四川省宜宾市2023届高三理科数学下学期第二次诊断性测试试题（Word版附解析）

宜宾市普通高中2020级第二次诊断性测试

数学（理工类）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合交集的定义运算即可．

【详解】集合，，则

故选：C

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的除法先求解，再求其共轭复数即可.

【详解】由得，

所以.

故选：B.

3. 2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报．下图1是2018-2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018-2022年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）．根据图1，图2，以下描述不正确的是（    ）

A. 2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势

B. 2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落

C. 2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7%

D. 2020年第二产业增加值较2019年有所减少

【答案】D

【解析】

【分析】根据给出的图形逐一分析判断即可.

【详解】依题意，

对于A：由图1可以看出直方图逐年增高，所以2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势，故A正确；

对于B：由图1可以看出折线在2020年与2022年时与上一年连线的斜率小于0，故B正确；

对于C：由图2可以得出2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重最大值为：54.5%，

最小值为：52.8%，所以极差，故C正确；

对于D：结合图1图2可知，2019年第二产业的增加值为：亿元；

2020年第二产业的增加值为：亿元.

因为，所以2020年第二产业增加值较2019年有所增加，

故D错误.

故选：D.

4. 已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的最值即可求解.

【详解】依题意，

因为函数有且只有1个零点，

所以有且仅有一个解，

即有且仅有一个解，

转化为与有且仅有一个交点，

当时，与没有交点，所以；

当时，因为，所以，

当时，有最小值1，有最小值，

此时与没有交点，

由于与都是偶函数，

若在除去之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，

所以不符合题意；

当时，因为，所以，

又因为，

所以当且仅当时，此时有唯一的交点.

故选：B.

5. 四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由正切函数的定义即可求得，再根据正切的和差公式即可求解.

【详解】依题意，设正方形的边长为1，

根据正切函数定义有：，

所以.

故选：C.

6. 已知某四棱锥三视图如图所示，其正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥最长的棱长是（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三视图还原四棱锥即可求解.

【详解】依题意，

还原三视图得四棱锥的几何图形，如图所示：

其中底面是边长为1的正方形，底面，且，

由图易得最长的棱为，

所以.

故选：D.

7. 下列判断正确的是（    ）

A. 若，则的最小值是5

B. 若，则

C. 若，则的最小值是

D. 若，则

【答案】A

【解析】

【分析】根据均值不等式计算得到A正确，根据函数单调性得到C错误，举反例得到BD错误，得到答案.

【详解】对选项A：，当且仅当，即时等号成立，正确；

对选项B：取，满足，不成立，错误；

对选项C：，则，在上单调递减，故的最小值为，错误；

对选项D：取，满足，不成立，错误；

故选：A

8. 下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】画出平面图形，根据余弦定理即可求解.

【详解】依题意，如图所示：其中点与点重合，

因为该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，

，，是的四等分点，，，是的四等分点

所以，，，

所以为直角三角形，四边形为矩形，

所以且，

又，所以，

在中，由余弦定理得：

，

所以，

所以.

故选：A.

9. 已知长方体中，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ）

A. 平面 B. 点到平面的距离是

C. 平面 D. 异面直线与所成角的余弦值为

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，计算给点坐标，得到平面的法向量为，再根据公式依次计算每个选项得到答案.

【详解】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

设平面的法向量为，则，

取得到，

对选项A：，，平面，故平面，正确；

对选项B：，点到平面的距离是，正确；

对选项C：，与不平行，错误；

对选项D：，，与所成角的余弦值为，正确.

故选：C

10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形的内切圆圆心到各边距离都等于半径，从而得到，，，再由找到的等量关系，进而求得离心率的值.

【详解】设的内切圆半径为，则，，，

所以，又,，所以，即，所以，

故选：D.

11. 已知函数的图象在点（其中）处的切线与圆心为的圆相切，则圆的最大面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用点到直线的距离表示出半径关于的函数，构造函数讨论单调性求出极大值即可.

【详解】依题意，

切点，，，

所以切线为：，即，

因为切线与圆相切，所以，

所以，令，

则

，

令，解得，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，

所以.

故选：B.

【点睛】方法点睛：导数是可以用来讨论函数单调性的工具，而函数的最值问题往往可以用单调性来求解.

12. 已知函数，给出下列4个结论：

①的最小值是；

②若，则在区间上单调递增；

③将的函数图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象，则；

④若存在互不相同的，，，使得，则

其中所有正确结论的序号是（    ）

A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②

【答案】A

【解析】

【分析】化简得到，，①正确，时，，②正确，，时不相等，③错误，，解得，④正确，得到答案.

【详解】，

对①：当时，，正确；

对②：，则，时，，正确；

对③：，时，，不相等，错误；

对④：，，，

则，，

当时，，故当时，，解得，正确.

故选：A

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 在中，是的中点，，点为的中点，则______．

【答案】8

【解析】

【分析】运用向量运算法则即可求解.

【详解】依题意，如图所示：

因为是的中点，点为的中点，

所以，

所以.

故答案为：8.

14. 当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是______年前．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，列出方程，求得的值，即可得到答案.

【详解】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 ，

因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为，

令，可得，所以，解得年.

故答案为：年.

15. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______．

【答案】9

【解析】

【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解.

【详解】依题意，

因为抛物线的焦点为，所以，

①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，

设过的直线的直线方程为：，，

由抛物线定义得：，

由消整理得：，

所以，即，

所以；

②当不存在时，直线为，此时，

所以；

综上可知，的最小值为：9.

故答案为：9.

16. 已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】画出立体几何图形与相应的截面图，易得当点为与球的交点时，取得最小值，由即可求解.

【详解】依题意，

因为三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，

所以三棱锥为正四面体，如图所示：

由正四面体的性质易得：

顶点在平面上的投影为，

为外接圆的圆心且为的重心，

作出球的截面，由图可知，当点为与球的交点时，

取得最小值，此时三点共线，，

因为为等边三角形，其外接圆的半径为，

所以，

由勾股定理得：，

所以，又，

所以，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：三角形的外接圆半径，可利用正弦定理快速求解.立体几何外接球内切球问题，需要数形结合画出相应的几何图形便于分析求解.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必做题：共60分．

17. 2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，在中国新能源车的销量中更是一骑绝尘，占比约为30%．为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；

（2）若从中国新能源车中随机地抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为，求的分布列与数学期望．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图得到概率为，众数为，计算得到答案.

（2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【小问1详解】

销售价格位于区间（单位：万元）的概率为.

销售价格的众数为

【小问2详解】

的可能取值为，

；；

；，

分布列为：

.

18. 已知数列，，，记为数列的前项和，．

条件①：是公差为2的等差数列；条件②：．

从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①：由与的关系即可求解；选②：由等差数列的定义即可求；

（2）利用错位相减法即可求解.

【小问1详解】

因为为数列的前项和，所以.

选择条件①：因为是公差为2的等差数列，

首项为，

所以，

整理，得，

所以，

所以，

所以，当时也符合，

所以；

选择条件②：因为，所以，

所以，

所以，整理，得，

所以是以为首项，公差为1的等差数列，

所以，

即.

【小问2详解】

由（1）知，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

整理，得.

19. 圆柱中，四边形为过轴的截面，，，为底面圆的内接正三角形，．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接延长交于点，连接，证明三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，运用向量垂直的性质即可证明，再由线面垂直判定定理即可证明；

（2）由（1）知是平面的一个法向量，根据求法向量的步骤求出平面的法向量，求出两个平面法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

依题意，连接延长交于点，连接，

因为为底面圆的内接正三角形，

所以既是的外心也是重心，所以为的中点，

因此，又，

所以，，

又底面，，底面，所以，，

所以三条直线两两垂直，以为空间直角坐标系原点，

分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为四边形为过轴的截面，，，

所以是圆的直径，所以，

所以，，，由此可得：

，，，，

，，，

所以，，，

所以，

所以，即，

又，平面，

所以平面.

【小问2详解】

由（1）知，平面，

所以是平面的一个法向量，，，

设平面的法向量为，则有：

即，

令，则有：，

所以平面的一个法向量可以是：，

所以，

设平面与平面所成角为，则与相等或者互补，

因为，所以

所以.

20. 已知椭圆的离心率为，右焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知椭圆的上顶点在以点为圆心的圆外，过作圆的两条切线，分别与轴交于点，点，，分别与椭圆交于点，点（都不同于点），记面积为，的面积为，若，求圆的方程．

【答案】（1）   

（2）圆或.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的性质与离心率公式即可求解；

（2）设出切线方程，由点到直线的距离可以得出两条切线的斜率关系，易得点的横坐标，再由切线方程与椭圆联立，根据韦达定理求出的坐标，代入三角形面积公式化简即可求解.

【小问1详解】

由已知得，，

.

【小问2详解】

由（1）知,点,过点作圆的切线,当其中一条斜率不存在时不合题意,

可设切线方程为,圆的半径为,且,

得

设切线的斜率分别为,则，

由,令得;由得，

同理，

或，

圆或.

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的关系，设而不求是必须要掌握的技巧，联立消元后写出韦达定理，再将问题通过变形化简用韦达定理相关的式子表示出来，达到转化化简的效果.

21. 已知，函数，．

（1）若，求证：在上是增函数；

（2）若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．

【答案】（1）见解析    （2）2

【解析】

【分析】（1）对函数求导，讨论单调性，证明最小值大于0即可；

（2）将不等式转化为两个函数的图象交点问题，分别讨论两个函数的单调性，利用存在性定理判断根的范围即可求解.

【小问1详解】

，令，，

令,解得

在上单调递减,单调递增，

，

，

命题得证.

【小问2详解】

存在,使得对于成立,

等价于存在,使得对于成立，

由于,原题意必要条件是,对都成立

设,使得,即，

在是减函数,在是增函数,其中,即，

，

显然,

由上图知,，

对都成立的最大整数是2，

以下证明充分性,当时,存在,使得恒成立,

,由上证明知存在大于0的正的最小值,

故存在大于0的,使得恒成立，

当时,设,

故对不恒成立，

存在,使得对于任意的成立,最大的整数的值是2.

【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，可以考虑转化为大于最大值或小于最小值的问题，也可考虑分离参数，分离参数时，要注意不等式的符号是否会改变.

（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线过点，与曲线交于，两点，为弦的中点，且，求的斜率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）两边同时乘以，利用和差公式展开，代入公式即可求解.

（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入即可求解.

【小问1详解】

由得,,

即,所以曲线的直角坐标方程为

【小问2详解】

易知直线过点,设直线倾斜角为,

则直线的参数方程为(为参数),

代入得,易得,

设,对应的参数分别为,则，

故.

解得,

则,

的斜率为.

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2），，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据的范围分类讨论去掉绝对值号，解不等式即可；

（2）对的范围分类讨论，分离参数转化为恒成立问题即可求解.

【小问1详解】

，

当时,由得,

当时,，，

当时,,得

不等式的解集是.

【小问2详解】

由得

①当时,

令,则在上单调递减,最小值为，

②当时,即,

，

令

则在上单调递减,最小值为，

综上,即取值范围为.