然且.
由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以，
所以；
，
∴，，所以.
（2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…，
依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，
所以
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以.
又在椭圆上，所以.
又，联立解得，，所以.
所以椭圆方程为：.
（2）解法一：设的中点为，因为，所以.

设，，则，，
两式相减得，即
所以即.
设直线：，，，
令得，令，得，即，，
所以，即，解得或（舍去）.
又，即，解得或（舍去），
所以直线：，即.
解法二：，，设的中点为，则，
设，，则，，
两式相减得，即
所以即
所以.
由，得，两式联立解得，，
所以直线方程为，即.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）底面，平面，.
又底面为矩形，所以.
平面，，
平面.
平面，.
又，为的中点，.
又平面，，
平面.
又平面，.
（2）由（1）知，又，平面，，
所以平面，
所以即为与平面所成的角.
由，，则.
又平面，平面，则，
在中，，，则，
所以.
由，则.
由，则.
以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
因为为中点，所以.
.
设平面的法向量为，
则，，令，则，
所以平面的一个法向量为.
又平面的法向量可取.
设平面与平面所成的角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)分布列见解析，，
(2)3或4
【详解】（1）由题意知：的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，
，，
，，
.
所以的分布列为：
所以，.
（2）每个订单对应个商品，故，又，
所以
令，则，
当时，，所以；
当时，；
当时，恒成立，即恒成立；
所以取最小值时正整数的值为3或4.
19．(1)单调减区间为，无单调增区间
(2)直线的方程为或，
当时，方程的所有实数解为或，；
当时，方程的所有实数解为 ()；
当时，方程的解为全体实数.
(3)
【详解】（1）当时，，则，此时，
所以的单调减区间为，无单调增区间.
（2）由，得，
由直线与曲线有无穷多个切点知直线斜率一定存在.
设直线的方程为且与曲线相切于点，
则直线的方程也为，
即，
化简得，
则.
由与曲线有无穷多个切点，即存在无穷多个满足，
若，则可以无穷大，也可以无穷大.
与矛盾，故必有.
此时，解得，，，
则直线的方程为或.
而，即为，
当时，方程的所有实数解为或，.
当时，方程的所有实数解为 ()；
当时，方程的解为全体实数.
（3）因为，，则在上恒成立，
则，且.
当，，不合题意舍去；
当，则，
故.
令，则.
令，由（1）知在上递增，所以，
所以，即在上递增.
又，则，所以在上递增.
又，即，，符合题意；
当，令，则，
所以，不合题意舍去，纤维长度（）
频数
30
40
60
120
100
50
4