河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期开学测评数学试卷（含解析）含答案

这是一份河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期开学测评数学试卷（含解析）含答案，共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 若集合，，，则取值范围是， 已知函数， 若，，则m的取值范围是， 设集合，则， 已知函数，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知某扇形的半径为，弧长为，若该扇形的圆心角为（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】扇形的半径为，弧长为，扇形的圆心角为，
，，，则选项A正确.
2. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由余弦的差角公式，得：
.
3. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依题意可知函数定义域为，
所以函数，
即的值域为.
4. 已知函数的图象如图所示，则的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项.
5. 若集合，，，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，则，
解得，即，
由，则，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上可得：的取值范围为.
6. 已知函数（），则“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】（）的最小正周期为，
充分性分析：
的最小正周期不小于4，，
，，
，，，
，，，
在上单调递增，故充分性成立；
必要性分析：
，，，
在上单调递增，
必须是的子集，
，
，，，故必要性成立.
即“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的充要条件.
7. 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】根据题意，设，则，即，
所以，解得，所以，
由可得，
作出函数与的图象如图所示：
由图可知，函数与有且只有三个交点，
故函数的零点个数为.
8. 若，，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
，
因为单调递增，且，
所以在上有零点，
则当时，，，且当时等号能同时成立，
所以有最小值，
因为，，
所以只需，解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【详解】对于选项 A： ，，
故 成立，故 A正确；
对于选项 B： ，，
不成立，故 B错误；
对于选项 C：
，，
故不成立，故C错误；
对于选项 D：
，，
成立，故D正确
10. 已知函数，，，则（ ）
A.
B. 与的图象都关于直线对称
C. 将的图象向左平移个单位长度，得到的图象
D. 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象
【答案】BC
【详解】因为，
对于A选项，，，
所以，A错；
对于B选项，因为，，
所以函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，B对；
对于C选项，将的图象向左平移个单位长度，
可得到函数的图象，即为函数的图象，C对；
对于D选项，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
可得到函数的图象，而不是函数的图象，D错.
11. 若函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. ，
C. 是偶函数D. 当时，
【答案】BCD
【详解】对于A，令，得，故A错误；
对于B， 令，得，
因，所以，即，
所以当时，成立，
故，，故B正确；
对于C，令，得，
即，所以，
故函数是定义在上的奇函数，
令，
因为，
所以函数是偶函数，即是偶函数，故C正确；
对于D，令，得，
当时，有，
当时，有，
由C可知，函数是定义在上的奇函数，
所以当时，有，
所以，
当时，由A可知，
，，即，
此时成立，
当时，，
同理，当时，成立，
所以当时，成立，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的最小值为_________，此时_________.
【答案】 ①. ②.
【详解】由，得，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
13. 已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________.
【答案】
【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数，
则函数在上也是单调递增函数，且，
当时，因为，不等式，即为，可得
当时，因为，满足；
当时，因为，可得，
则不等式，即为，可得，
综上可得，不等式的解集为.
14. 若函数的图象关于点（）对称，则的最大值为_________.
【答案】
【详解】函数，
由，得，解得，
因此函数图象的对称中心为，
依题意，，，
而，则当时，，
所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若，，，化简；
（2）若锐角满足，求的值.
【答案】（1）；（2）7
【详解】（1）；
（2）由，得，
解得或，
因为为锐角，所以，
所以.
16. 已知函数（）.
（1）证明：图象过定点.
（2）若，函数，求的最值.
【答案】（1）证明见解析
（2）最大值，无最小值
【小问1详解】
当时，有，
故的图象过定点；
【小问2详解】
若，则，
因为在上单调递增，在上单调递增
所以在上单调递增，
又，
则，
故有最大值，无最小值.
17. 为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处.
（1）求A，，，b；
（2）在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？
【答案】（1）；
（2）4s
【小问1详解】
根据意义可知，即，解得；
因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以；
由点P的起始位置在最低点处，即可知时，，
即，可得，又，所以.
【小问2详解】
由（1）可知；
令，可得，即，
因此可得
由题意可得，所以，
因此或，
解得，所以；
即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米.
18. 已知函数.
（1）求在上的值域；
（2）求在上的单调递减区间；
（3）若，（）是在上的两个零点，求的值.
【答案】（1）.
（2）
（3）
【小问1详解】
化简得，
当时，，
当时，，取得最小值，，
当时，，取得最大值，，
故在上的值域为.
【小问2详解】
令，解得，
当时，，满足，
故在上的单调递减区间.
【小问3详解】
令，则，
，，，
，
设 ，则且，
，
则，
又，
且，又，，
，，
.
19. 已知且，函数.
（1）若，当时，恒成立，求a的取值范围；
（2）当时，若在上有最大值，求m的取值范围；
（3）当，时，若存在，使得对任意的及任意的，都有，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
解：由时，可得，即
当时，恒成立，即函数在上单调递减函数，
令，解得，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：当时，函数，
当时，即时，，此时单调递减；
当且时，即时，，此时单调递增；
当时，函数单调递增，
所以在单调递减，在上单调递增，在单调递增，
且，令，可得，
画出函数的图像，如图所示，
要使得上有最大值，结合图像，则满足，
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
解：当，时，，且
当时，函数单调递增；当时，函数单调递增；
因为，可得
对任意，可得的最大值为，
对任意，可得的最大值为，
存在使得恒成立，
等价于对于某个成立，
即在，上有解，
因为函数为单调增函数，只需时成立，
即，可得，
因为，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.