2025_2026学年山东省泰安市长城中学高一上册1月诊断测试数学试卷（原卷）

这是一份2025_2026学年山东省泰安市长城中学高一上册1月诊断测试数学试卷（原卷），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则B. 向量是的一个单位向量
C. 若为钝角，则D. 若在上的投影向量为，则
2. 在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（ ）
A B.
C. D.
3. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ）
A. B. C. D.
4. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
5. 在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆，直线，则（ ）
A. 直线恒过定点
B.
C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于
D. 若直线与直线平行，过该直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则
7. 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为（ ）
A. 2B. 2C. 3D. 2
8. 已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共15分）
9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C
D. 点到平面的距离为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为3
C. 若直线与平行，则与之间的距离为
D. 过点，且在轴截距相等的直线方程为
11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 的周长为4
C. 椭圆上不存在点，使得
D. 若，则的面积为
三、填空题（共18分）
12. 已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____.
13. 已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为___________．
14. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则_____．
四、解答题（共77分）
15. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由.
16. 已知圆，直线过点．
（1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程．
17. 已知左焦点为椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值；
（3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．
18. 如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点.

（1）当平面时，说明点的位置并证明；
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为．
（1）求双曲线方程．
（2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．