广东省江门市2026届高三下学期3月一模数学试题（Word版附答案）

这是一份广东省江门市2026届高三下学期3月一模数学试题（Word版附答案），共20页。试卷主要包含了 考试结束后，将答题卡交回，004等内容，欢迎下载使用。
满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 做选择题时, 必须用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时, 必须用黑色字迹钢笔或签字笔, 将答案写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知 z=52−i (其中 i 是虚数单位),则 z 的共轭复数为
A. 2−i B. 2+i C. 10−5i D. 10+5i
2. 已知集合 A=x x+2x−4≤0,B=x 2x≥8 ，则 A∩B=
A. [−2,3) B. [−2,+∞) C. 3,4 D. 3,4
3. 已知双曲线 x2a2−y27=1 的两个焦点分别是 F1 与 F2 ,焦距为 8,M 是双曲线上的一点,且 MF1=5 ，则 MF2=
A. 1 B. 8 C. 9 D. 11
4. 某班级图书角有 5 种课外书, 甲、乙两名同学从 5 种课外书中各自选 2 种, 则两人选的课外书没有相同种类的选法有
A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种
5. 设 fx 是定义在 R 上且周期为 2 的奇函数,当 2b>a B. c>a>b C. b>c>a D. b>a>c
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 从某小区抽取 100 户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在 50∼350kW⋅h 之间, 进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间), 画出如图所示的频率分布直方图.

根据此频率分布直方图, 则
A. x=0.004
B. 估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为 136.1 kW⋅h
C. 估计该小区有一半左右的居民用户,其月用电量介于 150 kW⋅h 至 250 kW⋅h 之间
D. 当该小区的月用电标准定在 245.5 kW⋅h 时,该小区大约 80% 的居民用户用电量不受影响
10. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB , 则
A. C=π3
B. 当 a=2b 时, sinA=277
C. 当 a+b=4 时, △ABC 面积的最大值为 1
D. 当 △ABC 为锐角三角形时, ba 的取值范围是 12,2
11. 设抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F ,过点 2,0 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点，点 Q 为线段 AB 中点，若与 AB 平行的直线与抛物线 C 相切于点 P ,则
A. △OAB 是直角三角形 B. 点 Q 的轨迹方程为 x=y2+1y≠0
C. PQ 与 x 轴平行 D. OAOB≤PAPB
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 在 x−1x6 的展开式中,常数项是_____. (用数字作答)
13. 在 △ABC 中, AB=BC=6,∠B=π2,D 是 BC 边的中点, E 是 CA 边上的点,且 CE=2EA ，则向量 AD 与向量 BE 的夹角的余弦值为_____.
14. 已知一个圆锥的底面半径为 3,侧面积为 18π . 若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体(圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题 13 分)
已知数列 an 的首项 a1=3 ,前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn+3=an+1+n .
(1)求证:数列 an−1 为等比数列；
(2)若 bn=nan ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. (本题 15 分)
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AC=23 ， BC=4 ， ∠ACB=30∘ ， 平面 ABB1A1⊥ 平面 ABC .
(1)求证: AC⊥BB1 ；
(2)若 AA1=2 ，直线 BB1 与平面 ABC 所成的角为 60∘ ，求二面角 A−BB1−C 的平面角的余弦值.

17. (本题 15 分)
某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从 A、B、C 三类问题中各抽取一个问题回答, A、B、C 类问题回答正确的得分依次是 2 分、3 分、5 分, 回答错误得 0 分. 已知甲同学能正确回答 A、B、C 类问题的概率依次为 34、23、12 ,乙同学能正确回答 A、B、C 类问题的概率都为 12 ,总分最高的选手获胜,且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.
(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率;
(2)记 X 为甲同学的总得分，求 X 的分布列及期望；
(3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于 5 分的概率.
18. (本题 17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长为 4,离心率为 32 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆 C 的左右顶点分别为 A1,A2,P 是直线 x=4 上一点，直线 PA1,PA2 分别交椭圆于点 M,N 两点，连接 MN 交 x 轴于点 D .
(i) 当 ∠A1PA2 最大时,求点 P 的坐标;
(ii) 若 S△MA1D=λ⋅S△NA2D ,求 λ 的取值范围.
19. (本题 17 分)
帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 已知函数 fx 在 x=0 处的 m,n 阶帕德近似定义为: Rx=a0+a1x+a2x2+⋯+amxm1+b1x+b2x2+⋯+bnxn , 且满足 f0=R0,f′0=R′0,f20=R20,fm+n0=Rm+n0 . 其中 f2x=f′x′,f3x=f2x′,fm+nx=fm+n−1x′ . 已知 fx=lnx+1 在 x=0 处的 2,2 阶帕德近似为 Rx=a0+a1x+12x21+b1x+16x2 .
(1)求 a0,a1,b1 的值；
(2)若对于任意的 x∈[0,+∞) ，不等式 fx≥k⋅Rx 恒成立，求 k 的取值范围；
(3)已知 x1,x2,x3 是函数 hx=x2−1lnx−ax−12 的三个不同的零点，且 x1b>0 的长轴长为 4,离心率为 32 .
(1)求椭圆的标准方程;
( 2 )椭圆 C 的左右顶点 A1,A2,P 是直线 x=4 上一点，直线 PA1,PA2 分别交椭圆于点 M,N 两点，连接 MN 交 x 轴于点 D .
(i) 当 ∠A1PA2 最大时,求点 P 的坐标;
(ii) 若 S△MA1D=λ⋅S△NA2D ,求 λ 的取值范围.
(1) 由题意可得, 2a=4 ,即 a=2 , 1 分
又 e=ca=32 ,得 c=3 , 2 分
又 b2+c2=a2 ,得 b=1 , 3 分
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1 . 4 分
(2)(i)设点 P4,t ，直线 PA1,PA2 的倾斜角分别为 α,β ，
得 kPA1=tanα=t6, kPA2=tanβ=t2 , .5 分

当 t=0 时, tan∠A1PA2=0 ,此时 ∠A1PA2=0 , 6 分
当 t>0 时, ∠A1PA2=β−α ,
则有 tan∠A1PA2=tanβ−tanα1+tanαtanβ=t2−t61+t6×t2=4t12+t2=412t+t≤33 ,
当且仅当 t=23 时,等号成立, .7 分
当 t0 ,则 196,a−3x3+x1+2+2a>0 ,
由 x2=1 ,则有 a−3x1+2x2+x3+2a>0 ,原命题得证. 17 分
法二: 因为 x10 ,
由 x2=1 ,则有 a−3x1+2x2+x3+2a>0 ,原命题得证. 17 分
部分选填得答案过程如下:
8. 已知函数 fx=x3+x, gx=x+x,hx=x+lg2x ,若 fa=gb=hc ,则 a,b,c 的大小关系不可能是
A. c>b>a B. c>a>b C. b>a>c D. b>c>a

【答案】C
由题意令 fx=gx ,即 x3+x=x+x ,得 x=1 ,
又 gx=hx ,即 x+x=x+lg2x ,得 x=4 或 x=16 ,
令 fa=gb=hc=m ,则 fx=m,gx=m,hx=m ,
可化为 fx=m−x,gx=m−x,hx=m−x ,
a,b,c 是函数 fx,gx,hx 的图象与直线 y=m−x 的交点横坐标,
如图所示,可得当 0b .
当 1a ,当 4a ,当 b,c>16 ,有 c>b>a , 所以答案选 C.
10. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB , 则
A. C=π3
B. 当 a=2b 时, sinA=277
C. 当 a+b=4 时, △ABC 面积的最大值为 1
D. 当 △ABC 为锐角三角形时, ba 的取值范围是 12,2
【答案】AD
对于 A 选项,由正弦定理, asinA=bsinB=csinC=2R ,
代入条件得 a2+b2−c2=ab ,由余弦定理, csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12 ,
又 C∈0,π ,故 C=π3 . 故 A 正确;
对于 B 选项,将 a=2b 代入 a2+b2−c2=ab ,得 c=3b ,
由余弦定理, csA=b2+c2−a22bc=b2+3b2−4b22b⋅3b=0 ,故 A=π2,sinA=1.B 错误;
对于 C 选项,若 a+b=4 ,由基本不等式可得
△ABC 的面积 S=12absinC=34ab≤34⋅a+b22=3 ,
当且仅当 a=b=2 时取等号,故 △ABC 面积的最大值为 3 . C 错误;
对于 D 选项,解法一: 由 asinA=bsinB ,
得 ba=sinBsinA=sin2π3−AsinA=32csA+12sinAsinA=32tanA+12 ,
由 C=π3 ,得 B=2π3−A ,又 △ABC 为锐角三角形,所以 A∈π6,π2 ,
所以 tanA∈33,+∞ ,所以 32tanA∈0,32 ,故 ba∈12,2 . D 正确.
解法二: 由 △ABC 为锐角三角形且 C=π3 ,得 00 ,即 b2+c2>a2a2+c2>b2 .
结合 a2+b2−c2=ab ,化简得 ba∈12,2 . D 正确.
11. 设抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F ,过点 2,0 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 中点, 若与 AB 平行的直线与抛物线 C 相切于点 P ,则
A. △OAB 是直角三角形 B. 点 Q 的轨迹方程为 x=y2+1y≠0
C. PQ 与 x 轴平行 D. OA∥OB≤PAPB
【答案】ACD
设过点 2,0 的直线的方程为 x=my+2,Ax1,y1,Bx2,y2 ,
联立方程组得 x=my+2y2=2x ,消去 x 得 y2−2my−4=0 ,
所以有 y1+y2=2m,y1y2=−4 ,
又 x1=my1+2,x2=my2+2 ,
所以有 x1+x2=my1+y2+4=2m2+4 ,
x1x2=my1+2my2+2=m2y1y2+2my1+y2+4=4 ,
选项 A: OA=x1,y1,OB=x2,y2 ,
OA⋅OB=x1x2+y1y2=4−4=0 ,所以 OA⊥OB ,即 △OAB 是直角三角形, A 正确.
选项 B: 由 A,B 的中点坐标 Qx1+x22,y1+y22 ,即 Qm2+2,m ,
所以线段 AB 中点 Q 的轨迹方程为 x=y2+2y≠0 ,选项 B 错误.
选项 C: 设直线 x=my+n 与抛物线相切于点 P ,
联立方程得 x=my+ny2=2x ,消去 x 得 y2−2my−2n=0 ,
所以 Δ=4m2+8n=0 ,解得 2n=−m2 ,
代入上式可得 y2−2my+m2=0 ,解得 y=m ,即点 Pm22,m ,
由 Qm2+1,m ,则 PQ 与 x 轴平行,选项 C 正确.
选项 D: 则点 P 到直线 x=my+2 的距离 d1=m2+42m2+1 ,
点 O 到原点的距离为 d2=2m2+1 ,所以 d1≥d2
S△OAB=12OAOB=12ABd2, S△PAB=12PAPBsin∠APB=12ABd1,
所以 OAOB≤PAPBsin∠APB ,
又因为 sin∠APB≤1 ,所以 OAOB≤PAPB ,选项 D 正确.
14. 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π. 若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由转动的正方体(圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为_____.
【答案】 8
要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大, 则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球.
设圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,则圆锥侧面积为 12⋅2πr⋅l=3π⋅l=18π ,
解得母线长 l=6 .
如图,在圆锥轴截面 PAB 中, cs∠PAB=AO1PA=rl=12 ,则 ∠PAB=π3 ,

所以 ∠O2AO1=π6 ,
所以 O1O2=AO1tan∠O2AO1=3tanπ6=3 ,
即正方体外接球半径为 3 .
设正方体的棱长为 a ,则 a2+a2+a2=232 ,
解得 a=2 ,所以正方体的体积为 V=a3=8 .题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
B
C
C
D
题号
9
10
11
答案
BCD
AD
ACD
题号
12
13
14
答案
15
−35
8
X
0
2
3
5
7
8
10
P
1 24
324
224
7 24
324
224
6 24