2026巴中普通高中高三上学期”一诊”模拟考试数学含解析

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数学试题
一、单选题
1．已知（其中i为虚数单位），则（ ）．
A．5B．7C．9D．25
2．已知平面向量满足，与的夹角为，则（ ）．
A．7B．1C．D．
3．下列命题中为真命题的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
4．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．水稻是世界最重要的农作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如下：
根据以上数据，下面说法正确的是（ ）．
A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大
B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
6．在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（ ）．
A．B．C．D．
7．设函数，且，则（ ）．
A．B．C．D．
8．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．对于函数和，下列说法中正确的有（ ）．
A．与有相同的最小正周期
B．与有相同的最大值
C．与有相同的零点
D．与的图象有相同的对称轴
10．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）．
A．该三棱台的体积为
B．该三棱台的表面积为
C．若点在棱上，则的最小值为
D．该三棱台内半径最大球的体积为
11．中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．在平面直角坐标系中，把到两个定点，距离之积等于（）动点轨迹称为双纽线．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见漂亮图案的“基石”，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点在双纽线上，则下列结论正确的是（ ）．
A．双纽线方程：B．
C．双纽线上满足的点有两个D．的最大值为
三、填空题
12．设为等差数列的前项和，若，，则 ．
13．若圆关于直线对称的圆的方程是，则的值等于 ．
14．某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高二获胜的概率为 ．
四、解答题
15．在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且，．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的长．
16．已知在处取得极小值．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，讨论零点的个数．
17．如图，三棱锥中，底面，，，，点满足，是的中点．

(1)请写出的一个值使得平面，并给予证明；
(2)若二面角大小为，且，求点到平面的距离．
18．某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；
(3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出．
19．若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为．
(1)设为坐标原点，若，求的面积．
(2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】因为，所以，
则.
故选：A
2．B
【详解】因为.
故选：B.
3．C
【详解】对于A：,都有，所以，故不存在使得成立，所以是假命题，故A错误.
对于B：当时，，所以是假命题，故B错误.
对于C：，为非负整数，且自然数集包含所有非负整数，故该命题是真命题，故C正确.
对于D：，，故不存在，所以是假命题，故D错误.
故选：C
4．D
【详解】因为中心在原点的椭圆的右焦点为，
所以椭圆焦点在轴，设标准方程为，
由题意可得，，得到，，
故椭圆的方程是.
故选：D
5．D
【详解】由表中数据可得，
，
所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，A说法错误；
甲种水稻产量的中位数为，乙种水稻产量的中位数为，
所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，B说法错误；
甲种水稻产量的极差为，乙种水稻产量的极差为，
所以甲种水稻产量的极差比乙种水稻产量的极差小，C说法错误，
甲种水稻产量的方差为
，
乙种水稻产量的方差为
，
甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，甲种水稻产量的方差小于乙种水稻的产量的方差，
所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，D说法正确；
故选：D
6．A
【详解】如图，过作，，作点在平面的投影为，连接，，
设，
因，
则，．
因为平面，，平面，
所以，，且为与平面所成角．
又，，，
，平面，，平面，
所以平面，平面．
又平面，平面，
则，．
又，，，
则，
故，
结合，得．
又，
则,
故与平面所成角的正弦值等于．
故选：A．
7．B
【详解】因为，且，
即函数为偶函数，所以，可得，
又因为，故，
故选：B.
8．A
【详解】设，因为，
所以在上是增函数，
又因为函数是奇函数，，所以，，
所以，当时，，所以；
当时，，，
又因为，所以在上是增函数，
所以，
因为，所以，
所以.
故选A．
9．AB
【详解】对于：因为，可得最小正周期，，
令，得零点为：，
令，解得，故对称轴为；
对于：因为，可得最小正周期,，
令，得零点为：,
令，解得，故对称轴为；
综上可得，和的最小正周期和最大值相同.
故选：AB
10．BC
【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，则，，高．
三棱台的体积，所以A错误；
对B，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为，
在中，，
所以等腰梯形的面积为，
上下底面面积分别为：，，
所以，所以B正确；
对C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，
由B知，，，
而边的中点到点的距离，
因此当点为线段与的交点时，的最小值为，所以C正确；
对D，设体积为的球的半径为，则，解得，该球的直径，则此球不可能在正三棱台内，所以D错误．
故选:BC．
11．ABD
【详解】选项A：设动点，由双纽线定义可知，
动点到定点，距离之积等于，
双纽线轨迹方程为，
化简得，故A正确；
选项B：点在双纽线上，
，
又，，
即，，故B正确；
选项C：若，则在的中垂线即轴上，即，
代入，可得，解得，即，
满足条件的点仅有一个点，故C错误；
选项D：，，
双纽线方程为，代入，
得，，
，，
，，解得，故D正确．
故选：ABD．
12．
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
则.
故答案为：.
13．
【详解】由于圆的圆心为，
圆的圆心为，且直线的斜率为，
由题意可知，点、关于直线对称，
所以，解得，
此时圆的方程为，
其标准方程为，圆心为，半径为，符合题意.
故答案为：.
14．
【详解】设为高一出场选手，为高二出场选手，其中表示段位，
第一局比赛中，有，，，，，，，，，共个基本事件，
其中高一能取得胜利的基本事件为，，，共个，
第一局比赛高一获胜的概率为．
在一场三局比赛中，共有不同的种安排方法，
其中高一能获胜的安排方法为，，，，，，共种，
在一场比赛中高二获胜的概率为．
故答案为：；.
15．(1)
(2)6
【详解】（1）由，
结合正弦定理得，，
化简得，因为，，且，不同时为钝角，
则，
所以，又，所以，
因此；
（2）由（1）知，，
则，
由正弦定理得，，
令（），则，，
则，
解得，
故.
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值，
则，解得，，
所以，，
故，，
则切线方程为，即；
（2）令，所以．
令，解得或．则，，的关系如下表：
作出函数的图象如下：
所以，①当或时，有两个零点；
②当或时，有一个零点；
③当时，有三个零点．
17．(1)，证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，平面，证明如下：
，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）方法一：过作于，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，点到平面的距离，
，点到平面的距离

方法二：，，，；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，，
是二面角的平面角，即，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，作轴平行于，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离.
18．(1)
(2)分布列见解析，
(3)先派出乙．
【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”，
则；
（2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以的分布为：
所以；
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为．
由（2）可知，．
若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则．
从而，
．
因为，所以，，所以，即．
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙．
19．(1)
(2)是定值，
(3)
【详解】（1）点在抛物线上，则，解得，
抛物线的方程为，
，是斜率相关的，点，，
的方程为，
由，解得或，
设，，
又在上，，解得，则，
，
点到的距离为，
的面积为．
（2）根据斜率相关的定义可知，的斜率为，
把，代入得，
，则，
①，
同理可得，，即②，
③，
，
对任意的正整数是定值．
（3）由（2）中①②消去得，，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
由（2）知，
，
，
，
对单调递增，且对任意的正整数，都有，
，
又，
原式化简为，解得，品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
甲
900
920
900
850
910
920
乙
880
860
950
830
990
890
2
0
0
单调递增
单调递减
单调递增
1
2
3