浙江省金华第一中学等校2025-2026学年高二下学期开学数学练习试题含解析（word版）

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1. 已知全集 U={−2,0,1,2,3} ，集合 A={−2,1,2} ， B={2,3} ， ∁UA∩B= ( )
A. {0,2,3} B. {0,2} C. {0,3} D. {3}
【答案】D
【解析】
【详解】由 U={−2,0,1,2,3},A={−2,1,2} 可得 CUA={0,3} ,
又 B={2,3} ,所以 CUA∩B={3} .
2. 直线 x+3y−2026=0 的倾斜角为( )
A. π6 B. 5π6 C. 2π3 D. π3
【答案】B
【解析】
【详解】由 x+3y−2026=0 ,得 y=−33x+202633 .
所以直线的斜率为 −33 .
设直线 x+3y−2026=0 的倾斜角为 α0≤α2+1 ,
即 C1C2>r1+r2 ,所以圆 C1:x−12+y2=2 与圆 C2:x−t2+y−42=1t∈R 外离.
5. 已知 p:a=−4,q: 直线 ax+4y−4=0 与直线 2x+a+2y+3=0 平行，则 p 是 q 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行求出 a 的值,结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】因为直线 ax+4y−4=0 与直线 2x+a+2y+3=0 平行,
所以 aa+2−4×2=0 ,即 a2+2a−8=0 ,解得 a=−4 或 a=2 .
当 a=−4 时， −4×3−−4×2≠0 ，满足平行条件.
当 a=2 时， 2×3−−4×2≠0 ，满足平行条件.
所以,两直线平行时 a=−4 或 a=2 .
因此 p 是 q 的充分不必要条件.
6. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过 F2 的直线交双曲线右支于 A,B,AF2=3F2B ,且 AF2=BF1 ,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 32 C. 102 D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及余弦定理,结合题意可得 a,c 的关系,从而求得双曲线的离心率.
【详解】由 AF2=3F2B ,得 AF2=3F2B .
又 AF2=BF1 ,所以 BF1=3BF2 .
因为 BF1−BF2=2a ,所以 BF2=a,BF1=3a,AF2=3a,AF1=3a+2a=5a .
设双曲线 x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的焦距为 2c ,则 F1F2=2c .
因为 ∠AF2F1+∠BF2F1=π ,所以 cs∠AF2F1=csπ−∠BF2F1=−cs∠BF2F1 ,
即 cs∠AF2F1+cs∠BF2F1=0 ,所以 4c2+9a2−25a22×2c×3a+4c2+a2−9a22×2c×a=0 ,化简得
c2a2=52
所以双曲线的离心率为 ca=52=102 .

7. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， Sn+1Sn+an+1+2Sn=0 ， a1=1 ，则 S10 的值是( )
A. 1B. −12 C. −32 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】根据 an+1=Sn+1−Sn 整理得 1Sn+1=−1Sn−1 ,令 bn=1Sn ,进而证明数列 bn+12 为等比数列,再结合等比数列通项公式得 Sn=23⋅−1n−1−1 ,最后代入公式求解 S10 即可.
【详解】因为 an+1=Sn+1−Sn,Sn+1Sn+an+1+2Sn=0 ,
所以 SnSn+1+Sn+1−Sn+2Sn=0 ,即 SnSn+1+Sn+1+Sn=0 ,
等式两边同时除以 SnSn+1Sn≠0 得: 1+1Sn+1Sn+1=0 ,即 1Sn+1=−1Sn−1 ,
令 bn=1Sn ,则 bn+1=−bn−1,b1=1S1=1a1=1 ,
所以 bn+1+12=−bn+12 ,即数列 bn+12 为等比数列,公比为 -1,首项为 b1+12=32 ,
所以 bn+12=32⋅−1n−1 ,即 bn=32⋅−1n−1−12 ,
所以 1Sn=3⋅−1n−1−12 ,即 Sn=23⋅−1n−1−1 ,
所以 S10=23×−19−1=23×−1−1=2−4=−12 .
8. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M 为棱 DD1 的中点. 球体 O 为与正方体的所有棱都相切的球体,则 △ACM 三边与球体 O 公共部分的长度总和是 ( )
A. 2+23B. 2+833 C. 2+655 D. 2+855
【答案】D
【解析】
【分析】求出平面 ACM 截球 O 所得截面圆的圆心及半径,在三角形 ACM 中,以 AC 中点为坐标原点, AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,求出截面圆的方程,进而求出截面圆与 △ACM 三边的交点坐标,利用两点间距离公式即可求解.
【详解】根据已知棱切球的球心就是正方体中心 O ,半径 R=2 .
如图,设 AC 与 BD 的交点为 E ,过球心 O 作平面 ACM 的垂线,垂足为 O1 ,
Rt△BDD1 斜边上高 h=2×2223=263 ,所以 OO1=12h=63 ,
所以平面 ACM 截球所得截面圆 (圆心是 O1 ) 的半径 r=R2−OO12=233 ,
如图,在矩形 BDD1B1 中,作 EF⊥BD1 ,交 BD1 于点 F ,
在 Rt △BEF 中, EF=OO1=63,tan∠DBD1=12=22 ,所以 BF=EFtan∠DBD1=233 , 所以 OF=O1E=OB−BF=3−233=33 ,
在三角形 ACM 中，如图建立直角坐标系，
所以 A−2,0,C2,0,M0,3 ,截面圆 O1:x2+y−332=43 ,
圆 O1 与三角形各边的交点分别为 P,Q,G,M,H ,
所以三角形 ACM 三边与正方体的棱切球(与 12 条棱都相切的球)的公共部分长度总和为 PQ+GM+MH .
联立 x2+y−332=43,y=0 ,求得 P−1,0,Q1,0 ,
直线 MC 方程为 y=−62x+3 ,
联立 x2+y−332=43y=−62x+3 ,求得 G425,35 ,
同理求得 H−425,35 ,
所以 PQ+GM+MH=2+24252+35−32=2+855 ,
所以 △ACM 三边与球体 O 公共部分的长度总和是 2+855 .
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若复数 z=−1−4i ，则下列结论正确的是( )
A. z 的虚部为 -4i B. z 的共轭复数为 −1+4i
C. z=17 D. z1−i=3+5i2
【答案】BC
【解析】
【分析】利用复数的概念及运算即可判断.
【详解】对于 A,z 的虚部为 -4,故 A 错误;
对于 B,z 的共轭复数为 −1+4i ，故 B 正确；
对于 C,z=1+16=17 ,故 C 正确;
对于 D,z1−i=−1−4i1−i=−1−4i1+i1−i1+i=−1−i−4i+42=3−5i2 ,故 D 错误.
10. 已知正实数 a,b 满足 ab=a+b+3 ，则下列结论正确的有( )
A. ab≥9 B. a+b0 则不等式化为 t2−2t−3≥0 ,结合 t>0 ,解得 t≥3 ,
即 ab≥3 ,得到 ab≥9 ,当且仅当 a=b=3 时,等号成立,故 A 正确;
对于 B 项，由基本不等式 ab≤a+b22 ，令 s=a+bs>0 ，则 s+3≤s24 ，
整理得到 s2−4s−12≥0 ,结合 s>0 ,解得 s≥6 ,即 a+b≥6 ,
当且仅当 a=b=3 时,等号成立,故 B 错误;
对于 C 项,先化简得到 1a+1b=a+bab ,将 ab−3=a+b 代入得到 1a+1b=ab−3ab=1−3ab ,
由选项 A 知 ab≥9 ，则 3ab≤13 ，故 1a+1b=1−3ab≥1−13=23 ，
当且仅当 a=b=3 时，等号成立，故 C 正确；
对于 D 项，由 ab=a+b+3 得到 a=b+3b−1 ，其中 b>1 ，
所以 a+2b=b+3b−1+2b=b−1+4b−1+2b=1+4b−1+2b−1+2
=2b−1+4b−1+3≥22b−1⋅4b−1+3=42+3 , 当且仅当 2b−1=4b−1 ,即 b=1+2 时,等号成立,故 D 正确.
11. 已知平面内动点 Px,y 到定点 F1,0 的距离与到定直线 l:x=2 的距离之和等于 3,其轨迹为曲线 C ,若过点 F 的直线与曲线 C 交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点,则下列结论正确的是 ( )
A. 点 P 的轨迹方程为 y2=4x
B. 若 x2>2 ,则 BF=2AF
C. AF+BF 的最小值为 3
D. 若半径为 r 的圆与曲线 C 有且只有一个交点,且与 x 轴切于点 F ,则 r=439
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A ,利用题目信息列方程,去绝对值即可求出轨迹方程,可判断 A ; 对于 B ,利用抛物线的定义,结合图象即可判断; 对于 C ,分为 A,B 在左支和 A,B 在左、右两支两种情况分别求最小值, 即可判断; 对于 D, 代数法: 设切线方程, 求出切点坐标, 根据切线与圆相切列方程组, 即可求出答案; 几何法: 设切点为 P ,在圆上找到一点 Q ,根据抛物线的光学性质得到 △PFQ 为等边三角形,从而得到 PF 方程,联立求出点 P 坐标,即可得到答案.
【详解】由题意知, x−12+y2+x−2=3 ,
当 x