2025-2026学年下学期四川宜宾一中高二数学3月第二次周考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期四川宜宾一中高二数学3月第二次周考试卷含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知函数 fx=x3−x ，则 f′1= ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数 fx=x−lnx 的单调减区间是( )
A. 12,+∞ B. 0,12 C. 1,+∞ D. 0,1
3. 已知函数 fx=2x−2ex ,则( )
A. fx 有极小值,且极小值为 0 B. fx 有极小值,且极小值为 -2
C. fx 有极大值,且极大值为 0 D. fx 有极大值,且极大值为 -2
4. 已知函数 fx=−x3+ax2−x−1 在 R 上是单调函数，则实数 a 的取值范围是( )
A. −∞,−3∪3,+∞ B. −3,3
C. −∞,−3∪3,+∞ D. −3,3
5. 若函数 fx=lnx+ax2−2 在区间 14,3 内存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围是( )
A. −∞,−12 B. −18,+∞ C. −12,+∞ D. −∞,−118
6. 已知定义域为 R 的函数 fx 满足 f1=e ,且 f′x−fxex+1 的解集是( )
A. 2,+∞ B. −∞,2 C. 0,+∞ D. −∞,0
7. 函数 fx=1−csxsinx 在 −π,π 的图象大致为( )
A.

B.

C.

D.

8. 已知函数 fx=exx−αx2,x∈0,+∞ ，当 x2>x1 时，不等式 fx1x2−fx2x1y>0 ,则下列不等式正确的有( )
A ex−ey>x−y B. lnx−lny>x−y
C. lnx≥1−1x D. lnx−lnyx−yy+x>2
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 曲线 fx=lnx−x 在点 1,f1 处的切线方程为_____.
13. 已知函数 fx=x3+ax2+x+b 在 x=1 处取得极值 5,则 a−b=−r .
14. 已知函数 fx=ax2+a−2x−lnx 有两个零点，则实数 a 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 已知等差数列 an 的公差为 4， bn 是公比大于 0 的等比数列，且 b1=1,a1=b2 ， a2+b3=16 .
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)求数列 an+bn 的前 n 项和 Sn .
16. 已知函数 fx=13x3+x2−8x+43
( 1 )求 fx 的单调区间；
( 2 )若 x∈−2,4 ，求 fx 的最大值与最小值.
17. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，侧面 PAD 为等腰直角三角形，底面 ABCD 为直角梯形， AB⊥AD,BC//AD,PA=PD=PC=22,AD=2AB=2BC,O 为 AD 的中点.

(1)求证: PO⊥CD ；
(2)求平面 PAD 与平面 PCD 所成的锐角二面角的余弦值.
18. 已知双曲线 Γ:x2a2−y2b2=1 经过点 P4,3,A,B 为左右顶点，且 AB=4 .
(1)求双曲线 Γ 的标准方程；
(2)设过 T4,0 的直线与双曲线交于 C ， D 两点(不与 AB 重合)，记直线 AC ， BD 的斜率为 k1,k2 ,证明: k1k2 为定值.
19. 已知函数 fx=12x2−a+2x+2alnx
(1)试讨论函数 fx 的单调性；
(2)当 x>1 时,不等式 fx>12x2−a+2x−aa−1x+2aa−2 恒成立，求正整数 a 的最大值.
宣夷市一中 2024 级高二下期数学第二次周考参考答案
1.D 2.D 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.BC 10.ACD 11.ACD
12.y +1 =0; 13.-7; 14. (0,1)
11. ACD:A 项,令 fx=ex−x ,则 f′x=ex−1 ,令 f′x=ex−1>0 ,解得 x>0 , 所以函数 fx 在 0,+∞ 上单调递增. 所以当 x>y 时, ex−x>ey−y ,即 ex−ey>x−y , A 正确: B项,令 x=e,y=1 ,则 1>e−1 ,于是 e0 ，则 f′x=1x−1x2=x−1x2 ，当 0y>0 ，则 t>1 ，构造函数 ft=lnt−2t−1t+1 ，
f′t=1t−4t+12=t+12−4ttt+12=t−12tt+12>0 在 1,+∞ 上恒成立,
即 ft 在 1,+∞ 上单调递增. 又 f1=0 ,即 ft>0 在 1,+∞ 上恒成立,
则有 lnt−2t−1t+1>0 ,化简得 lntt−1t+1>2 ,将 xy=t 代入不等式可得: lnxyxy−1xy+1>2 ,
化简得: lnx−lnyx−yx+y>2 , D 正确.
14. 0,1 ; 解: fx=ax2+a−2x−lnx,a∈R ,
∴f′x=2ax+a−2−1x
=2ax2+a−2x−1x
=2x+1ax−1xx>0
(1)当 a≤0 时， f′x0 时， fx 在 0,1a 递减，在 1a,+∞ 内递增
fxmin=f1a=a⋅1a2+a−2⋅1a−ln1a=−1a+1+lna
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显然当 x→0+ 时, fx>0,f3a=a×3a2+a−2×3a−ln3a=3+3a−ln3a
因为 x−lnx>0x>0 恒成立,所以 3a−ln3a>0 ,
f3a=a×3a2+a−2×3a−ln3a=3+3a−ln3a>0 成立
当 f1a=1+lna−1a0,ga=1+lna−1a 上
0,+∞ 单调递增,又 g1=0,f1a=1+lna−1a