四川省成都市郫都区2025届高三下学期三模试题 数学 含解析

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2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答.
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）
1. 如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可.
【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
2. 在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数、向量的知识确定正确答案.
【详解】复数对应的点为,
所以，
对应复数为.
故选：A
3. 已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得直线的方程，代入点坐标来求得.
【详解】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，
圆心为，半径.
两个圆的方程相减并化简得，将代入得，
此时圆，，
，满足两圆相交，符合题意.
故选：B
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，可得，由，可得与，结合两角差的正切公式可得解.
【详解】由，可得，
又，所以，
故，，
又，解得，
故选：B.
5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据题意求出正六边形半径，设出的坐标，再利用向量的数量积和半径列出方程组，求解即可.
【详解】由题 ，
设 ，

解得
故选C.
【点睛】本题目考查了向量的坐标运算和向量的数量积，熟悉向量的公式是解题的关键，难度系数一般.
6. 数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式求得，进而得到，再利用裂项相消法求，解对应的不等式即可得解.
【详解】因为为等差数列，且，则，
所以其公差为，，
所以，则，
所以，
则，
又，解得，即n的最小值为.
故选：C
7. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 取值范围为
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解.
【详解】对于A，当时，，则，
易得上单调递减，且，
当时，，则，
易得在上单调递增，且，即，
当时，，
则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
且，，，，，
从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示，
因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，
所以，故A错误；
对于B，结合选项A中分析可得，
所以，则，故B错误；
对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，
所以，故C正确；
对于D，当时，，
令，得，所以，，
又由图像可知同增同减，所以，故D错误.
故选：C．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法，
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
8. 在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选2个，则这2个点不在同一个部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用排列组合及古典概型的概率的知识计算即可.
【详解】由题意得，从这个点中任选2个，共有种选法，
在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，
所以八个部分中的点的个数分别为，
从这27个点中任选2个，若这2个点在同一个部分，
概率为
所以这2个点不在同一个部分的概率为．
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分．）
9. 把一边不光滑的一条纸（A，B）卷成小筒，得到的是（1～4）中的小筒，其中配对正确的是（ ）
A. A—4B. A—2
C. B—3D. B—1
【答案】AD
【解析】
【分析】结合实际操作可以得到对应结果
【详解】解：将纸和纸卷成小筒时，需要注意纸的不光滑边在卷成筒后的位置.
对于纸，其光滑边在纸的一侧，当卷成筒时，光滑边会形成筒的一条螺旋线，与图相符.
对于纸，其不光滑边在纸的一端，当卷成筒时，不光滑边会形成筒的一端的锯齿状边缘，与图相符.
故选：AD．
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 是的极小值点
C. 若，则
D. 若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，判断A，B；由题意得，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，可判定C；设出切点，写出切线方程，将点P代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围，判断D.
【详解】根据题意，，
则当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以是的极小值点，且，
所以的值域为，A错误，B正确；
由，可得，，
令，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，
因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，两点关于直线对称，
因此，即，C正确；
设切点为，所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
即方程有两个解，则，解得或，D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：选项C中把，看成函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，且函数的图象与函数的图象关于直线对称是解题关键点.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，则（ ）
A. 点在上
B. 面积的最大值为1
C. 曲线恰好经过4个整点（即横，纵坐标均为整数的点）
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】将点代入曲线的方程即可判断；取求，求直线与曲线的交点，即可判断；求直线与曲线的交点，即可判断；求出坐标平面内到定点，的距离和为的点的轨迹方程，求该轨迹方程与曲线的交点，即可判断.
【详解】将点代入曲线的方程左侧可得，
所以点不在上，故错误；
取可得，所以，，所以，
由曲线可得，因为，
设，
当时，，
当时，，代入曲线的方程成立，
所以直线与曲线的交点坐标为，
所以点的纵坐标的绝对值的最大值为，
所以面积的最大值为，故正确；
取可得，所以，，
取可得，所以直线与曲线交于点，
直线与曲线交于点，
所以曲线经过点，，，，故正确；
坐标平面内到定点，的距离和为的点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，由已知可得，又，，
所以，
所以椭圆方程为，
联立，所以，
所以，所以，所以，
故椭圆与曲线的交点为，，
如图，
故曲线上所有点都满足，故正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是结合曲线方程，确定曲线的范围及曲线上关键点的坐标.
第II卷（非选择题共92分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12 ____________.
【答案】
【解析】
【详解】
.
故答案为.
13. 已知，则_____．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】令，从而得到，写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】令，则，
所以，即为，
又展开式的通项为，（其中且），
所以.
故答案为：
14. 设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】令椭圆的左焦点为，则，
由椭圆的定义知，则，
设直线交椭圆于、两点（如图），
而，即，
当且仅当点、、共线时取等号.
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以，即，经检验，此时点在内，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格：
（1）若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据:）
（2）某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求的概率．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用表中数据先求出平均数，再代入公式计算可求得，得出回归方程后进而可预测结果；
（2）分别判断出有放回和无放回的分布模型，再分情况讨论即可计算出概率.
【小问1详解】
依题意可得；
又，
所以，
可知，
所以经验回归方程为，
将代入该方程可得预测第10天该地区门锁的销售数量为；
【小问2详解】
有放回时，随机变量对应的概率为；
无放回时，随机变量对应的概率为；
若，则有以下情况：
当时，，此时概率；
当时，或，此时概率为;
因此可得的概率为.
16. 已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为．
（1）求的方程；
（2）已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）；
（2）直线的方程为或.
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的离心率得双曲线的渐近线方程，再根据顶点到渐近线的距离求得的值，从而得的值，即可得双曲线的方程；
（2）由题可设直线，，则，联立直线与双曲线方程得交点坐标关系，再根据四边形的面积求得的值，即可得直线的方程.
【小问1详解】
双曲线的离心率为，则，
所以，故双曲线的渐近线方程为，即，
双曲线的顶点到渐近线的距离为，则，
故，
所以双曲线的方程为；
【小问2详解】
已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，
则关于原点对称，关于原点对称，
由题可设直线，，则，
联立，
则且，
得或 ，
所以，
点到直线的距离为，
所以四边形的面积，
则，整理得，
解得或，所以或，
所以直线的方程为或.
17. 在四棱锥中，平面．
（1）证明：平面．
（2）若底面，底面为矩形，，E为棱的中点，F为平面内的动点，当取得最小值时，求直线与底面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由线面平行性质定理证明，再由线面平行的判定定理证得结论；
（2）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，求出数量积的表达式，由此可得数量积取最小值时点坐标，再由空间向量法求线面角．
【小问1详解】
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
依题意可设，
则，
所以，
当且时，取得最小值，
此时．
易知平面的一个法向量为，
故当取得最小值时，直线与底面所成角的正弦值为．
18. 设的内角，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求角；
（2）点为边的中点，若，求的面积；
（3）如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正余弦定理以及诱导公式求解即可；
（2）根据为边的中点得到，两边平方后结合余弦定理求解即可；
（3）利用正弦定理得到和，再利用余弦定理结合诱导公式以及二倍角公式得到，写出的表达式，求导判断单调性即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由正弦定理得，
，
所以，即．
由余弦定理，又因为，因此；
或者：由内角和定理得，
由正弦定理可知，
所以，即．
由余弦定理，又因为，因此；
【小问2详解】
因为中线，所以；
两边同时平方得，即，
在中，，由余弦定理可得，
可得，所以；
【小问3详解】
在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即．
因为四边形的内角和为，且，
所以，
在中，
所以，
则，
，
因为在中，所以，
则，在单调递增，
因为，所以，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点在于利用正弦定理将边化角，再利用导数判断函数的单调性.
19. 已知函数，若存在实数与，使得对任意实数，恒成立，则称为“周期函数”.
（1）求，的值，使得为“周期函数”；
（2）若为“周期函数”，证明：为周期函数；
（3）已知为“周期函数”，记函数.若在区间上单调递减，且，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）4046
【解析】
【分析】（1）根据为“周期函数”的定义，列出方程组即可求解；
（2）由为周期函数可得，设，由周期函数的定义即可证明；
（3）若在区间上单调递减可知在上恒成立，即，fn>xex−2024，则.设，则，结合数列相关知识即可求解.
【小问1详解】
令为周期函数，则，.
化简得：，
则，解得，
故为周期函数.
【小问2详解】
证明：由于为周期函数，则.
从而，记，
则①，
②，
由②-①得：，即为周期函数，周期为2.
【小问3详解】
，则，，
从而，fn>xex−2024.
由xex−2024'=x+1ex−2024>0可知函数在上单调递增，
故.③
记，由为“周期函数”知，，.
由（2）的①式可知：，则.
记，故.
又，则.
即，，
即，
由累加法可得：，
所以.
则.
由③知，所以，即的最小值为4046.
【点睛】本题为新定义题目，综合考查函数的周期性、单调性与求数列通项公式的方法.本题第（3）小问的解题关键是根据函数在区间上的单调性转化为在区间上恒成立，而恒成立问题即为求最值，进而得到满足.设，由为“周期函数”知，将问题转化为求数列的通项公式，利用数列相关知识即可求解.
第x天
1
2
3
4
5
6
7
数量y
200
260
280
350
420
440
500