2026上海杨浦区高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题含解析

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2025.12.
考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1. 不等式的解集为______.
2. 函数的最小正周期为______.
3. 已知向量，，且，则实数______.
4. 若复数满足：，则_______.
5. (x－2)6的展开式中x2的系数为_________.
6. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．
7. 圆的圆心到直线的距离为______.
8. 已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______.
9. 等差数列公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______.
10. 已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______.
11. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号）
12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____.
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
15. 已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（ ）
A. 有最大值，但无最小值B. 无最大值，但有最小值
C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无最小值
16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（ ）
A ①正确，②正确B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确D. ①错误，②错误
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 如图，在长方体中，为上一动点，已知，.
（1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示）
（2）求三棱锥的体积.
18. 已知函数，.
（1）记，求证：函数为偶函数；
（2）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积.
19. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人?
（3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到）
20. 已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.

（1）若椭圆的离心率为，求的值；
（2）已知，且是线段垂直平分线，求的值；
（3）已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率.
21. 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数.
（1）判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由；
（2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数充要条件是：对任意，均有.