河南省驻马店市汝南县一中，县二中，县三中联考2025-2026学年八年级上学期1月期末 数学试题

这是一份河南省驻马店市汝南县一中，县二中，县三中联考2025-2026学年八年级上学期1月期末 数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若分式有意义，则x的取值是（ ）
A. B. C. D.
2.汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 6
4.“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036 m，用科学记数法表示为3.6×10n m，则n的值为 （ ）
A. -4B. -5C. 4D. 5
5.下列计算错误的是（）
A. B.
C. D.
6.“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ）
A. 1B. C. 1D.
7.如图，将长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC.木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（ ）
A. 有三边分别相等的两个三角形全等
B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
8.若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
9.如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A. B. 2023C. 2024D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个分母为a的最简分式，可以是 ．
12.在中，，若，则m的值是 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，点C在x轴的正半轴上，点D位于第四象限，若，则点D的坐标是 ．
14.如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起.图②是其示意图，已知AB=AC，当杆AB与水平面夹角θ为30°时，测得BC=8dm,此时点B到AD的距离为 .
15.如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，点F是的边BC延长线上的一点，，，，求的度数．
18.(本小题6分)
小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：．
(1) 她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2) 小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少．
19.(本小题6分)
如图，已知中，，在上有一点D，延长，并在的延长线上取点E，使．
(1) 作图：作的平分线，交于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 在（1）的条件下，连接，求证：．
20.(本小题6分)
在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有、两种型号的健身器材可供选择．已知每套型健身器材的价格比每套型健身器材的价格多万元，用万元购买型健身器材的数量与用万元购买型健身器材的数量相等，
(1) 求每套型健身器材的价格；
(2) 市政府计划采购这两种健身器材共套，总费用不超过万元，则至少购买型健身器材多少套？
21.(本小题6分)
设是一个两位数，其中是十位上的数字（）．例如，当时，表示的两位数是．
(1) 尝试：①当时，；
②当时，；
③当时， ；……
(2) 归纳：与有怎样的大小关系？请说明理由．
22.(本小题10分)
下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
(1) 解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
(2) 根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价．
(3) 若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
23.(本小题10分)
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1) 发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．则与的数量关系： ， ．
(2) 类比探究：如图2，在和中，，连接，，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数并说明理由；
(3) 拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为1，，则的长 ．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】（答案不唯一）
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】4dm
15.【答案】90°或108°
16.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

17.【答案】解：在△DFB中，
​∵DF⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∵∠F=40°，∠FDB+∠F+∠B=180°，
∴∠B=50°．
在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACF=∠A+∠B=30°+50°=80°．
18.【答案】【小题1】
解：，
去分母，得，
解得；
检验：当时，，
∴是原方程的解；
【小题2】
，
去分母，得，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴，解得，
把代入，得，解得．

19.【答案】【小题1】
解：如图所示，射线即为的平分线．
【小题2】
证明：如图，连接，
∵，，
∴，．
在和中，
∴，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：设每套型健身器材的价格为万元，则每套型健身器材的价格为万元，
依题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
每套型健身器材的价格为，
（万元），
答：每套型健身器材的价格是万元．
【小题2】
解：设购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
依题意得：，
解得：，
答：至少购买型健身器材套．

21.【答案】【小题1】
【小题2】
解：，理由如下：
∵，
，
∴．

22.【答案】【小题1】
A
C
【小题2】
解：①，
，
，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴，
答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．
②
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件
答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．
【小题3】
解：设甲商品购进件，则乙商品购进件，
∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，
∴，
∴，
答：至多购进甲种商品12件．

23.【答案】【小题1】

​​​​​​​
【小题2】
解，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，，
，
．
即，．
【小题3】
1或3
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法
分析问题
列出方程
解法一
设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二
设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2