2025-2026学年陕西汉中市南郑区九年级上学期第三次学情自测数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年陕西汉中市南郑区九年级上学期第三次学情自测数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了如果，那么等于，如图，在中，，按以下步骤作图等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题3分，满分24分）
1.如果，那么等于（ ）
A.B.C.D.
2.砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的左视图是（ ）
A.B.
C.D.
3.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形是（ ）
A.矩形B.菱形
C.正方形D.等腰梯形
4.如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆长，它的影长为，旗杆的影长为，则旗杆的高度为（ ）
A.B.C.D.
5.关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（ ）
A.图象经过点
B.图象关于原点中心对称
C.图象关于直线轴对称
D.的值随值的增大而增大
6.某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是( )
A.B.
C.D.
7.如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A、点B为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧交于点M、点N，连结交于点D，连结，若，则的大小为（ ）

A.B.C.D.
8.如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（ ）

A.B.
C.D.
二．填空题（每小题3分，满分15分）
9.若，则代数式的值是______．
10.将标有“中”“华”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是________．
11.如图，正方形与正方形是位似图形．点O为位似中心，相似比为．若点A的坐标为，则点E的坐标是_______．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是3，则k的值为_________．
13.如图，在四边形中，，，，，，点P为线段上的一动点，若为等腰三角形，则____________________．
三．解答题（共12小题，满分81分）
14.计算：．
15.用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
16.如图，某一时刻，小树在太阳光下的影子为，依依同学站在小树的影子末端D处（依依同学的身高用表示），请你画出依依同学这一时刻的影子．
17.如图，已知．
（1）求的长．
（2）求证：
18.如图，四边形的对角线相交于点O，，.若四边形是菱形.求证：四边形是矩形.

19.无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降价的百分率．
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？
②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．
20.化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
21.如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？
22.已知，，，，．
（1）求和的相似比．
（2）求，的长．
（3）若，分别为和的高，求的值．
（4）若中的平分线长为a，求中的平分线的长．
23.如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？
24.如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围；
（3）点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标．
25. 中，，过点B作，点P为边上一个动点，将射线绕点C逆时针旋转，交射线于点Q，连接．
问题初现：
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为 ；
类比探究：
（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若，，点P在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．
时间x/天
售价/（元/千克）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量/千克
储存和损耗费用/元