河北省沧州市运东六校2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试试题含解析

这是一份河北省沧州市运东六校2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题目要求的.
1. 已知 ，若 不能构成空间的一个基底，则 （
）
A. 3 B. 1 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.
【详解】若 不能构成空间的一个基底，
共面，
存在 ，使 ，
即 ，
解得 ，
故选： .
2. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线斜率得到直线倾斜角.
【详解】因为该直线的斜率为 ，所以它的倾斜角为 .
故选：D.
3. 直线 与直线 的距离为（ ）
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A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的距离公式求距离即可.
【详解】由 ，显然与 平行，
所以它们的距离为 .
故选：D
4. 若直线 与圆 相离，则点 （ ）
A. 在圆 O 外 B. 在圆 O 内 C. 在圆 O 上 D. 与圆 O 的位置关系不确
定
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解.
【详解】由题意，圆 的圆心为 ，半径 .直线 到圆心的距离为
，根据相离条件 ，即 ，整理得 ，这表明
点 到原点的距离的平方小于 4，即点 在圆 内部.
故选：B.
5. 长轴长是短轴长的 倍，且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分椭圆的焦点在 轴、 轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程.
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【详解】当椭圆的焦点在 轴上时，长半轴长为 ，则短半轴长为 ，所以椭圆的方程为 ；
当椭圆的焦点在 轴上时，短半轴长为 ，则长半轴长为 ，所以椭圆的方程为 ；
所以椭圆方程为 或 .
故选：C
6. 如图，空间四边形 中， ，， ， ，点 在 上，且 ，点 为
中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理可得出 关于 、 、 的表达式.
【详解】连接 ，如下图所示：
因为 为 的中点，则 ，即 ，
所以， ，
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因 点 在 上，且 ，则 ，
因此， .
故选：B.
7. 设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可.
【详解】①当 时，此时 ，倾斜角为 ，
②当 时，则 ，
而 ，所以 ，
则 ，
综上所述，倾斜角 的范围是 .
故选：C
8. 如图，焦点在 x 轴上的椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，P 是椭圆上位于第一象
限内的一点，且直线 与 y 轴的正半轴交于 A 点， 的内切圆在边 上的切点为 Q，若
，则该椭圆的离心率为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用椭圆的定义，结合圆的相切性质列式求出 ，进而求出椭圆的离心率.
【详解】令 与圆相切的切点分别为 ，
由椭圆定义得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
由对称性得 ，即 ，解得 ，
所以该椭圆的离心率为 .
故选：A
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 关于空间向量 、 、 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
B. 若存在实数 、 ，使得 ，则 、 、 共面
C. 若 是空间的一个基底，且 ，则 四点共面
D. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用任意向量都与 共线来判断 A，利用共面定理来判断 B，利用空间四点共面定理来判断 C，利
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用空间基底来判断 D.
【详解】当 时，任意的 ， 都与 共线，但 与 不一定共线，故 A 错误；
若存在实数 、 ，使得 ，根据这个式子可判断 、 、 共面，故 B 正确；
由 ，满足 ，则 四点共面，故 C 正确；
若 是空间的一个基底，则 不共面，假设 共面，
则 ，
因为 不共面，所以 ，此时方程组无解，故假设不成立，
所以 不共面，
即 也是空间的一个基底，故 D 正确；
故选：BCD
10. 已知 ， 是椭圆 C： 的左右焦点，点 M 在 C 上，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 的面积是 B. 的内切圆的半径为
C. 点 M 的纵坐标为 2 D. 若点 P 是 C 上的一动点，则 的最大值为 6
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A，根据椭圆定义，余弦定理，三角形面积公式可求得答案；对 B，在 A 选项基础上，
，可求得 ；对 C，在 A 选项基础上，由 可求得 ；对
D，由向量可得 ， ，两式平方化简得 ，当
最大时，得解.
【详解】如图所示，令
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A 选项，设 ， ，由椭圆定义得 ，
又由余弦定理可得 ，解得 ，
，故 A 选项正确；
B 选项，由 ，可得： ，故 B 选项正确；
C 选项，由 ，可得： ，即 ，故 C 选项错误；
D 选项，因为 ，所以 ，即 ，
①
同理， ，可得 ，②两式相减可得，
，故 D 选项正确．
故选：ABD.
11. 从点 发出的光线 射到 轴上被 轴反射后，照射到圆 ： 上，则下
列结论正确的是（ ）
A. 若反射光光线与圆 相切，则切线方程为 或
B. 若反射光线穿过圆 的圆心，则反射光线方程为
C. 若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是
D. 若反射光线反射后被圆 遮挡，则在 轴上被挡住的范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先求出点 A 关于 x 轴的对称点为 A′点的坐标，再设反射光线方程为 y+3=k（x+3），根据圆心到直
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线的距离等于半径得到方程，求出 k,即可求出切线方程，即可判断 AD；再根据 A′与 C 求出过圆心的直线方
程，即可判断 B，最后根据|A′C|判断 C．
【详解】点 关于 轴的对称点 ，
圆方程为 ，
当反射光线斜率不存在时，显然不成立，
当斜率存在时，设反射光线方程为 ，即 ．
由相切知 ，
解得 或 ．
反射光线方程为 或 ，
即 或 ，故 A 正确．
又过 ， 的直线方程为 ，故 B 正确；
因 ，
所以光线经过的最短路程为 ，故 C 不正确．
由于两条与圆 相切的反射光线与 轴的交点为 和 ，
所以被挡住的范围是 ，故 D 正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆的标准方程即可得到答案.
【详解】由已知知椭圆的焦点在 轴上，且半焦距 ，则 ，解得 .
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故答案为： .
13. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形，S 到 的距离都等于 2
给出以下结论:
① ；
② ;
③ ；
④ ，
其中正确结论的序号________.
【答案】②③
【解析】
【分析】利用向量的加法减法的几何意义判断①②；利用向量数量积的定义判断③④
【详解】① .判断错误；
② .判断正确；
③四棱锥 中， ，则
则 .判断正确；
④ 中， ，则
则 .判断错误
故答案为：②③
14. 已知点 ， ，直线 .若直线 l 与线段 AB 有公共点，则实数
k 的取值范围是________.
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【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线恒过定点 ，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为直线
所以
令 解得 故直线 恒过点
直线 的斜率为
则 ，
依题意直线 与线段 有公共点，由图可知 或
解得 或 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
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， 为 上一点，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标
系，利用空间向量法证明线面垂直；
（2）利用空间向量法证明线面平行；
【小问 1 详解】
证明：因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 两两垂直，
所以如图，以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
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因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，即 ， ，
又因 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
证明：由 可得 ，
则 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，得 ， ，
则 是平面 的一个法向量，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
16. 已知圆 经过点 和 ，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）求圆心到直线 的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）由圆心在圆的弦的中垂线上和直线 上，可得圆心的坐标；由圆心到圆上点的距离等
于半径，可得圆的半径，代入圆的标准方程即可求得；
（2）利用点到直线的距离公式即可求解.
【小问 1 详解】
由圆 经过点 和 ，可得线段 的中点坐标为 ，
则圆心在直线 上，又在直线 上，
故可得圆心 ，则半径 ，
所以圆 的方程为 .
小问 2 详解】
由（1），可得圆心 到直线 的距离为 .
故圆心到直线 的距离为 .
17. 已知点 直线
（1）若 l 与线段 有交点，直接写出 m 的取值范围；
（2）若 设 l 与直线 及 x 轴分别交于 两点，求 面积的最小值.
【答案】（1） 或
（2）4
【解析】
【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于 的不等式，
通过对不等式进行变形求解得出 的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关
顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性
质求最值
【小问 1 详解】
因为直线 联立
所以交点 因为 C 在线段 AB 上，所以
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即 解得
所以 或
【小问 2 详解】
因为直线 联立
所以交点
令 中 则 所以
因为 所以 C 在第一象限且在 右侧，D 在 左侧，
所以 的面积为
设 所以
所以当 即 时，S 的最小值为 4.
18. 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为
（1）求椭圆 的方程
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（2）如图，过 作斜率为 的两条直线，分别交椭圆于 ，且 证明：直线 过定点
并求定点坐标
【答案】（1） ；（2）证明见解析，恒过定点 ．
【解析】
【分析】（1）利用椭圆 过点 ，以及离心率为 ．求出 ， ，即可得到
椭圆方程．（2）当直线 斜率不存在时，设直线方程为 ，则 ， ，然后求解 ．当
直线 斜率存在时，设直线方程为： ，与椭圆方程联立： ，得
，设 ， ， ， ，利用韦达定理以及 ，得到 与
的关系，然后求解直线 ，恒过定点 ．
【详解】解：（1）椭圆 过点 ，
可得 ，且离心率为 ． ，解得 ，
所求椭圆方程为：
（2）当直线 斜率不存在时，设直线方程为 ，则 ， ，
，则 ，
当直线 斜率存在时，设直线方程为： ，与椭圆方程联立： ，
得 ，
设 ， ， ， ，有
则
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将 式代入化简可得： ，即 ，
直线 ，恒过定点 .
【点睛】方法点睛：解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然
后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定
点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
19. 在平面直角坐标系 中，对于直线 （A，B 不同时为 0）和点 ，定义点
到直线 的“特殊距离” ，其中 为非零常数.
已知直线 ，点 ，圆 .
（1）当 时，求 和 的值.
（2）若点 是圆 的动点，当 时，求 的最小值.
（3）设直线 ，若存在点 在直线 上，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）0 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意代入点 点 坐标可得.
（2）根据圆的方程设点 ，将坐标代入化简后利用 时可取得
最小值.
（3）先设点 ，代入 ，得到 的取值范围.
【小问 1 详解】
对于点 ，直线 ，
对于点 ，
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【小问 2 详解】
设点 ，当 时，
，
其中
当 时， 取得最小值.
.
【小问 3 详解】
设点 ，
得 ，
依题意有 ， ，
由 ，所以任意实数 方程都有解，即 的取值范围为 .
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