初中三元一次方程组及其解法教案

这是一份初中三元一次方程组及其解法教案，共8页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
《三元一次方程组及其解法》是浙教版初中数学七年级下册第二章第五节的内容．本课是在学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用的基础之上，提出了本课的具体学习任务:了解三元一次方程组的概念，会用“代入消元”“加减消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决．对数学知识感兴趣的同学能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法并解决实际问题，能根据具体问题中的数量关系列出方程，更深的体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．

二、学情分析
学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已经学习过了二元一次方程组的相关内容，同时根据课前的要求复习了二元一次方程组的解法．这节课的目的就是让学生通过类比，将二元一次方程组的解法运用到三元一次方程组的解题中，并归纳出解题思路．由于学生之间存在个体差异，部分学生在选取消元方法上存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．

三、教学目标
1．知道三元一次方程和三元一次方程组的概念，会识别三元一次方程和三元一次方程组．
2．能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
3．能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．

四、教学重难点
重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想．
难点：根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．

五、教学过程
复习回顾
问题1：解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
代入
问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元
加减
二元一次方程组 一元一次方程
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评．
设计意图：通过复习解二元一次方程组的基本思想和基本方法，为进一步学习解三元一次方程组做好铺垫．
探究新知
活动一：探究三元一次方程（组）及其解的概念
问题3：一副扑克牌共54张．老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名学生．甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张．老师分给甲、乙、丙各多少张牌？
提出问题：
1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知数？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设甲、乙、丙牌的张数分别是x、y、z，根据题意可以得到下列三个方程:x+y+z=54，x=2y，y+12z=x+2类似于二元一次方程组，可以得到方程组：x+y+z=54，x=2y，y+12z=x+2．
1．它们有什么共同特点？
它们都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1；
2．类比二元一次方程，你能说出这两个方程是什么方程吗？
这两个方程都是三元一次方程；和二元一次方程类似，像x+y+z=54这样，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程．
3．那么方程组应该叫做什么方程组呢？
是三元一次方程组，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组；
4．你能得出什么是三元一次方程组的解？
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解．
例如，x=20，y=1，z=24 就是三元一次方程组x+y+z=54，x=2y，y+12z=x+2 的解．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：引导学生通过观察、思考、归纳和概括得出三元一次方程（组）的概念，突出数学概念的形成过程，使学生较好地认识数学概念的本质，注重学生获取知识的过程和采用的方法．
活动二：探究解三元一次方程组的步骤
试一试：解三元一次方程组x+2y−z=1， ①2x−y+z=−2，②x=y−z． ③
解：将③分别代入①②，消去x，得3y−2z=1，y−z=−2．
解这个二元一次方程组，得y=5，z=7．
将y=5，z=7．代入③得，x=-2．所以原方程组的解是x=−2，y=5，z=7．
这里，我们用的是代入消元法：将③代入①②，消去未知数x，转化为只含有y、z的二元一次方程组求解．
巩固：解方程组3x+2y+z=13，①x+5y+2z=7， ②2x+3y−z=12．③
解：①+③，得5x+5y=25．④
①×2-②，得5x-y=19．⑤
④-⑤得，6y=6，所以y=1．将y=1代入⑤，得x=4．再将x=4y=1代入①，得z=−1，所以原方程组的解是x=4，y=1，z=−1．
这里，我们用的是加减消元法：将①+③和①×2-②，消去未知数z，转化为只含有x、y的二元一次方程组求解．
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：让学生观察、比较、总结出三元一次方程组的解法，从中体会到解方程组中“消元”的本质．
应用新知
例1：解三元一次方程组x=y+1 ①x+2z=−2y−z=3．③，②
解：把①代入②，得y+1+2z=-2，即y+2z=-3 ④
④-③，得3z=-6，所以z=-2，
把z=-2代入③，得y=1，
把y=1代入①，得x=2，
所以原方程组的解是x=2，y=1，z=−2．
例2：解三元一次方程组3a−b+c=4， ①2a+b−c=6， ②2a+3b−c=12．③
解：①+②，得5a=10 ，所以a=2，
①+③，得5a+2b=16，
把a=2代入，得10+2b=16，所以b=3，
把a=2，b=3代入①，得c=1，
所以原方程组的解是a=2，b=3，c=1．
例3：甲、乙、丙三人的年龄之和为20岁，甲年龄的2倍比乙的年龄大1岁，乙年龄的13等于丙的12，甲、乙、丙三人各几岁？
解：设甲x岁，乙y岁，丙z岁．根据题意得x+y+z=20，①2x−y=1， ②13y=12z． ③
①+②，得3x+z=21 ，④
①×2-③×6，得2x+5z=40，⑤
④×5-⑤，得13x=65，所以x=5，把x=5代入④，得z=6，把x=5代入②，得y=9，
所以原方程组的解为x=5，y=9，z=6．
答：甲5岁，乙9岁，丙6岁．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过三个例题的展示，学生在解答的过程中体会不同解法的共同之处都是“消元”，对特殊的方程还可以用特殊的方法去解，可考虑整体代入进行消元．培养学生独立获取知识的愿望和能力．
课堂练习
1．解三元一次方程组3x−4y=4， ①5x+2y+3z=2，②z=2x−7． ③
解：把③代入②，消去z，得11x+2y-23=0，④
将④和②联立，得方程组11x+2y−23=0，3x−4y=4．
解方程组，得x=2，y=12．
把x=2代入③，得z=-3，
所以原方程组的解是x=2，y=12，z=−3．
2．解三元一次方程组a+2b+3c=2， ①3a+b+15c=18， ②4a−9c=17． ③
解：②×2-①，得5a+27c=34，④
④+③×3，得17a=85，解得a=5，
把a=5代入③，得20-9c=17，解得c=13，
把a=5，c=13代入①，得2b+6=2，解得b=-2，
所以原方程组的解是a=5，b=−2，c=13．
3．解三元一次方程组a+b+c=2， ①3a−b−2c=0， ②a+2b−c=−3．③
解：①+③，得2a+3b=-1，④
①×2+②，得5a+b=4，⑤
将④和⑤联立，得方程组2a+3b=−1，5a+b=4．解得a=1，b=−1．
把a=1，b=-1代入①，得c=2，
所以原方程组的解是a=1，b=−1，c=2．
4．球类运动室有篮球、排球和足球共26个．已知篮球比排球多1个，排球与足球个数的和比篮球多6个．这三种球各有多少个?
解：设篮球x个，排球y个，足球z个．根据题意得x+y+z=26，①x−y=1， ②y+z−x=6． ③
①+②，得2x+z=27 ，④
①-③，得2x=20，所以x=10，
把x=10代入④，得z=7，
把x=10，z=7代入①，得y=9，
所以原方程组的解为x=10，y=9，z=7．
答：篮球有10个，排球9个，足球7个．
师生活动：学生独立解决问题，然后小组内交流解决问题的过程，组内互助，完善过程，学生代表板演解决问题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升．
设计意图：让学生通过练习进一步巩固解三元一次方程组方法的掌握．
课堂检测
1．解三元一次方程组x=y+z， ①2x+2y−3z=5，②x−y−2z=−3． ③
解：把①代入②，得4y-z=5，④
把①代入③，得z=3，
把z=3代入④，得4y-3=5，解得y=2，
把y=2，z=3代入①，得x=5，
所以原方程组的解是x=5，y=2，z=3．
2．三元一次方程组3x−y+z=4，2x+3y−z=12，x+y+z=6．
解：①+②，得5x+2y=16，④
②+③，得3x+4y=18，⑤
④×②-⑤，得7x=14，解得x=2 ，
把x=2代入④，得y=3，
把x=2，y=3代入③，解得z=1，
所以原方程组的解是x=2，y=3，z=1．
3．解三元一次方程组12x−y=13z， ①x−y−1=z， ②4x−5y+3z=5．③
解：①×6-②×2，得x-4y=-2，④
②×3+③，得7x-8y=8，⑤
④×2-⑤，得-5x=-12，解得x=125，把x=125代入④，得y=1110，
把x=125，y=1110代入②，得z=310，
所以原方程组的解是x=125，y=1110，z=310．
4．已知代数式ax2+bx+c．当x=1时，它的值是0；当x=-1时，它的值是-2；当x=2时，它的值是4．求a，b，c的值．
解：根据题意得a+b+c=0， ①a−b+c=−2， ②4a+2b+c=4． ③
①+②，得a+c=-1 ，④
②×2+③，得2a+c=0，⑤
⑤-④，得a=1，
把a=1代入④，得c=-2，
把a=1，c=-2代入①，得b=1，
所以原方程组的解为a=1，b=1，c=−2．
答：a是1，b是1，c是-2．
5．小红的储蓄罐里有1角、5角和1元的硬币共33枚，其中1角和5角的硬币数之比为3：2，5角和1元的硬币数之比为5：4．请你算一算，1角、5角和1元的硬币各有多少枚?储蓄罐中共有多少元?
解：根据题意得1角：5角：1元=15：10：8
设1角的硬币有15x枚，5角的硬币有10x枚，1元硬币有8x枚．
根据题意得，10x+15x+8x=33，
解得：x=1，所以15x=15，10x=10 8x=8
15×0．1+10×0．5+8×1=14．5（元）
答：1角的硬币有15枚，5角的硬币有10枚，1元的硬币有8枚，储蓄罐中共有14．5元．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：考查学生列方程解决数学问题和解简单的三元一次方程组的能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．是三元一次方程组需要满足什么条件？
3．三元一次方程组的解法是什么？

设计意图：引导学生自己小结本节课的知识要点，加深学生的印象，使知识系统化．

六、板书设计
2．5三元一次方程组及其解法
1．三元一次方程（组）的概念 例题
2．三元一次方程的解 练习