辽宁省实验中学2025-2026学年高二下学期期初考试数学试卷含解析（word版）

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一、单选题(共 8 题，每题 5 分，满分 40 分)
1. 抛物线 y=4x2 的焦点坐标是( )
A. 0,116 B. 0,18 C. 0,1 D. 0,2
【答案】A
【解析】
【详解】由抛物线 y=4x2 ,可化为其标准方程为 x2=14y ,
则抛物线 x2=14y 的焦点在 y 上,且 2p=14 ,所以抛物线的焦点坐标为 0,116 .
2. 在空间直角坐标系中,已知点 A3,0,0,B0,2,1,C1,1,−2 . 以下四个点中,与点 A , B,C 共面的是( )
A. D1−5,3,−1 B. D20,1,1 C. D31,−1,−3 D. D47,−3,−4
【答案】D
【解析】
【详解】 AB=−3,2,1,AC=−2,1,−2 ,
因为 −3−2=21=1−2 不成立,
所以向量 AB,AC 不是共线向量.
A: AD1=−8,3,−1 .
设 AD1=xAB+yAC ,
则有 −8,3,−1=−3x−2y,2x+y,x−2y⇒−8=−3x−2y3=2x+y−1=x−2y ,该方程组无实数解,
假设不成立,因此点 D1−5,3,−1 不与 A,B,C 共面;
B: AD2=−3,1,1 .
设 AD2=xAB+yAC ,
则有 −3,1,1=−3x−2y,2x+y,x−2y⇒−3=−3x−2y1=2x+y1=x−2y ,该方程组无实数解, 假设不成立,因此点 D20,1,1 不与 A,B,C 共面;
C: AD3=−2,−1,−3 .
设 AD3=xAB+yAC ,
则有 −2,−1,−3=−3x−2y,2x+y,x−2y⇒−2=−3x−2y−1=2x+y−3=x−2y ,该方程组无实数解, 假设不成立,因此点 D31,−1,−3 不与 A,B,C 共面;
D: AD4=4,−3,−4 .
设 AD4=xAB+yAC ,
则有 4,−3,−4=−3x−2y,2x+y,x−2y⇒4=−3x−2y−3=2x+y−4=x−2y⇒x=−2y=1 ,
假设成立,因此点 D47,−3,−4 与 A,B,C 共面.
3. 1−2x7 的二项展开式中，第四项的系数是( )
A. -280 B. 560 C. 84 D. -84
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式展开式直接求解即可.
【详解】根据二项式展开式,可知第四项为 T4=C73×14×−2x3=35×−8×x3=−280x3 , 所以第四项的系数是 -280 .
4. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x−22+y2=4 ,直线 l:y=kx+1 . 若直线 l 上存在点 M ,使得过点 M 向圆 C 作的两条切线互相垂直,则实数 k 的取值范围是( )
A. −∞,−3∪3,+∞ B. −3,3
C. −∞,−22∪22,+∞ D. −22,22
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定圆的圆心和半径,根据题设得 MC=2r=22 ,从而有 3k−0k2+1≤22 ,求解不等式即可求解.
【详解】因为圆心为 C2,0 ,半径 r=2 ,
设两个切点分别为 A,B ,则由题意可得四边形 MACB 为正方形,故有 MC=2r=22 ,
所以圆心到直线 l:y=kx+1 的距离小于或等于 MC=22 ,
即 3k−0k2+1≤22 ,整理得到 k2≤8 ,解得 −22≤k≤22 ,
所以实数 k 的取值范围是 −22,22 .
5. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在 C 的右支上, 且满足 ∠F1PF2=2π3,PF1=3PF2 . 则双曲线 C 的离心率为( )
A. 2 B. 3C. 72 D. 132
【答案】D
【解析】
因为点 P 在双曲线 C 的右支上,所以 PF1−PF2=2a ,
又 PF1=3PF2 ,所以 PF2=a,PF1=3a .
在 △PF1F2 中, F1F22=PF12+PF22−2PF1PF2cs∠F1PF2 ,
即 2c2=3a2+a2−2⋅3a⋅acs2π3=13a2 ,
所以 4c2=13a2 ,所以 e2=ca2=134 ,又 e>1 ,所以 e=132 .
6. 设 1−mx5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ,若 a0+a1+a2+a3+a4+a5=32 ,则实数
m 的值为( )
A. 3 或 -1 B. -3 或 1 C. -1 D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】因为 1−mx5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ,
所以令 x=1 ,可得, a0+a1+a2+a3+a4+a5=1−m5=32 ,
所以 1−m=2 ,解得 m=−1 ,
7. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点(点 A 在第一象限),且满足 3AF=5BF ,则直线 l 的斜率为 ( )
A. 23 B. 15 C. 4 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的性质,并结合基本的几何关系即可求解直线 l 的斜率.
【详解】设抛物线 y2=2pxp>0 的准线为 x=−p2 ,
分别过点 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 M,N ,如图所示,

过点 B 作 BC⊥AM 交于点 C ,
则 AM=AF,BN=BF ,因为 AM−BN=AC ,
则 AF−BF=AC=AF+BFcs∠BAC ,根据 3AF=5BF 可得 cs∠BAC=14 ,
解得 tan∠BAC=sin∠BACcs∠BAC=1−14214=15 ，
又因为 AM//x 轴,所以 ∠BAC=∠AFx ,
也即直线 l 的斜率为 tan∠AFx=tan∠BAC=15 .
8. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0,C 的上顶点为 A ,两个焦点为 F1,F2 ,离心率为 12 . 过 F1 且垂直于 AF2 的直线与 C 交于 D,E 两点， DE=63 ，则 △ADE 的周长是( )
A. 24 B. 26 C. 123 D. 133
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的定义及中垂线的性质求出直线 DE 的方程,与椭圆方程联立,利用弦长公式列出方程, 进而求出三角形周长.
【详解】因为椭圆离心率为 12 ,故 ca=12 ,则 ba=1−122=32 ,
又 AF1=AF2=a,OF1=OF2=c ,故 ∠OAF1=∠OAF2=π6 ,
故 △AF1F2 为等边三角形, DE 为 AF2 的垂直平分线,
所以 AD=DF2,AE=EF2 ,则 △ADE 的周长等于 △F2DE ,
其中 DF2+DF1=2a,EF2+EF1=2a ,则 △ADE 的周长为 4a ,
直线 AF2 的斜率为 tan120∘=−3 ，故直线 DE 的斜率为 33 ，
故直线 DE 为 y=33x+c ,联立 C:x2a2+4y23a2=1 ,得 13x2+8cx+4c2−9a2=0 ,
又 ca=12 ,故 13x2+8cx−32c2=0 ,
设 Dx1,y1,Ex2,y2 ,则 x1+x2=−8c13,x1x2=−32c213 ,
故 DE=1+332⋅−8c132−4⋅−32c213=48c13=63 ,解得 c=1338 ,
故 a=2c=1334 ,则 △ADE 的周长为 4a=133 .
二、多选题(共 3 题，每题 6 分，满分 18 分)
9. 已知四边形 ABCD 为空间四边形,点 E,F,G 分别在边 AB,BC,CD 上,且满足 AEEB=BFFC=CGGD=12 ，点 M 满足 AM=xAB+yAC+zAD ，则下列选项正确的是( )
A. AC=AB+BD+DC
B. 若 x+y+z=1 ,则点 M,B,C,D 四点共面
C. 点 E,F,G,M 可能共线
D. EG=mAC+nAD+pAB ,则m+n+p=23
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可.
【详解】对于 A ,根据空间向量加法规则可知 AC=AB+BD+DC, A 正确;
对于 B ,因为点 M 满足 AM=xAB+yAC+zAD ,且 x+y+z=1 ,所以根据共面向量定理得点 M,B,C,D 四点共面, B 正确;
对于 C ,因为 AEEB=BFFC=CGGD=12 ,
EF=EB+BF=23AB+13BC=23AB+13AC−AB=13AC+13AB
FG=FC+CG=23BC+13CD=23AC−AB+13AD−AC=−23AB+13AC+13AD ,
EF 与 FG 不共线,故 E,F,G 不共线,因此 E,F,G,M 不可能共线, C 错误;
对于 D ,因为 EG=EF+FG=13AC+13AB−23AB+13AC+13AD=23AC−13AB+13AD 因为 EG=mAC+nAD+pAB ,所以 m=23,n=13,p=−13 ,则 m+n+p=23 , D 正确.
10. 已知直线 l1:2mx−3y+4=0,l2:m+2x−m+1y+2m+5=0m∈R ，则下列选项正确的为( )
A. 直线 l2 过定点 −3,−1 B. 当 l1⊥l2 时, m=−3 或 m=−12
C. 当 m≠2 时, l1 和 l2 相交 D. 当 l1//l2 时,两直线 l1,l2 之间的距离为1
【答案】AB
【解析】
【分析】直线 l2 方程整理为关于 m 的方程,由恒等式知识可求得定点坐标,判断 A ,由垂直的条件求得参数范围,判断 B ,由两直线平行的条件求得 m 的值可得相交的条件,判断 C ,由两直线平行, 然后求得 m 值,代入后得两平行线的方程,由距离公式计算.
【详解】直线 l2 方程整理为 mx−y+2+2x−y+5=0 ,
由 x−y+2=02x−y+5=0 ,解得 x=−3y=−1 ,因此直线 l2 过定点 −3,−1,A 正确;
l1⊥l2 ,则 2mm+2+3m+1=0 ,解得 m=−3 或 m=−12 , B 正确;
由 −m+1⋅2m+3m+2=0 得 m=2 或 m=−32 ,
所以 m≠2 且 m≠−32 时, l1 和 l2 相交, C 错;
m=2 时,两直线方程分别为 4x−3y+4=0,4x−3y+9=0 ,两直线平行,它们的距离为 4−942+−32=1,
m=−32 时,两直线方程分别为 −3x−3y+4=0 和 12x+12y+2=0 ,即 x+y−43=0 和 x+y+4=0 ,两直线平行,距离为 −43−42=823 ,
D 错.
故选: AB.
11. 已知 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,长轴长为 6,点 M6,1 在椭圆 C 外,点 N 在椭圆 C 上,则下列说法中正确的有( )
A. 椭圆 C 的离心率的取值范围是 63,1
B. 椭圆 C 上存在点 Q 使得 QF1⋅QF2=0
C. 已知 E0,−2 ,椭圆 C 的离心率为 223 ,则 NE 的最大值为 362
D. NF1+NF2NF1⋅NF2 的最小值为 1
【答案】 ABC
【解析】
【分析】对于 A ,根据条件得 b21 ,解得 b21−39=23 ,所以 630 的离心率为 22 ，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 2+1 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线交椭圆 C 于 A,B 两点， O 为坐标原点，直线 OA 与 OB 的斜率之积为 −12 ，求 △AOB 的面积.
【答案】(1) x22+y2=1 ;
(2) 22
【解析】
【分析】(1) 根据离心率为 22 ,且椭圆上的点到焦点的最长距离为 1+2 ,由 a+c=1+2ca=22 求解.
(2)当直线 AB 斜率不为零时，设直线 AB 为: x=my+t ，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得 m2=2t2−2 和 y1−y2 ,由三角形面积 S△OAB=12t⋅y1−y2 求解即可,当直线 AB 斜率为零时,设其方程为 y=n−1