河南信阳市2025_2026学年高一上册期末考试数学试题（含答案）

这是一份河南信阳市2025_2026学年高一上册期末考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 设 a,b∈∪，定义运算， 下列式子化简正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B={y|y=x+1}，那么A∩(∁UB)=
A. ∅ B. (0,1]
C. (0,1) D. (1,+∞)
2.指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，在R上是减函数，则函数g(x)=(a−2)x3在R上的单调性为
A.单调递增
B.在(0,+∞)上递减，在(−∞,0)上递增
C.单调递减
D.在(0,+∞)上递增，在(−∞,0)上递减
3.函数f(x)=2x−2ax的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是
A. (1,3) B. (1,4)
C. (0,3) D. (1,2)
4.函数f(x)=1−ex1+ex·csx的部分图象大致形状是
5. 已知函数 f(x)={−x2+(1−a)x−5,x≤1x+ax,x>1，且对任意 x1≠x2，都有 f(x1)−f(x2)x1−x2>1，则 a 的取值范围是
A. (−∞,−2] B. (−∞,0)
C. (−3,−2] D. [−3,−2]
6. 将函数 y=2sinx+π3csx+π3 的图象向左平移 φ(φ>0) 个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则 φ 的最小值为
A. π12 B. π6
C. π4 D. π3
7. 设 a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，定义运算：aΘb={lga⁡b,a≤blgb⁡a,a>b，则
A. 8Θ(2Θ4)>(4Θ8)Θ2>(2Θ8)Θ4 B. (2Θ4)Θ8>(2Θ8)Θ4>(4Θ8)Θ2
C. (4Θ8)Θ2>(2Θ8)Θ4>8Θ(2Θ4) D. (4Θ8)Θ2>(2Θ4)Θ8>(2Θ8)Θ4
8. 狄利克雷函数是高等数学中的一个常见函数，若 f(x)={1,x∈Q0,x∈RQ，则称 f(x) 为狄利克雷函数。对于狄利克雷函数 f(x)，给出下面4个命题：①对任意 x∈R，都有 f[f(x)]=1；②对任意 x∈R，都有 f(−x)+f(x)=0；③对任意 x1∈R，都有 x2∈Q,f(x1+x2)=f(x1)；④对任意 a,b∈(−∞,0)，都有 {x∣f(x)>a}={x∣f(x)>b}。其中所有真命题的序号是
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9. 下列式子化简正确的是
A. sin8°sin52°−sin82°cs52°=12 B. sin15°−3cs15°=2
C. sin15°sin30°sin75°=18 D. tan48°+tan72°1−tan48°tan72°=−3
10. 函数 f(x) 的定义域为 R，且满足 f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，f(4)=−1，则下列结论正确的有
A. f(0)=0
B. f(2)=0
C. f(x) 为偶函数
D. f(x) 的图象关于 (1,0) 对称
11. 已知 a>1，b>1，aa−1=2a，bb−1=lg2b，则以下结论正确的是
A. a+2a=b+lg2b B. 12a+1lg2b=1
C. a−1b4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把正确答案填写在答题卡上的相应位置。
12. 若角α的终边经过点P(3,4)，则sin2α=_____。
13. 若正实数x、y满足lg2x+lg2y=1，则x+2y的最小值为_____。
14. 已知函数f(x)={1−|2x−3|,1⩽x⩽213f(x2),x>2，关于x的方程f(x)−110=0有_____个不同的解；不等式xf(x)−1⩽0的解集是_____。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）已知函数f(α)=sin(π−α)csαsinπ2−α+sin(π+α)cs(2π−α)csαtan(−α)
（1）化简f(α)；
（2）若f(α)=15，−π20）在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且∆ABC是边长为4的正三角形。
（1） 求ω与a的值；
（2） 若f(x0)=835，且x0∈−103,23，求f(x0+1)的值。
18.（本小题满分17分）已知函数 f(x)=lg4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数。
（1） 求k的值；
（2） 若函数f(x)的图象与直线 y=12x+a 没有交点，求a的取值范围；
（3） 若函数 h(x)=4f(x)+12x+m·2x−1，x∈0,lg23，是否存在实数m使得h(x)最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
19.（本小题满分17分）设函数 f(x)=a2x−(t−1)ax（a>0且a≠1）是定义域为R的奇函数。
（1） 求t的值；
（2） 若f(1)>0，求使不等式f(kx−x2)+f(x−1)0 且 a≠1)，在R上是减函数，所以01在R上单调递增，有{−a2⩾1a0)个单位得y=sin(2x+2φ+2π3)，因为y=sin(2x+2φ+2π3)为奇函数，故sin(2φ+2π3)=0,2φ+2π3=kπ,φ=−π3+kπ2,k∈Z，当k=1时φ=π6.
7.A解析：由题意可知2Θ4=lg24=2，2Θ8=lg28=3，4Θ8=lg48=32，8Θ(2Θ4)=lg28=3，(4Θ8)Θ2=32Θ2=lg322，(2Θ8)Θ4=3Θ4=lg34，显然8Θ(2Θ4)最大，lg322=lg944>lg34.
8.D解析：对于①：若x∈Q，则f(x)=1都有f(1)=1，若x∈∁RQ，则f(x)=0都有f(0)=1，故正确；对于②：对x∈Q，则−x∈Q，f(−x)=f(x)=1，f(−x)+f(x)=2≠0，故不正确；对于③：对任意x1∈Q，都有x2=1，x1+1∈Q，使f(x1+1)=f(x1)=1，对任意x1∈∁RQ，都有x2=1，x1+1∈∁RQ，使f(x1+1)=f(x1)=0，故正确；对于④：对任意x∈R，都有f(x)=1或f(x)=0，对任意a,b∈(−∞,0)，{x|f(x)>a}={x|f(x)>b}=R.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.CD解析：对于A：sin8°sin52°−sin82°cs52°=sin8°sin52°−cs8°cs52°=−cs(8°+52°)=−cs60°=−12，故A错；对于B：sin15°−3cs15°=2sin15°·12−cs15°·32=2sin(15°−60°)=−2，故B错；对于C：sin15°sin30°sin75°=12sin15°sin75°=12sin15°cs15°=14sin30°，故C正确；对于D：tan48°+tan72°1−tan48°tan72°=tan(48°+72°)=tan120°=−3，故D正确.
10.BC解析：法一：利用赋值法求函数的周期
令x=4，y=0，则2f(4)=2f(4)f(0)，得f(0)=1，故A错
令x=2，y=2，则f(4)+f(0)=2f(2)f(2)，得f(2)=0，故B正确
令x=0，可得f(y)=f(−y)，得f(2)=0，故C正确
若f(x)的图象关于(1,0)对称，则函数f(x)满足f(0)+f(2)=0，而f(2)=0，f(0)=1，显然f(0)+f(2)≠0故D错.令x=2，可得f(2+y)+f(2−y)=2f(2)f(y)=0，f(x)的图象关于(2,0)对称.
法二：由f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)与cs(x+y)+cs(x−y)=2csxcsy，可以令f(x)=acsωx，易知a=1，又f(4)=−1，故cs4ω=−1，即ω=π4，则f(x)=csπ4x，故BC正确.
11.ABD解析：对于选项A：a，b分别可以看作函数f(x)=xx−1与g(x)=2x和h(x)=lg2x图象交点的横坐标，函数f(x)=xx−1的图象关于直线y=x对称，g(x)，h(x)的图象也关于直线y=x对称，所以两个交点C(a,2a)，D(b,lg2b)也关于直线y=x对称，所以a=lg2b，b=2a，故选项A正确.
对于选项B：由aa−1=2a=b，得到a+b=ab，即1a+1b=1，所以12a+1lg2b=1，故选项B正确.
对于选项C：a−1b=a+1a−1≥2a·1a−1=1，由图象可知，a∈(1,2)，所以a−1b>1，故选项C错误.
对于选项D：a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号.但是a≠2，所以等号不能取，故选项D正确.故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2425 解析：若角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=432+42=45，csα=332+42=35，sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425.
13.4解析：由题意得lg2x+lg2y=lg2xy=1，可得xy=2，由x>0，y>0，根据基本不等式可知x+2y≥2x·2y=4，当且仅当x=2y，即x=2，y=1时，等号成立，所以x+2y的最小值为4.
14.6 x∣1⩽x⩽1+32 或 x⩾1+22 解析：当1⩽x⩽32时，f(x)=2x−2，
当32