2024-2025学年河北省廊坊市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省廊坊市九年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是
A．（哆音符B．（来音符C．（咪音符D．以上都不对
2．（3分）根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点在以的长为半径的
A．内B．外C．上D．以上都不对
3．（3分）如图，△与△关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是
A．B．△△C．D．
4．（3分）下列数中能使成立的的值为
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）抛物线如图所示，下列结论正确的是
A．B．C．D．以上都不对
6．（3分）如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为
A．B．C．D．
7．（3分）淇淇作点关于原点的对称点时错看成了作轴的对称点，作得的点与正确点之间的距离为4，则的值为
A．4B．2C．D．
8．（3分）如图，正六边形内接于，为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则
A．6B．4C．3D．2
9．（3分）关于的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根；若将的值在的基础上增大，则此时方程根的情况是
A．没有实数根B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根D．一个实数根
10．（3分）如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是
A．B．C．D．无法比较与
11．（3分）在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为
A．B．C．D．1
12．（3分）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为
A．B．C．2D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”
14．（3分）如图，该图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合．
15．（3分）定义新运算：★．若方程的两个根为和，则★ ．
16．（3分）如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点逆时针旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．连接，则与的位置关系为 ，若，则矩形的面积为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）．
（2）．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，△是格点三角形，为格点（网格线的交点）．
（1）画出△关于点对称的△．
（2）将（1）中的△绕点顺时针旋转得到△，画出△．
19．“记录永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了4部河北省非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为河北梆子，吴桥杂技，衡水内画，杨氏太极拳．为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇从4部作品中随机选择两部试看，并上传到自媒体平台．
（1）淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是 事件．（填“不可能”“随机”或“必然”
（2）补全下列表格，并求出淇淇选择“—河北梆子”和“—衡水内画”两个短视频观看的概率．
20．图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的长．
21．中秋节期间某超市销售一款进价为20元盒的月饼，市场调查发现，这款月饼每天的销售量（单位：盒）与销售单价（单位：元）满足如下关系：．设这款月饼每天的销售利润是元．
（1）求与之间的函数关系．
（2）当这款月饼的销售单价是多少元时，这款月饼的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．情景七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能更加理性地认识“七巧板”，数学杨老师带领同学们展开了以“七巧板‘巧’在何处”为主题的学习活动．
操作制作七巧板：将一个边长为的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角△，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点与点重合（图，然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形（图，这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图中实线进行裁剪，便可得到一副七巧板（图．
（1）图2的成品七巧板中，三角形②绕点顺时针至少旋转 能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形 与 也能通过平移与旋转重合．
（2）三角形②按（1）中的旋转方式旋转与三角形①重合的过程中，求扫过的面积．
探究用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义．
（3）如图3，“冲浪小组”用七巧板拼出了“一只飞舞的蝴蝶”，寓意：自由与追求．则 ．
23．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，连接，当时，求△的面积．
（3）如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将△分成面积相等的两部分？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由．
24．如图，以为直径作，为上一点，△△，与交于点，，．
（1）如图1，当经过点时， ．
（2）在（1）的条件下，求证：．
（3）如图2，将△从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为．
①当时，求的长；
②直接写出旋转过程中的最大值．
2024-2025学年河北省廊坊市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）音乐课上老师带领同学们玩“抽音符、唱音符”的游戏，老师手中卡片如下（叠放的为相同卡片），卡片背面相同，洗匀后背面朝上，嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到的卡片可能性更大的是
A．（哆音符B．（来音符C．（咪音符D．以上都不对
【解答】解：由图可知，（哆音符有3张，（来音符有4张，（咪音符有3张，，
（来音符数量最多，
嘉嘉从中抽取一张卡片，抽到可能性更大的是（来音符卡片．
故选：．
2．（3分）根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点在以的长为半径的
A．内B．外C．上D．以上都不对
【解答】解：连接，
四边形是正方形，
，
正方形的顶点在以的长为半径的外，
故选：．
3．（3分）如图，△与△关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是
A．B．△△C．D．
【解答】解：由中心对称可知：，，，，△△，
而不一定成立，
由，，可知四点、、、构成的四边形是平行四边形，故选项正确；
观察四个选项，选项不一定成立符合题意，
故选：．
4．（3分）下列数中能使成立的的值为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由条件可知，
解得．
故选：．
5．（3分）抛物线如图所示，下列结论正确的是
A．B．C．D．以上都不对
【解答】解：、因为函数图象开口向下，所以，故本选项错误，不符合题意；
、由函数图象可知，对称轴在轴的左侧，，所以，故本选项错误，不符合题意；
、因为函数图象与轴的交点在轴的正半轴，所以，故本选项正确，符合题意；
、由、、选项分析，选项错误，不符合题意；
故选：．
6．（3分）如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，
，
，即箕面绕点旋转的度数为，
故选：．
7．（3分）淇淇作点关于原点的对称点时错看成了作轴的对称点，作得的点与正确点之间的距离为4，则的值为
A．4B．2C．D．
【解答】解：点关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，
作得的点与正确点之间的距离为4，
，
，
，
解得，
故选：．
8．（3分）如图，正六边形内接于，为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则
A．6B．4C．3D．2
【解答】解：连接，，
由题意可得：，，
，
，
，
，
，
，
设正六边形的面积为，则，
，
故选：．
9．（3分）关于的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根；若将的值在的基础上增大，则此时方程根的情况是
A．没有实数根B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根D．一个实数根
【解答】解：由题意可知：
△，
当时，△，
当时，，
△，
此时方程没有实数根，
故选：．
10．（3分）如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是
A．B．C．D．无法比较与
【解答】解：为圆心，连接，，则点为切点，
设的半径为，则，
则，，
，，
，
，
，
，
故选：．
11．（3分）在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为
A．B．C．D．1
【解答】解：如图：
由上面树状图可知，共有6种等可能的结果，能够打开宝藏的结果有2种，
能够打开宝藏的概率为，
故选：．
12．（3分）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为
A．B．C．2D．4
【解答】解：由条件可知点，
，
点．
将点代入中，
得．
，
．
，
，
，
的最小值为4．
故选：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是 随机 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”
【解答】解：废旧电池中含有一些重金属，随意丢弃会污染环境，淇淇和同学利用假期去捡拾废旧电池，则“淇淇捡到废旧电池”是随机事件．
故答案为：随机．
14．（3分）如图，该图案绕其中心至少旋转 90 度后能与原图案完全重合．
【解答】解：由题意可得：基本图形每次旋转，旋转4次所组成，
最小旋转的角为．
故答案为：90．
15．（3分）定义新运算：★．若方程的两个根为和，则★ 0 ．
【解答】解：由条件可知，，
★，
★，
原式，
故答案为：0．
16．（3分）如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点逆时针旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．连接，则与的位置关系为 平行 ，若，则矩形的面积为 ．
【解答】解：如图，延长交于点．
与相切，
．
四边形为矩形，，
，，
，，
，．
将矩形绕点逆时针旋转，使所得矩形的边与相切，
，，，
四边形为矩形，
．
设，则．
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
，
解得，
，
矩形的面积为．
故答案为：平行；80．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）整理得，
，
，．
（2），
则，
，
则或，
，．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，△是格点三角形，为格点（网格线的交点）．
（1）画出△关于点对称的△．
（2）将（1）中的△绕点顺时针旋转得到△，画出△．
【解答】解：（1）如图1，△即为所求；
（2）根据题意，分别作出点、绕点顺时针旋转对应点、，依次连接点、、，如图2，△即为所求：
19．“记录永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了4部河北省非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为河北梆子，吴桥杂技，衡水内画，杨氏太极拳．为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇从4部作品中随机选择两部试看，并上传到自媒体平台．
（1）淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是 不可能 事件．（填“不可能”“随机”或“必然”
（2）补全下列表格，并求出淇淇选择“—河北梆子”和“—衡水内画”两个短视频观看的概率．
【解答】解：（1）没有“蔚县剪纸”的相关视频，
淇淇选中“蔚县剪纸”是不可能事件．
故答案为：不可能；
（2）如下：
共有12种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，所以淇淇选择“河北梆子”和“衡水内画”两个短视频观看的概率．
20．图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：于点，如图，连接．
结合题意可知，，，
．
．
，
，
，即，
是的半径，
为的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
的长为．
21．中秋节期间某超市销售一款进价为20元盒的月饼，市场调查发现，这款月饼每天的销售量（单位：盒）与销售单价（单位：元）满足如下关系：．设这款月饼每天的销售利润是元．
（1）求与之间的函数关系．
（2）当这款月饼的销售单价是多少元时，这款月饼的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）这款月饼每天的销售利润为：
．
（2）对称轴，在范围内，
，
当时，取最大值，
此时（元．
答：单价是30元时，利润最大，最大利润是100元．
22．情景七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能更加理性地认识“七巧板”，数学杨老师带领同学们展开了以“七巧板‘巧’在何处”为主题的学习活动．
操作制作七巧板：将一个边长为的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角△，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点与点重合（图，然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形（图，这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图中实线进行裁剪，便可得到一副七巧板（图．
（1）图2的成品七巧板中，三角形②绕点顺时针至少旋转 90 能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形 与 也能通过平移与旋转重合．
（2）三角形②按（1）中的旋转方式旋转与三角形①重合的过程中，求扫过的面积．
探究用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义．
（3）如图3，“冲浪小组”用七巧板拼出了“一只飞舞的蝴蝶”，寓意：自由与追求．则 ．
【解答】解：（1）将一个边长为的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角△，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点与点重合（图，
三角形②绕点顺时针至少旋转能与三角形（1）重合，除三角形①与（2）外，三角形③与⑤也能通过平移与旋转重合，
故答案为：90；③，⑤；
（2）四边形为正方形，
，
，
扫过的面积为；
（3）根据题意可知：③与⑤两个三角形为等腰直角三角形，且面积相等，④为正方形，
根据折叠可知：，
③和⑤两个三角形面积之和为：，
图中④的面积为：，，
图中阴影部分面积为⑥和⑦两个图形之和，
．
故答案为：25．
23．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，连接，当时，求△的面积．
（3）如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将△分成面积相等的两部分？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，与轴交于点．将点与点的坐标代入得：
解得
抛物线的解析式为．
（2）是第一象限内抛物线上的一个动点，，
．
将代入得：
，
解得（不合题意，舍去），，
点，
，
；
（3）设直线的解析式为，将点的坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为．
设点，则点的坐标为．
，
，
，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
点．
24．如图，以为直径作，为上一点，△△，与交于点，，．
（1）如图1，当经过点时， 1 ．
（2）在（1）的条件下，求证：．
（3）如图2，将△从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为．
①当时，求的长；
②直接写出旋转过程中的最大值．
【解答】（1）解：以为直径作，，．
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，，
△△，
，
经过点时，
，
故答案为：1；
（2）证明：△△，
．
，
，
，
．
为的直径，
，
，
，
；
（3）解：①连接，如图2，
由（2）知，
，，
是的垂直平分线，
．
设，则，．
在△中，由勾股定理得得：，
，
解得，
即；
②如图3，连接交于点．
由题意可知，当时，取最小值，是定值，则取最大值，
此时（垂径定理），
．
，，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
△△，
，．
为的中点，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
C
B
C
D
D
C
A
A
A
题号
12
答案
D