湖南省邵阳市2026届高三下学期第二次联考数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
2. 已知复数 满足 ,则下列说法正确的是
A.
B. 复数 在复平面内对应的点位于第一象限
C. 复数 的共轭复数为
D. 将复数 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 ，所得向量对应的复数为
【答案】B
3.在平行四边形 中,点 在线段 上,且 . 若 ,其中 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
4.清明将至, 为倡导文明祭祀, 筑牢防火安全防线, 4 名青年志愿者到 3 个社区参加 “绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的派法共有
A. 24 种 B. 36 种 C. 64 种 D. 72 种
【答案】B
5.已知函数 ,则下列结论错误的是
A.
B.
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图象关于点 中心对称
【答案】C
6.已知 是 内的一点,且 . 若 和 的面积分别为 ,则 的最小值是
A. B. 9 C. 15 D. 20
【答案】C
7.已知函数 ,则
A. 是偶函数,且在 单调递增 B. 是偶函数,且在 单调递减
C. 是奇函数,且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减
【答案】A
8.在正四棱锥 中， 是棱 的中点，平面 将该正四棱锥分割成两部分， 则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示,在正四棱锥 中, 是棱 的中点,取 的中点为 ,连接 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 四点共面，所以平面 在四棱锥上的截面是平面 .
平面 把四棱锥分为两个部分,设四棱锥 的体积为 ,高为 .
则 ,
同理 .
设点 到平面 的距离是 ,
则 , 即 , 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 分别是椭圆 的左、右焦点,过 的直线 交 于 两点, 则下列结论成立的是
A. 的周长为 8 B.
C. 的最小值为 D. 存在直线 ,使得
【答案】ABD
10.下列说法正确的是
A. 数据2,3,4,5,6,7,8,9的第 25 百分位数为 3
B. 若随机变量 ,则
C. 某校在对高一(2)班学生的数学成绩调查中，随机抽取 10 名男生的数学成绩，其平均数为 105 , 方差为 24 , 随机抽取 5 名女生的数学成绩, 其平均数为 102 , 方差为 21 , 则这 15 名学生的数学成绩的方差为 25
D. 一箱 12 罐的饮料中 4 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取 2 罐，则这 2 罐中有奖券的概率为
【答案】BC
11.在 中,角 所对的边分别为 ,且 , 则下列选项正确的是
A.
B. 若 是边 的中点，则线段 的长的最小值为
C. 的最大值为
D. 若点 是 的外心，且 ，则
【答案】ACD
【解析】因为 ,所以 , 即 ,因为 ,得 .
又 ,故 ,所以选项 正确;
由正弦定理 ,得 ,所以 . 又 ,所以 .
因为 是边 的中点,所以 ,
又因为 ,所以 ,
当且仅当 时取等号,所以 ,所以选项 B 错误;
当 时, 的最大值为 ,此时 ,所以选项 正确;
因为 ,所以 .
因为 ,所以 又 ,
即 得 ,所以选项 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在平面直角坐标系中, 为坐标原点, ,动点 满足 . 当 取最大值时, ________.
【答案】
13.已知 ,则 _______.
【答案】
14.已知函数 ,若 在 上恒成立,则 的最大值为________.
【答案】
【解析】由已知可得 恒成立,令 .
故 恒成立,故 . 与此同时, .
(1)若 ，则 .
(2)若 ，令 ，
的定义域为 ， ，
当 时，有 ；当 时，有 .
所以 在 单调递减，在 单调递增.
所以当 时， 的最小值为 ，
因为 恒成立,则 恒成立,得 ,即 .
( i ) 当 时,则有 ;
(ii) 当 时,则有 ,则 ;
令 ,
当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取得最大值 ;
综合 (1) (2) 得: 的最大值为 ,
所以 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 是等差数列,且 ,数列 满足 ,
(1)求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
解得 . 所以 . 3 分
由 得 ,即 ,又 ,
所以 是一个以 4 为首项,3 为公比的等比数列. 6 分
(2)由(1)可得 ，所以 . 9 分
所以 .
所以 . 13 分
16.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平, 采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取 120 名学生. 通过测验得到如下数据: 甲校 50 名学生中有 10 名学生的数学成绩优秀; 乙校 70 名学生中有 10 名学生的数学成绩优秀. 根据抽样数据的分析, 得到不完整抽样数据列联表, 如表(一)所示.
单位:人
表(一)
(1)完成表 (一) 列联表，依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
(2)已知甲、乙两所学校利用 AI 自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下:甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 ，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 . 若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出 1 名学生, 用样本估计总体, 用频率估计概率, 求该学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据:
,其中 .
【解析】(1)列联表如下
单位:人
2 分
零假设为 : 两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
5 分
根据小概率值 的 独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立, 即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异. 7 分
(2)设事件 “利用 自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”,事件 “该学生来自甲校”,事件 “该学生来自乙校”,则
,且 , 11 分
则 ,
所以该学生数学成绩有效转化的概率为 . 15 分
17.如图,在四棱锥 中, , ,点 在线段 上, ,平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)设点 是三棱锥 的外接球的球心，且四棱锥 的体积是 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1) 证明: 在直角梯形 中, ,
,所以 .
因为 ,所以 .
又 ，所以 ，
所以 . 3 分
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 .
因为 平面 ,所以 . 6 分
(2)取 的中点为 ，连接 . 因为 ，所以 .
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
所以 ,
得 . 8 分
以点 为原点,分别以 所在直线分别为 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 .
设 ,由 ,得 .
又 ,
所以 ,
且 ,
解得: , 所以 . 10 分
所以 .
设 是平面 的一个法向量,则 且 ,
即 取 ,则 ,
所以 . 12 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 . 15 分
18.已知双曲线 的渐近线方程为 ,右焦点为 ,直线 与 相切于点 .
(1)若 与 的渐近线分别交于 两点，证明:点 为线段 的中点；
(2)已知直线 ，若 与 分别交于点 ，是否存在实数 ， 使得 恒成立? 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
【解析】设双曲线 ,
由题意得: 解得 故双曲线方程为 . 3 分
(1)证明: 设 ,则
i) 当切线 斜率不存在时,由对称性可知, 为 的中点.
ii) 当切线 斜率存在时,设切线
联立方程组: 消去 得: .
由 ,即 . 6 分
又 ,则 ,
所以 ,即 ,解得 .
所以直线 ,又 ,则 . 8 分
联立方程组: 消去 得: ,因为 .
则上式化简为 恒成立.
设 ,则 ,所以 为 的中点. 11 分
(2)因为 与 相交，则切线 的斜率存在，
由( 1 )知，切线 ，将 分别代入切线 的方程得
所以 ,则 ,
15 分
所以 .
故存在 ,使得 恒成立. 17 分
19.已知函数 .
(1)求函数 的极值;
(2)若函数 有两个零点 和 ，且 ，求证: ；
(3)设函数 ，若 与 的图象有两个交点 ， ,试比较 与 的大小. (参考数据: ).
【解析】(1) 的定义域为 ,
当 时， . 当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时, 取极小值,极小值为 ,无极大值. 3 分
(2) 有两个零点,即方程 有两个不同实根 和 .
设 ,则 .
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 处取得最小值, 的大致图象如图所示.
不难知函数 的最低点为 ，且 ，直线 ，直线 . 则直线 与函数 的图象交点的横坐标分别是 和 ,设与直线 和 的交点的横坐标分别是 和 .
解方程可得 . 7 分
当 时, ,所以函数 的图象在线段 的下方.
当 时, .
令 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
又 ,所以 ,其中 ,故函数 的图象在线段 的下方.
所以根据单调性,可得 ,所以 ,命题得证. 9 分
(3)由 得 ,所以 ，
两式相加,得 ; 两式相减,得 ,
即 ,
所以 ,
即 . 12 分
不妨令 ,记 ,下面来证明: ,
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,
则 ,得证.
所以 ,即 ,所以 .
又 ,
所以 ,即 . 15 分
令 ,则 时, ,所以 在 上单调递增.
又 ,
所以 ,
所以 ,即 . 17 分学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
10
50
乙校
10
70
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
40
10
50
乙校
60
10
70
合计
100
20
120